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1、第 1 页（共 23 页） 2019 年上海市静安区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题4 分，共 24 分） 1a（a0）等于（） A B C D 2下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（） Ax2 +y 2+2x+2y Bx2 +y 2+2xy2 Cx 2 y 2+4x+4y Dx2 y 2+4y4 3在 ABC中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，=，要使 DEBC ，还需满 足下列条件中的（） A = B = C = D = 4在 RtABC中， C=90 ，如果 AB=m，A= ，那么 AC的长为（） Am?sinBm?cos Cm?tan Dm?cot 5如果锐角 的正弦值为
2、，那么下列结论中正确的是（） A=30B=45 C30 45 D45 60 6将抛物线 y=ax 21 平移后与抛物线 y=a（x1）2 重合，抛物线 y=ax 21 上的 点 A（2，3）同时平移到 A ，那么点 A 的坐标为（） A （3，4） B （1，2） C （3，2） D （1，4） 二填空题（每个小题4 分，共 48 分） 716 的平方根是 8如果代数式有意义，那么 x 的取值范围为 9方程+ =1 的根为 10如果一次函数 y=（m3）x+m2 的图象一定经过第三、第四象限，那么常 数 m 的取值范围为 11二次函数 y=x 28x+10 的图象的顶点坐标是 12如果点 A（
3、1，4） 、B（m，4）在抛物线 y=a（x1） 2+h 上，那么 m 的值 第 2 页（共 23 页） 为 13如果 ABC DEF ，且 ABC与DEF相似比为 1：4，那么 ABC与DEF 的面积比为 14在 ABC 中，如果AB=AC=10 ，cosB= ，那么 ABC 的重心到底边的距离 为 15已知平行四边形 ABCD中，点 E是边 BC的中点，DE与 AC相交于点 F，设 = ，= ，那么=（用 ， 的式子表示） 16 在ABC中，点 D， E分别在边 AB， AC上，ADE ABC ， 如果 AB=4 ， BC=5 ， AC=6 ，AD=3，那么 ADE的周长为 17如图，在
4、ABC中，点 D，E分别在边 AB，AC上，DE BC ，BDC= CED ， 如果 DE=4 ，CD=6 ，那么 AD：AE等于 18一张直角三角形纸片ABC ，C=90 ，AB=24，tanB=（如图） ，将它折叠使 直角顶点 C与斜边 AB的中点重合，那么折痕的长为 三、解答题（共78分） 19计算： 20解方程组： 第 3 页（共 23 页） 21已知：如图，第一象限内的点A，B 在反比例函数的图象上，点C在 y 轴上， BC x 轴，点 A的坐标为（ 2，4） ，且 cotACB= 求： （1）反比例函数的解析式； （2）点 C的坐标； （3）ABC的余弦值 22将笔记本电脑放置在水
5、平桌面上，显示屏OB与底板 OA夹角为 115 （如图 1） ，侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O AC 后，电 脑转到 AO B的位置（如图 3） ，侧面示意图为图 4，已知 OA=0B=20cm ，BO OA， 垂足为 C （1）求点 O 的高度 O C ； （精确到 0.1cm） （2）显示屏的顶部 B 比原来升高了多少？（精确到0.1cm） （3）如图 4，要使显示屏 O B与原来的位置 OB平行，显示屏 O B 应绕点 O 按顺 时针方向旋转多少度？ 参考数据：（sin65 =0.906，cos65=0.423，tan65 =2.146cot65 =0.446）
6、 23已知：如图，在 ABC中，点 D，E分别在边 AB，BC上，BA?BD=BC?BE （1）求证： DE?AB=AC?BE； （2）如果 AC 2=AD?AB，求证： AE=AC 第 4 页（共 23 页） 24如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax 2+bx+4 与 x 轴的正半轴相交于 点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C在线段 OA上，点 D 在此抛物线上， CDx 轴， 且DCB= DAB ，AB与 CD相交于点 E （1）求证： BDE CAE ； （2）已知 OC=2 ，tanDAC=3 ，求此抛物线的表达式 25如图，在梯形 ABCD中，ADBC ，AC与 BD相
7、交于点 O，AC=BC ，点 E在 DC 的延长线上， BEC= ACB ，已知 BC=9 ，cosABC= （1）求证： BC 2=CD?BE ； （2）设 AD=x，CE=y ，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如果 DBC DEB ，求 CE的长 第 5 页（共 23 页） 2019 年上海市静安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4 分，共 24 分） 1a（a0）等于（） A B C D 【考点】 分数指数幂；负整数指数幂 【分析】 根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案 【解答】 解：a= ， 故选： C 2下列多项
8、式中，在实数范围不能分解因式的是（） Ax2 +y 2+2x+2y Bx2 +y 2+2xy2 Cx 2 y 2+4x+4y Dx2 y 2+4y4 【考点】 实数范围内分解因式 【分析】 各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可 【解答】 解：A、原式不能分解； B、原式 =（x+y） 22=（x+y+ ） （x+y） ； C、原式 =（x+y） （xy）+4（x+y）=（x+y） （xy+4） ； D、原式 =x 2（y2）2=（x+y2） （xy+2） ， 故选 A 3在 ABC中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，=，要使 DEBC ，还需满 足下列条件中的（） A=B=C=D= 【
9、考点】 平行线分线段成比例 【分析】 先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出ADE ABC ，根据相 第 6 页（共 23 页） 似推出 ADE= B，根据平行线的判定得出即可 【解答】 解： 只有选项 D 正确， 理由是： AD=2，BD=4，= ， = ， DAE= BAC ， ADE ABC ， ADE= B， DE BC ， 根据选项 A、B、C的条件都不能推出DE BC ， 故选 D 4在 RtABC中， C=90 ，如果 AB=m，A= ，那么 AC的长为（） Am?sinBm?cos Cm?tan Dm?cot 【考点】 锐角三角函数的定义 【分析】 根据余角函数是邻边比斜边，
10、可得答案 【解答】 解：由题意，得 cosA=， AC=AB?cosA=m?cos ， 故选： B 5如果锐角 的正弦值为，那么下列结论中正确的是（） A=30B=45 C30 45 D45 60 【考点】 锐角三角函数的增减性 【分析】 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案 第 7 页（共 23 页） 【解答】 解：由，得 30 45 ， 故选： C 6将抛物线 y=ax 21 平移后与抛物线 y=a（x1）2 重合，抛物线 y=ax 21 上的 点 A（2，3）同时平移到 A ，那么点 A 的坐标为（） A （3，4） B （1，2） C （3，2） D （1，4） 【
11、考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据两个抛物线的平移规律得到点A 的平移规律，易得点A 的坐标 【解答】 解：抛物线 y=ax 21 的顶点坐标是（ 0，1） ，抛物线 y=a（x1）2 的顶点坐标是（ 1，0） ， 将抛物线 y=ax 21 向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到抛物线y=a （x1）2， 将点 A （2， 3）向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到点 A 的坐标为（3， 4） ， 故选： A 二填空题（每个小题4 分，共 48 分） 716 的平方根是 4 【考点】 平方根 【分析】 根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x，使得
12、x2=a， 则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题 【解答】 解：（ 4）2=16， 16的平方根是 4 故答案为： 4 8如果代数式有意义，那么 x 的取值范围为x2 【考点】 二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式 第 8 页（共 23 页） 即可 【解答】 解：由题意得， x+20， 解得， x2， 故答案为： x2 9方程+=1 的根为x=2 【考点】 解分式方程 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检 验即可得到分式方程的解 【解答】 解：去分母得： x5+2x+2=x 21， 整理得： x
13、 23x+2=0，即（ x2） （x1）=0， 解得： x=1或 x=2， 经检验 x=1是增根，分式方程的解为x=2， 故答案为： x=2 10如果一次函数 y=（m3）x+m2 的图象一定经过第三、第四象限，那么常 数 m 的取值范围为m2 【考点】 一次函数图象与系数的关系 【分析】根据一次函数的性质，一次函数y=（m3）x+m2 的图象一定经过第 三、第四象限，那么图象一定与y 轴的负半轴有交点，即可解答 【解答】 解：一次函数 y=（m3）x+m2 的图象一定经过第三、第四象限， 图象一定与 y 轴的负半轴有交点， m20， m2， 故答案为： m2 11二次函数 y=x 28x+1
14、0 的图象的顶点坐标是 （4，6） 【考点】 二次函数的性质 第 9 页（共 23 页） 【分析】 将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标 【解答】 解： y=2x 28x+10=2（x4）26， 顶点坐标为（ 4，6） ， 故答案为：（4，6） 12如果点 A（1，4） 、B（m，4）在抛物线 y=a（x1） 2+h 上，那么 m 的值 为3 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案 【解答】 解：由点 A（1，4） 、B（m，4）在抛物线 y=a（x1）2+h 上，得 （1，4）与（ m，4）关于对称轴 x=1对称， m1=1（ 1） ，
15、 解得 m=3， 故答案为： 3 13如果 ABC DEF ，且 ABC与DEF相似比为 1：4，那么 ABC与DEF 的面积比为1：16 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 直接根据相似三角形的性质即可得出结论 【解答】 解： ABC DEF ，且 ABC与DEF相似比为 1：4， ABC与DEF的面积比 =（）2=1：16 故答案为： 1：16 14在 ABC中，如果 AB=AC=10 ，cosB= ，那么 ABC的重心到底边的距离为 2 【考点】 三角形的重心；等腰三角形的性质；解直角三角形 【分析】 根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上根据勾 股定理求得该高， 再根
16、据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2 倍，求得 G到 BC的距离 第 10 页（共 23 页） 【解答】 解： AB=AC=10 ， ABC是等腰三角形 三角形的重心 G在 BC边的高 cosB= ， 在 BC边的高 =6， 根据三角形的重心性质 G到 BC的距离是 2 故答案为： 2 15已知平行四边形 ABCD中，点 E是边 BC的中点，DE与 AC相交于点 F，设 = ，= ，那么 =（用， 的式子表示） 【考点】 *平面向量；平行四边形的性质 【分析】 根据平行四边形的性质及中点的定义得BC AD、BC=AD=2EC ，再证 ADF CEF得=，根据=（）可得答案 【解答
17、】 解：四边形 ABCD是平行四边形，点E是边 BC的中点， BC AD，BC=AD=2EC ， ADF CEF ， =2， 则=， = = =（） = （ + ） 第 11 页（共 23 页） =， 故答案为： 16 在ABC中，点 D， E分别在边 AB， AC上，ADE ABC ， 如果 AB=4 ， BC=5 ， AC=6 ，AD=3，那么 ADE的周长为 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及 AE 的长，进而 可得出结论 【解答】 解：如图， ADE ABC ， =，即=，解得 DE=，AE= ， ADE的周长 =AD+AE+DE=3
18、 +=； 故答案为： 17如图，在 ABC中，点 D，E分别在边 AB，AC上，DE BC ，BDC= CED ， 如果 DE=4 ，CD=6 ，那么 AD：AE等于3：2 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】由 DE BC ， 推出 EDC= BCD ，=， 由BDC CED ， 推出= =，由此即可解决问题 【解答】 解： DE BC ， 第 12 页（共 23 页） EDC= BCD ，= BDC= DEC ， BDC CED ， = =， = 故答案为 3：2 18一张直角三角形纸片ABC ，C=90 ，AB=24，tanB=（如图） ，将它折叠使 直角顶点 C与斜边 AB的中点
19、重合，那么折痕的长为13 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 根据直角三角形的性质求出CD，得到 DCB= B，根据垂直的定义、 等量代换得到 OEC= B，根据正切的定义、勾股定理计算即可 【解答】 解： CD是斜边 AB上的中线， DC=DB= AB=12 ， DCB= B， 由题意得， EF是 CD的垂直平分线， OEC +OCE=90 ，又 DCB +OCE=90 ， OEC= B， 设 CF=2x ，则 CE=3x ， 由勾股定理得， EF=x， 第 13 页（共 23 页） 2x3x=x6， 解得， x=， EF=13， 故答案为： 13 三、解答题（共78分） 19计算：
20、【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】 解：原式 = = = 20解方程组： 【考点】 高次方程 【分析】 由得出 x3y=2，由得出x（xy+2）=0，组成四个方程组，求 出方程组的解即可 【解答】 解： 由得： （x3y） 2=4， x3y=2， 由得： x（xy+2）=0， 第 14 页（共 23 页） x=0，xy+2=0， 原方程组可以化为：， 解得，原方程组的解为：， 21已知：如图，第一象限内的点A，B 在反比例函数的图象上，点C在 y 轴上， BC x 轴，点 A的坐标为（ 2，4） ，且 cotACB= 求： （1）反比例函数的解析式
21、； （2）点 C的坐标； （3）ABC的余弦值 【考点】 待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形 【分析】 （1）待定系数法求解可得； （2）作 AEx 轴于点 E，AE与 BC交于点 F，则 CF=2 ，根据 cotACB= =得 AF=3 ，即可知 EF ，从而得出答案； （3）先求出点 B 的坐标继而由勾股定理得出AB 的长，最后由三角函数可得 答案 【解答】 解： （1）设反比例函数解析式为y=， 将点 A（2，4）代入，得： k=8， 反比例函数的解析式y=； （2）过点 A 作 AEx 轴于点 E，AE与 BC交于点 F，则 CF=2 ， 第 15 页（共 23 页） cotA
22、CB= =， AF=3 ， EF=1 ， 点 C的坐标为（ 0，1） ； （3）当 y=1时，由 1= 可得 x=8， 点 B的坐标为（ 1，8） ， BF=BC CF=6 ， AB=3， cos ABC= 22将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板 OA夹角为 115 （如图 1） ，侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O AC 后，电 脑转到 AO B的位置（如图 3） ，侧面示意图为图 4，已知 OA=0B=20cm ，BO OA， 垂足为 C （1）求点 O 的高度 O C ； （精确到 0.1cm） （2）显示屏的顶部 B 比原来升高了多少？（精确到0.1c
23、m） （3）如图 4，要使显示屏 O B与原来的位置 OB平行，显示屏 O B应绕点 O 按顺 时针方向旋转多少度？ 参考数据：（sin65 =0.906，cos65=0.423，tan65 =2.146cot65 =0.446） 第 16 页（共 23 页） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）如图 2，过 B作 BDAO交 AO的延长线于 D，根据三角函数的定义即可得 到结论； （3）如图4，过 O 作 EF OB 交 AC 于 E，根据平行线的性质得到FEA= BOA=115 ，于是得到结论 【解答】 解： （1）BO OA，垂足为 C ， A
24、O B=115 ， AO C=65 ， cos CO A=， O C=O A?cosCO A=20?cos65 =8.468.5（cm） ； （2）如图 2，过 B作 BDAO交 AO的延长线于 D， AOB=115 ， BOD=65 ， sinBOD=， BD=OB?sin BOD=20 sin65 =18.12， O B+O C BD=20 +8.4618.12=10.3410.3（cm） ， 显示屏的顶部 B 比原来升高了 10.3cm； （3）如图 4，过 O 作 EF OB交 AC于 E， FEA= BOA=115 ， FOB = EO C=FEA O CA=115 90 =25 ，
25、 显示屏 O B应绕点 O 按顺时针方向旋转25 度 第 17 页（共 23 页） 23已知：如图，在 ABC中，点 D，E分别在边 AB，BC上，BA?BD=BC?BE （1）求证： DE?AB=AC?BE； （2）如果 AC 2=AD?AB ，求证： AE=AC 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）由 BA?BD=BC?BE 得，结合 B=B，证 ABC EBD 得 ，即可得证； （2）先根据 AC 2=AD?AB证ADC ACB得 ACD= B，再由 证BAE BCD得BAE= BCD ，根据 AEC= B+BAE ，ACE= ACD +BCD可得 AEC= ACE ，即可
26、得证 【解答】 证明： （1）BA?BD=BC?BE， ， 又 B=B， ABC EBD ， ， DE?AB=AC?BE； 第 18 页（共 23 页） （2）AC 2=AD?AB ， ， DAC= CAB ， ADC ACB ， ACD= B， ，B=B， BAE BCD ， BAE= BCD ， AEC= B+BAE ，ACE= ACD +BCD ， AEC= ACE ， AE=AC 24如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax 2+bx+4 与 x 轴的正半轴相交于 点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C在线段 OA上，点 D 在此抛物线上， CDx 轴， 且DCB= DAB ，
27、AB与 CD相交于点 E （1）求证： BDE CAE ； （2）已知 OC=2 ，tanDAC=3 ，求此抛物线的表达式 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （1）根据相似三角形的判定定理得到BEC DEA ，根据相似三角形 的性质定理得到=，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2） 设 AC=m ， 根据正切的定义得到DC=3m， 根据相似三角形的性质得到DBA= DCA=90 ，根据勾股定理列出算式，求出m 的值，利用待定系数法求出抛物线 第 19 页（共 23 页） 的解析式 【解答】 （1）证明： DCB= DAB ，BEC= DEA ， BEC DEA ， =，又 BED= CE
28、A ， BDE CAE ； （2）解：抛物线 y=ax 2+bx+4 与 y 轴相交于点 B， 点 B的坐标为（ 0，4） ，即 OB=4， tanDAC=3 ， =3， 设 AC=m ，则 DC=3m ，OA=m+2， 则点 A 的坐标为（ m+2，0） ，点 D 的坐标为（ 2，3m） ， BDE CAE ， DBA= DCA=90 ， BD 2+BC2=AD2，即 22+（3m4）2+（m+2）2 +4 2=m2+（3m）2， 解得， m=2， 则点 A 的坐标为（ 4，0） ，点 D的坐标为（ 2，6） ， ， 解得， 抛物线的表达式为y=x2+3x+4 25如图，在梯形 ABCD中，
29、ADBC ，AC与 BD相交于点 O，AC=BC ，点 E在 DC 的延长线上， BEC= ACB ，已知 BC=9 ，cosABC= （1）求证： BC 2=CD?BE ； （2）设 AD=x，CE=y ，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如果 DBC DEB ，求 CE的长 第 20 页（共 23 页） 【考点】 相似形综合题 【分析】 （1）只要证明 DAC CEB ，得到=，再根据题意AC=BC ，即可 证明 （2）过点 C作 CF AB于 F，AGBC于 G，DHBC于 H由CEB DAC ，得 =，由此即可解决问题 （3） 首先证明四边形ABCD是等腰梯形，再
30、证明 ABG DCH ， 推出 CH=BG=2 ， 推出 x=GH=BC BG CH=9 22=5，再利用（ 2）中即可即可解决问题 【解答】解： （1）DCB= ACD +ACB ，DCB= EBC +BEC ，ACB= BEC ， ACD= EBC ， ADBC ， DAC= ACB= CEB ， DAC CEB ， =， BC?AC=CD?BE， AC=BC ， BC 2=CD?BF （2）过点 C作 CF AB于 F，AGBC于 G，DHBC于 H 在 RtCBF中，BF=BC?cos ABC=9 =3， AB=6 ， 在 RtABG中，BG=AB?cos ABC=6 =2， ADBC
31、 ，DH=AG ， 第 21 页（共 23 页） DH 2=AG2=AB2BG2=6222=32， AG DH， GH=AD=x ， CH=BC BG GH=7 x， CD=， CEB DAC ， =， =， y= ， y=（x0 且 x9） （3） DBC DEB ，CDB= BDE ，CBD DBC ， DBC= DEB= ACB ， OB=OC ， ADBC ， =， AC=BD ， 四边形 ABCD是等腰梯形， AB=CD ，ABC= DCB ， AGB= DHC=90 ， ABG DCH ， CH=BG=2 ， x=GH=BC BG CH=9 22=5 CE=y= 第 22 页（共 23 页） 第 23 页（共 23 页） 2019 年 2 月 12 日