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1、2006 年全国初中数学竞赛试题 考试时间2006 年 4 月 2 日上午9 3011 30 满分 120 分 一、选择题（共5 小题，每小题 6 分，满分 30 分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项， 其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0 分） 1在高速公路上，从3 千米处开始，每隔4 千米经过一个限速标志牌；并且从 10 千米处开始，每隔9 千米经过一个速度监控仪刚好在19 千米处第一次同时 经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 2已知21m，21n
2、，且)763)(147( 22 nnamm=8，则 a 的值等 于（） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 3RtABC 的三个顶点 A，B，C 均在抛物线 2 xy上，并且斜边AB 平行于 x 轴若斜边上的高为h，则（） （A）h2 4一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出 其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分 中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下 去， 最后得到了 34个六十二边形和一些多边形纸片， 则至少要剪的刀数是 （） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 5 如图
3、， 正方形 ABCD 内接于 O， 点 P 在劣弧 AB 上， 连结 DP， 交 AC 于点 Q 若 QP=QO，则 QA QC 的值为（） （A） 132 （B）32 （C）23 （第 5题图） A B C D O Q P （D）23 二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30分） 6已知 a，b，c 为整数，且 ab=2006，ca=2005若 a2 答： B 解：设点A 的坐标为（ a，a2） ，点 C 的坐标为（ c，c2） （|c|400， 所以， 12.5x1 当 a1 时，14162 222 aacb=0712)(aa10 分 又当ba时，由，得1416 22 aac，
4、 54 2 aaac 将两边平方，结合得 2222 541416)()(aaaaa 化简得02540824 23 aaa，故052456 2 )(aaa， 解得 6 5 a，或 4 211 a 所以， a 的取值范围为a1 且 6 5 a， 4 211 a15 分 解法二：因为14162 222 aacb，54 2 aabc，所以 22222 1448454214162)()()(aaaaaaacb， 所以)(12 acb 又54 2 aabc，所以b，c为一元二次方程 05412 22 aaxax)( 的两个不相等实数根，故054414 22 )()(aaa，所以 a1 当 a1 时，141
5、62 222 aacb=0712)(aa10 分 另外，当ba时，由式有05412 22 aaaaa)(， 即0524 2 aa或056a，解得， 4 211 a或 6 5 a 当ca时，同理可得 6 5 a或 4 211 a 所以， a 的取值范围为a1 且 6 5 a， 4 211 a15 分 13如图，点P 为 O 外一点，过点P 作 O 的两条切线，切点分别为A，B过点 A 作 PB 的平行线，交O 于点 C连结 PC，交 O 于点 E；连结 AE，并延长 AE 交 PB 于点 K求证： PEAC=CEKB 证明：因为ACPB，所以 KPE= ACE又 PA 是 O 的切线， 所以 K
6、AP= ACE，故 KPE= KAP，于是 B P E K KPE KAP， 所以 KP KE KA KP ，即KAKEKP 2 由切割线定理得KAKEKB 2 所以KBKP10 分 因为 ACPB， KPE ACE，于是 AC KP CE PE 故 AC KB CE PE ， 即PEAC=CEKB15 分 1410 个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5 个人，每两个学生至少参加某一 个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中求n 的最小值 解：设 10 个学生为 1 S， 2 S， 10 S，n个课外小组 1 G， 2 G， n G 首先，每个学生至少参
7、加两个课外小组否则，若有一个学生只参加一个课外小组， 设这个学生为 1 S，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9 个学生都与他 在同一组出现，于是这一组就有10 个人了，矛盾5 分 若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 1 S恰好参加 1 G， 2 G，由题设，对 于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与 1 S没有同过组， 矛盾 所以，每一个学生至少参加三个课外小组于是n个课外小组 1 G， 2 G， n G的 人数之和不小于 310=30 另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以 n个课外小组 1 G， 2 G， n G的 人数不超过 5n，故5n30，所以 n610 分 下面构造一个例子说明n=6 是可以的 543211 SSSSSG,， 876212 SSSSSG,， 1096313 SSSSSG,， 1097424 SSSSSG,， 987535 SSSSSG,， 1086546 SSSSSG, 容易验证，这样的6 个课外小组满足题设条件 所以， n 的最小值为 615 分