2019年湖南省娄底市中考数学试卷.pdf

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1、2019 年湖南省娄底市中考数学试卷 （满分 120 分，考试时间120 分钟） 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1.（2019 湖南娄底， 1，3 分） 2019 的倒数为（） A. 2019 B.2019 C. 1 2015 D. 1 2015 【答案】 D 【解答过程】 1 20051 2015 ，即 2019 与 1 2015 互为倒数 ，故选择D. 2. （2019 湖南娄底， 2，3 分） 若11aa，则a的取值范围是（） A.a 1B. a 1C. a 1D. a1 【答案】 A 【解答过程】

2、解：|a-1|=a-1， a-1 0，解得： a1，故选择A . 3. （2019 湖南娄底， 3，3 分） 下列运算正确的是（） A. 632 aaaB. 22 532aaaC. 339 ()aaD. 222 ()abab 【答案】 C 【解答过程】解：A. 原式 =a3，错误；B.原式 =2a2，错误；C.原式 =a9，正确；D. 原式 = 222 ()2abaabb，错误 ，故选择C. 4. （2019 湖南娄底， 4，3 分） 一元一次不等式组 10 1 10 2 x x 的解集在数轴上表示出来， 正确的是（） A.B. C. D. 【答案】 B 【 解 答 过 程 】 解 ： 由 得

3、x 1， 由 得x - 2 ， 把 它 们 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 ，故选择B. 5. （2019 湖南娄底， 5，3 分） 下列命题中错误的是（） A. 平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直 C.同旁内角互补D. 矩形的对角线相等 【答案】 C 【解答过程】解：选项 A，平行四边形的对角线互相平分，正确；选项B，菱形的对角线互 相垂直，正确；选项C，同旁内角互补的反例是任意三角形都有三对同旁内角，但每对同旁 内角都不互补，错误；选项D，矩形的对角线相等，正确，故选择C . 6. （2019 湖南娄底， 6，3 分） 某中学女子足球队15 名队员的年龄情况如下表： 年

4、龄（岁）13 14 15 16 队员（人）2 3 6 4 这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（） A.14 ，15B.14， 14.5 C.15，15 D. 15，14 【答案】 C 【解答过程】解：年龄为 13 岁的有 2 人，年龄为14 岁的有 3 人，年龄为15 岁的有 6 人， 年龄为 16 岁的有 4 人，一共15 名队员，最中间的数据为15，故中位数为15；人数最多的 是 15，说明众数也是15，故选择C . 7. （2019 湖南娄底， 7，3 分） 已知 2 21aa，则代数式 2 241aa的值是（） A.0B.1 C. 1 D. 2 【答案】 B 【解答过程】解：原式

5、= 2 2(2 )12 1 11aa，故选择B . 8. jscm（ 2019 湖南娄底， 8， 3 分） 如图 1，正三棱柱的主视图为（） 【答案】 B 【解答过程】解：从正面看是矩形，能看见的棱用实线表示，故选择B . 9. jscm（2019 湖南娄底， 9，3 分）反比例函数 2 y x 的图象有两点 111 (,)p x y， 222 (,)pxy， 若 12 0xx，则下列结论正确的是（） A. 12 0yyB. 12 0yyC. 12 0yyD. 12 0yy 【答案】 B 【解答过程】解：方法一，画出草图， 1 p， 2 p在该图象的不同分支，依图象即可得；方法 二，举出两个特

6、殊的点 1 p， 2 p，代入函数表达式计算，再进行判断，故选择 B . 10. jscm（2019 湖南娄底， 10，3 分） 如图 2，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着 弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气的阻力），弹簧称的读数F（kg） 与时间 t(s)的函数图象大致是（） 【答案】 A 【解答过程】 解：将铁块浸没在盛有水的水槽中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块完全露出 水面一定高度在这个过程中，露出水面前读数F 不变，出水面后F 逐渐增大，离开水面 后 F 不变 ，故选择A . 二、填空题 （本大题共8 小题，每小题3 分，满分24 分.） 11.（2019 湖

7、南娄底， 11，3 分） 我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速 公路总里程约为10.8 万千米， 10.8 万用科学记数法表示为_. 【答案】 5 1.0810 【解答过程】解：10.8 万=108000 共有 6 位整数，故10 的指数为5，则 10.8 万=1.08 105， 故答案为 5 1.0810. 12. （2019 湖南娄底， 12，3 分） 从 1、0、 2、0.3、 、 1 3 这六个数中任意抽取一个， 抽取到无理数的概率为_. 【答案】 1 3 【解答过程】解：无理数是2、， P= 21 63 ，故答案为 1 3 . 13. （2019 湖南娄底， 13，3

8、分） 如图 3，已知 AB=BC ，要使 ABD CBD ，还需要添加 一个条件，你添加的条件是_.（只需写一个，不添加辅助线） 【答案】答案不唯一，如AD=CD 或 ABD=CBD或 A=C=90等 . 【解答过程】解：因为 AB BC ，BD=BD，所以， （1）当 AD=CD 时， AB D CBD （ SSS） ； （2）当 ABD = CBD 时， ABD CBD （SAS） ； （3）当 A=C=90 时， AB D CBD （HL ） ，故答案为答案不唯一，如AD=CD 或 ABD =CBD或 A=C=90等 . 14. （2019 湖南娄底， 14，3 分）若关于x的一元二次方

9、程 2 20xxm有实数根，则m 的取值范围是 _. 【答案】 m 1 【解答过程】解：一元二次方程有实数根，所以b24ac0 ， ，即 224 1 m0 ，解得 m1 ， 故答案为m1 . 15. （2019 湖南娄底， 15，3 分） 下列数据是按一定规律排列的，则第7 行的第一个数为 _. 第一行1 第二行2 3 第三行4 5 6 第四行7 8 9 10 【答案】 22 【解答过程】解：第一行第一个数字为1，第二行第一个数字为2，第三行第一个数字为 4，依次在前一行的第一个数字的基础上加0，1， 2，第 5 行的第一个数字为第4 行的第一个数字加4，即 7+4=11，第 6 行应为第5

10、行的第一个数字加5，即 11+5=16，依此 类推，故答案为22. 16. （2019 湖南娄底， 16，3 分） 一个多边形的内角和是它的外角和的2 倍，则这个多边形 的边数为 _. 【答案】 6 【解答过程】解：设多边形为n 边形，则有 (n-2)180 0 =2 360 0，解得 n=6，故答案为 6. 17. （2019 湖南娄底， 17，3 分） 如图 4，在 O 中， AB 为直径， CD 为弦，已知 ACD= 40，则 BAD=_ 度 【答案】 50 【解答过程】解：由圆周角定理知B=ADC=40 0，又 AB 为 O 的直径，知 ADB=900， 根据直角三角形两锐角互余，求得

11、BAD=90 0400=500，故答案为 50. 18.jscm（2019 湖南娄底， 18，3 分）一块直角三角板ABC 按如图 5 放置，顶点 A 的坐标为 （ 0， 1） ，直角顶点C 的坐标为（ 3，0） ， B=30，则点B的坐标为 _. 【答案】( 33,33) 【解答过程】解：过 B 点作 BEx轴于点 E，由 BEC=COA ， EBC=OCA可证 EBC OCA， BEBCEC OCACOA ，在 RtACO中，AC= 22 10AOCO，在 Rt ABC 中 ， CBA=3 0 ， t an CA CBA BC ， 10 30 tantan30 CA BC CBA ， 30

12、 3110 BEEC ，解得BE=3 3，EC=3，33EOECCO，故答案为 ( 33,33). 三、解答题 （本大题共2 小题，满分12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（2019 湖南娄底， 19， 6 分） 计算： 01 1 (21.414)( )32cos30 3 【解答过程】解：原式= 3 1332 2 =1333=4 20.（2019 湖南娄底， 20，6 分） 先化简，再求值： 22 211 1441 xx xxxx ，其中x是从 1、0、1、 2 中选取的一个合适的数. 【解答过程】解：原式= 2 211 (1)(1) (2)1 xx xxxx = 11

13、(1)(2)1xxx = 12 (1)(2)(1)(2) x xxxx = 1 2x 当x=0 时，原式 = 1 2 . 四、解答题 （本大题共2 小题，满分16 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. jscm（2019 湖南娄底， 21，8 分） 今年 5 月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况， 随机抽取了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩m 分成 A、B、C、D 四等（A 等： 90m 100，B等： 80m 90，C等： 60m 80，D等： m60） ，并绘制出了两幅不 完整的统计图： （1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？ （2）将图 6 乙中条形统计图

14、补充完整； （3）如果该校今年有九年级学生1000 人，试估计其中D等学生的人数. 【解答过程】解： （1）10050=200（个） 答：本次模拟测试共抽取了200 个学生 . （2）200-40-100-10=50 （个） （3）1000 100 200 =50（人） 答：估计其中D等学生有50 人. 22. j（2019 湖南娄底， 22，8 分） “为了安全，请勿超速”。如图 7，一条公路建成通车，在 某直线路段MN 限速 60 千米 /小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN 旁设立了观测点C， 从观测点 C 测得一小车从点A 到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知CAN=4 5， CBN

15、=60 ， BC=200米. 此车超速了吗？请说明理由.（参考数据：21.41，31.73） 【解答过程】解：此车没有超速 . 理由：过点C 作 CEMN于点 E. 在 Rt BCE中， CBN=60 ， BC=200m sin CE CBN BC ，cos BE CBN BC sin60 200 CE ，cos60 200 BE 3 200100 3 2 CE， 1 200100 2 BE. 在 Rt ACE中， CAN=4 5 tan CE CAN AE tan45 CE AE CE=AE 100 3100AB 100 3100AB 小车的速度是 1003100 /14.6/52.56/6

16、0/ 5 msm skm hkm h 答：此车没有超速. 五、解答题 （本大题共2 小题，满分18 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. （2019 湖南娄底， 23，9 分） 假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路 程为 0 1.5 千米，超过1.5 千米的部分按每千米另收费. 小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5 千米，付车费10.5 元.” 小李说：“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5 千米，付车费14.5 元.” 问： （ 1）出租车的起步价是多少元？超过1.5 千米后每千米收费多少元？ （ 2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了

17、5.5 千米，应付费多少元？ 【解答过程】解： （1）设出租车的起步价是x 元，超过1.5 千米后每千米收费y 元. (4.51.5)10.5 (6.5 1.5)14.5 xy xy 解得 4.5 2 x y 答：出租车的起步价是4. 5 元，超过1.5 千米后每千米收费2 元. （2）应付车费 =4.5+（ 5.5-1.5） 2=12.5（元） 答：应付车费12.5 元. 24. （2019 湖南娄底， 24，9 分） 如图 8，在 Rt ABC中， ACB=90 ，以点A为圆心， AC为半径，作A，交 AB于点 D，交 CA的延长线于点E，过点 E作 AB的平行线 EF交 A 于点 F，连

18、接 AF， BF ，DF. （1）求证： ABC ABF （2）当 CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明. 【解答过程】 （1）证明： EFAB FAB= EFA， CAB= E AE=AF EFA =E FAB= CAB AC=AF ，AB=AB ABC ABF （2）当 CAB=60 时，四边形ADFE 为菱形 . 理由： EFAB E=CAB= 60 AE=AF AEF 是等边三角形 AE=EF ， AE=AD EF=AD 四边形ADFE 是平行四边形 AE=EF 平行四边形ADFE 为菱形 . 六、解答题 （本大题共2 小题，满分20 分，解答应写出文字说明、证明过程或

19、演算步骤） 25. （2019 湖南娄底， 25，10 分） 如图 9，P 为正方形ABCD 的边 BC 上一动点（ P与 B、 C 不重合），连接 AP，过点 B 作 BQ AP交 CD于点 Q ，将 BQC 沿 BQ所在直线对折得到 / BQCV，延长 / QC交 BA的延长线于点M. （1）试探究AP与 BQ的数量关系，并证明你的结论； （2）若 AB=3 ，BP=2PC ，求 QM 的长； （3）当 BP=m ，PC=n时，求 AM的长 . 【解答过程】解： （1）AP=BQ. 证明： PAB+ APB=90 ， APB+ CBQ=90 PAB= CBQ， 在 BCQ 和 ABP 中，

20、 PABCBQ ABBC CABP ， ABP BCQ ， AP=BQ （2）方法一：AB=BC=DC ，AB=3 ，BP=2PC BP=2，PC=1 ABP BCQ BP=QC， 将 BQC 沿 BQ所在直线对折得到 / BQCV 2QCQC， 3B CBC， BQCBQCABQ QM= B M 设 QM=x，则 BM=x 在 Rt MBC中， 222 (2)3xx 解得， 13 4 x. 方法二： AB=BC=DC ，AB=3 ，BP=2PC BP=2，PC=1 ABP BCQ BP=QC， 将 BQC 沿 BQ所在直线对折得到 / BQCV 2QCQC， 3B CBC， BQCBQCAB

21、Q QM= B M 过点 Q 作 QHAB于点 H，则 BH=CQ=2 ，QH=CB=3 在 Rt QMH中， 222 3(2)xx 解得， 13 4 x . 方法三： AB=BC=DC ，AB=3 ，BP=2PC BP=2，PC=1 ABP BCQ BP=QC， 将 BQC 沿 BQ所在直线对折得到 / BQCV 2QCQC， 3B CBC， BQCBQCABQ 过点 M 作 MN BQ于点 N， 在 RtBCQ 中， BQ= 22 13BCCQ，QN= 113 22 BQ 2 cos 13 CQ BQC BQ ， 在 RtQMN 中，cos QN MQN QM ， 13 cos4 QN Q

22、M MQN （3）方法一：设AM=y BP=m ，PC=n ， AB=BC= m+n QM= B M 在 Rt MBC中， 222 ()()()ymnynmn 2 2 n y m . 方法二：设AM=y BP=m ，PC=n ， AB=BC= m+n QM= B M 过点 Q 作 QHAB于点 H 在 Rt QMH中， 222 ()()()ymnynmn 2 2 n y m . 方法三：设AM=y BP=m ，PC=n ， AB=BC= m+n QM= B M 过点 M 作 MN BQ于点 N， 在 RtBCQ 中， BQ= 22 ()mnm，QN= 1 2 BQ cos CQm BQC BQ

23、BQ ， 在 RtQMN 中，cos QN MQN QM ， 2 22 1 () 2 cos2 BQ QNmnm QM MQNCQm 2 2 n yBMAB m . 26. jscm（2019 湖南娄底， 26，10 分） 如图 10，抛物线 2 5 3 yaxbx经过点 A（1，0）和 点 B（5，0） ，与 y 轴交于点C. （1）求此抛物线的解析式； （2）以点 A 为圆心，作与直线BC 相切的 A，求 A 的半径； （3）在直线 BC 上方的抛物线上任取一点P，连接 PB，PC，请问： PBC 的面积是否存在 最大值？若存在，求出这个最大值和此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【

24、解答过程】 解： （ 1）将 A（1，0） ，B （ 5，0）代入到 y=ax 2+bx- 5 3 中，得 5 0 3 5 0255 3 ab ab ， 解得 a= 1 3 ，b=2，y= 1 3 x 2+2x- 5 3 ； （2）当 x=0 时， y=- 5 3 ，C 点坐标为（ 0，- 5 3 ） ， 如图 过点 A 作 AD BC 于 D，则 AD 为 A 的半径， BC= 22 5 10 3 OCOB， ADB =BOC=90 ， ABD =CBO ABD CBO， ADAB OCBC ， 4 55 10 33 AD 解得 AD= 2 10 5 ； （3）方法一：如图，过点P作 PEy

25、轴，交直线BC于点 E. 设直线 BC的解析式为(0)ykxb k 50 5 3 kb b 解得 15 33 yx 设 P 点的坐标为（ m， 2 15 2 33 mm） 则 E 点的坐标为（ m， 15 33 m） ，因此 PE= 22 151515 2() 333333 mmmmm. S PBC= 222 111552555125 ()5() 223366624 PE OBmmmmm 5 0 6 a 当 5 2 m时，PBCV面积有最大值，最大面积为 125 24 此时 P 点坐标为（ 5 2 ， 5 4 ） 方法二：过点P 作 PEx轴于点 E.设 P点的坐标为（ x， 2 15 2 3

26、3 xx） S PBC V = 22 11555125 ()5() 233624 S POBS BOCS POCxxx VVV . a=- 5 6 0，当 x= 5 2 时， PBCV 的面积最大，最大面积为 125 24 ，此时 P点坐标为（ 5 2 ， 5 4 ） 方法三：过点P 作 x 轴的平行线交y 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线EP 于点 F， 设 P 点坐标为 （x，y） ，则S PBC V =S 梯形 CEFB-SPEC-SPFB= 1 2 （y+y+ 5 3 ）5- 1 2 （y+ 5 3 ）x- 1 2 y （5-x）= 5 2 y- 5 6 x+ 25 6 =- 5 6 x 2+25 6 x，a=- 5 6 0，当 x= 5 2 时， PBCV 的面积最大，最大 面积为 125 24 ，此时 P点坐标为（ 5 2 ， 5 4 ） F E P