2010年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析.pdf

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1、2010 年江西省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分） 1 （ 5 分） （2010?江西）已知（ x+i ） （1i） =y，则实数x，y 分别为（） Ax= 1，y=1 Bx=1，y=2 C x=1，y=1 D x=1，y=2 【考点】 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 【专题】 计算题 【分析】 按多项式乘法运算法则展开，化简为 a+bi（a，b R）的形式， 利用复数相等求出x、 y 即可 【解答】 解：考查复数的乘法运算可采用展开计算的方法，得（xi 2）+（1x）i=y ， 没有虚部， 即， 解得： x=1，y=2

2、故选 D 【点评】 本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题 2 （ 5 分） （2010?江西）若集合A=x|x| 1， x R ，B=y|y=x 2，x R ，则 A B= （ ） Ax| 1 x 1 Bx|x 0 Cx|0 x 1 D? 【考点】 交集及其运算 【分析】 考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算常见的解法为计算出集合A、B 的 最简单形式再运算 【解答】 解：由题得： A=x| 1 x 1 ，B=y|y 0， A B=x|0 x 1 故选 C 【点评】 在应试中可采用特值检验完成 3 （ 5 分） （2010?江西）不等式 |的解集是（） A

3、 （0，2）B （ ，0）C （2， +）D （ ，0）（ 0，+） 【考点】 绝对值不等式 【专题】 计算题；转化思想 【分析】 首先题目求不等式|的解集，考虑到分析不等式|含义， 即的绝对值大于其本身，故可以得到的值必为负数解得即可得到答案 【解答】 解：分析不等式|， 故的值必为负数 即， 解得 0 x2 故选 A 【点评】 此题主要考查绝对值不等式的化简问题，分析不等式|的含义是解题 的关键，题目计算量小，属于基础题型 4 （ 5 分） （2010?江西）=（） ABC2 D不存在 【考点】 极限及其运算；等比数列的前n 项和 【专题】 计算题 【分析】 先求和，由，得，由此可得 的值

4、 【解答】 解：=， 故选 B 【点评】 考查等比数列求和与极限知识，解题时注意培养计算能力 5 （ 5 分） （2010?江西）等比数列an中， a1=2，a8=4，函数 f（x）=x（xa1） （xa2） （xa8） ，则 f（0）=（） A2 6 B2 9 C2 12 D2 15 【考点】 导数的运算；等比数列的性质 【专题】 计算题 【分析】 对函数进行求导发现f（0）在含有x 项均取 0，再利用等比数列的性质求解即可 【解答】 解：考虑到求导中f（0） ，含有 x 项均取 0， 得： f （0）=a1a2a3 a8=（a1a8）4=212 故选： C 【点评】 本题考查多项式函数的导

5、数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学 的数学知识、思想和方法 6 （ 5 分） （2010?江西）展开式中不含x 4 项的系数的和为（） A 1 B0 C1 D2 【考点】 二项式定理 【专题】 计算题 【分析】 采用赋值法，令x=1 得：系数和为1，减去 x4项系数 C8820（ 1）8=1 即为所求 【解答】 解：中，令 x=1 得展开式的各项系数和为1 的展开式的通项为 = 令得含 x 4 项的系数为C8820（ 1）8=1 故展开式中不含x4项的系数的和为11=0 故选项为 B 【点评】 考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难 则反 7（

6、5 分） （2010?江西）E， F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点， 则 tanECF= （） ABCD 【考点】 余弦定理 【专题】 计算题 【分析】 约定 AB=6 ，AC=BC=，先在 AEC 中用余弦定理求得EC，进而在 ECF 中 利用余弦定理求得cosECF，进而用同角三角函数基本关系求得答案 【解答】 解：约定 AB=6 ，AC=BC=， 由余弦定理可知cos45 =； 解得 CE=CF=， 再由余弦定理得cosECF=， 【点评】 考查三角函数的计算、解析化应用意识 8（5 分）（2010?江西） 直线 y=kx+3 与圆 （x3） 2+ （y2）2=4 相交于

7、 M， N 两点， 若|MN| 2 ， 则 k 的取值范围是（） A，0 BC D，0 【考点】 直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用 【专题】 压轴题 【分析】 先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距， 利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距， 求出 k 的范围 【解答】 解：解法1：圆心的坐标为（3，2） ，且圆与x 轴相切 当，弦心距最大， 由点到直线距离公式得 解得 k； 故选 A 解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+，排除 B，考虑区间 不对称，排除C，利用斜率估值， 故选 A 【点评】 考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数

8、形结合的运用解法2 是一种间接解法，选择题中常用 9 （ 5 分） （2010?江西）给出下列三个命题： 函数与是同一函数； 若函数 y=f（x）与 y=g（x）的图象关于直线y=x 对称，则函数y=f（2x）与 的图象也关于直线y=x 对称； 若奇函数f（x）对定义域内任意x 都有 f（x）=f（2x） ，则 f（x）为周期函数 其中真命题是（） ABCD 【考点】 判断两个函数是否为同一函数；函数的周期性；反函数 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数的三要素可得 不正确；根据互为反函数的两个函数的图象特征可得 正确；根据奇函数的定义、周期函数的定义可得f（x）是周期为4 的周期函

9、数，可得 正 确，从而得出结论 【解答】 解：对于函数=ln=ln，要求 tan R，而函数 则要求 tan0， 故 中 2 个函数解析式不同，即对应关系不同，而且定义域也不同，故不是同一个函数， 故排除 A 若函数 y=f（x）与 y=g（x）的图象关于直线y=x 对称，则函数y=f（ x）与函数y=g（x）互 为反函数， 故函数 y=f （2x）与也互为反函数，故它们的图象也关于直线y=x 对称，故 正确 验证 ，f（ x） =f2 （ x）=f（2+x） ，又通过奇函数得f（ x） =f（x） ， f（x+2）=f（x） ， f（4+x）=f（x） ， 所以 f（x）是周期为4 的周期函

10、数， 故选： C 【点评】 本题考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识，考虑定义域不同，属于基础 题 10 （5 分） （2010?江西）过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱 AB ， AD ，AA1所成的角都相等，这样的直线 L 可以作（） A1 条 B2 条C3 条D4 条 【考点】 异面直线及其所成的角 【专题】 分类讨论 【分析】 直线与直线的所成角为锐角或直角所以要对过点A 的直线进行分类，分两类第一 类：通过点A 位于三条棱之间，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2 条棱夹角相等， 进行讨论即可 【解答】 解：第一类：通过点A 位于三条棱之间

11、的直线有一条体对角线AC1， 第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2 条棱夹角相等，有3 条，合计4 条 故选 D 【点评】 本题主要考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能 力，属于基础题 11 （5 分） （2010?江西）一位国王的铸币大臣在每箱100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币， 国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在10 箱中各任意抽查一枚；方法二： 在 5箱中各任意抽查两枚 国王用方法一、 二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和 P2 则 （） AP1=P2BP1P2 CP1P2D以上三种情况都有可能 【考点】 二项分布与n 次独立重复试验的模型；

12、等可能事件的概率 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“ 发现至 少一枚劣币 ” 的对立事件是 “ 没有劣币 ” ，概率好求方法一概率为10.9910；方法二概率为 1（） 5，做差比较大小即可 【解答】 解：方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为，没有发现劣币的概率 是 0.99，故至少发现一枚劣币的总概率为10.9910； 方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为1（）5， 作差得 P1P2=（ ） 50.9910，由计算器算得 P1P20 P1P2 故选 B 【点评】 本题考查独立重复试验的概率和对立

13、事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题 的能力 12 （5 分） （2010?江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水 面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t） （S（0）=0） ，则导函数y=S （t）的 图象大致为（） ABCD 【考点】 函数的图象 【专题】 压轴题；创新题型 【分析】 本题利用逐一排除的方法进行判断，结合选项根据最初零时刻和最后终点时刻没有 变化，导数取零，以及总面积一直保持增加，没有负的改变量，考虑到导数的意义，判断此 时面积改变为突变，产生中断进行判定即可 【解答】 解：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C； 总面

14、积一直保持增加，没有负的改变量，排除B； 考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为 突变，产生中断，选择A 故选 A 【点评】 本题考查函数图象、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究 能力和应用能力 二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分 16 分） 13 （4 分） （2010?江西）已知向量，满足 | |=1， | |=2，与的夹角为60 ，则 | |= 【考点】 向量的模 【专题】 计算题；数形结合 【分析】 根据题意和根据向量的减法几何意义画出图形，再由余弦定理求出|的长度 【解答】 解：如图， 由余弦定理得：|= =

15、故答案为： 【点评】 本题考查的知识点有向量的夹角、向量的模长公式、 向量三角形法则和余弦定理等， 注意根据向量的减法几何意义画出图形，结合图形解答 14 （4 分） （2010?江西）将5 位志愿者分成3 组，其中两组各2 人，另一组1 人，分赴世 博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有90种（用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【专题】 计算题 【分析】 根据分组分配问题的思路，先将 5 人分成 3 组，计算可得其分组情况，进而将其分 配到三个不同场馆，由排列公式可得其情况种数，由分步计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，首先将5 人分成 3 组， 由分组公式可得，共有

16、=15 种不同分组方法， 进而将其分配到三个不同场馆，有A33=6 种情况， 由分步计数原理可得，不同的分配方案有15 6=90 种， 故答案为90 【点评】 本题考查排列组合里分组分配问题，注意一般分析顺序为先分组，再分配 15 （4 分） （2010?江西）点A（ x0，y0）在双曲线 的右支上，若点A 到右焦点 的距离等于2x0，则 x0= 2 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 由题设条件先求出a，b，由此能求出x0的值 【解答】 解： a=2c=6，右焦点F（ 6，0） 把 A（x0，y0）代入双曲线，得 y02=8x0232， |AF|= 故答案为： 2

17、 【点评】 本题考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，解题时要注意公式的合理运用 16 （4 分） （2010?江西）如图，在三棱锥OABC 中，三条棱OA ，OB，OC 两两垂直， 且 OA OBOC，分别经过三条棱OA ，OB，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面 积依次为S1，S2， S3，则 S1，S2，S3的大小关系为S3S2S1 【考点】 棱锥的结构特征 【专题】 计算题；压轴题；转化思想 【分析】 设 OA=a、OB=b、OC=c，取 BC 的中点 D 并连结 OD、AD ，由三角形中线的性质 与锥体体积公式，可得截面OAD 就是将三棱锥OABC 的体积分成两等分的截面三角

18、形， 结合题意得SOAD=S1根据 OA 、OB、OC 两两垂直，在RtOBC 中算出中线 OD=，从而算出RtAOD 的面积 S1=同理求出 S2=，S3=最后根据abc0 比较三个表达式的大小， 即可得到S1S2 S3 【解答】 解：设 OA=a，OB=b， OC=c，则 a bc0取 BC 的中点 D，连结 OD、AD ， OD 是 BCD 的 BC 边上的中线， SOBD=SOCD= SOBC，因此 VAOBD=VAOCD=VAOBC， 即截面 OAD 将三棱锥O ABC 的体积分成两等分，可得SOAD=S1， OA 、OB、OC 两两垂直，OAOB，OBOC 且 OA OC， OB、

19、OC 是平面 OBC 内的相交直线， OA 平面 OBC，结合 OD?平面 OBC，得 OAOD RtOBC 中， OB=b 且 OC=c，斜边BC=，得 OD=BC= 因此 SOAD= OA?OD=，即 S1= 同理可得S2= ， S3= abc0， a2b2+a2c2a2b2+b2c2b2c2+a2c2， 可得，即 S1S2 S3 故答案为： S1S2S3 【点评】 本题给出过同一个顶点三条棱两两垂直的三棱锥，经过这三条棱分别作将三棱锥分 成两等分的截面，比较三个截面的大小着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体的体积公 式、勾股定理与解直角三角形和不等式的性质等知识，属于中档题 三、解答题（

20、共6 小题，满分74 分） 17 （12 分） （2010?江西）已知函数f（x）=（1+cotx）sin 2x+msin（x+ ）sin（x） （1）当 m=0 时，求 f（x）在区间上的取值范围； （2）当 tana=2 时，求 m 的值 【考点】 弦切互化；同角三角函数间的基本关系 【专题】 综合题 【分析】（1）把 m=0 代入到 f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角 的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把 f（x）化为一个角的正弦函数，利用x 的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利 用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域； （2） 把 f （x） 的

21、解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x 和 cos2x 的式子， 把 x 换成 ，根据 tan的值， 利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角 的正弦函数公式化简求出sin2和 cos2 的值，把sin2和 cos2的值代入到f（ ）=中得 到关于 m 的方程，求出m 的值即可 【解答】 解： （1）当 m=0 时， = ， 由已知， 得 sin （2x） ， 1， 从而得：f （ x） 的值域为 （2）因为 =sin 2x+sinxcosx+ =+ = 所以= 当 tan =2，得：， 代入 式，解得m=2 【点评】 考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、

22、已知三角函数值求值问题依托三 角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档 题 18 （12 分） （2010?江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首 次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1 号通道，则需要1 小时走 出迷宫；若是2 号、 3 号通道，则分别需要2 小时、 3 小时返回智能门再次到达智能门时， 系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止令 表示走出迷宫所需的时间 （1）求 的分布列； （2）求 的数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【专题】 计算题 【分析

23、】（1）若首次到达1 号通道，则 的取值为1；若首次到达2 号通道，再次到达1 号 通道，则 的取值为3；若首次到达2 号通道，再次到达3 号通道，最后到达1 号通道，则 的取值为6；同理若首次到达3 号通道时， 的取值可为4 或 6，分别求出对应概率即可 （2）利用期望公式代入即可 【解答】 解： （1）必须要走到1号门才能走出， （2）可能的取值为1， 3，4，6， ， ， ， 分布列为： 1 3 4 6 P （2）小时 【点评】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、 随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查 19 （12 分） （201

24、0?江西）设函数f（x）=lnx+ln （2x）+ax（a 0） （1）当 a=1 时，求 f（x）的单调区间 （2）若 f（x）在（ 0，1上的最大值为，求 a 的值 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【专题】 导数的综合应用 【分析】（1）已知 a=1， f （x）=+1，求解 f（x）的单调区间，只需令f （x） 0 解出单调增区间，令f （x） 0 解出单调减区间 （2）区间（ 0，1上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确 定待定量a的值 【解答】 解：对函数求导得：，定义域为（ 0，2） （1）当 a=1 时， f （x）=+1， 当 f（ x） 0，即

25、0x时， f（x）为增函数；当f（x） 0，x2 时， f（x）为 减函数 所以 f（x）的单调增区间为（0，） ，单调减区间为（，2） （2）函数 f（x）=lnx+ln （2 x）+ax（a0） 因为 a 0，x （0，1，所以0，所以函数为单调增函数，（0， 1为单调递增区间 最大值在右端点取到 所以 a= 【点评】 考查利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识 20 （12 分） （2010?江西） 如图， BCD 与 MCD 都是边长为2 的正三角形，平面MCD 平面 BCD，AB 平面 BCD ，AB=2 （1）求直线AM 与平面 BCD 所成的角的大小； （2）求平面

26、ACM 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值 【考点】 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角 【专题】 计算题 【分析】（1）取 CD 中点 O，连 OB，OM ，延长 AM 、BO 相交于 E，根据线面所成角的定 义可知 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角，在三角形AEB 中求出此角即可； （2）CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线，作BFEC 于 F，连 AF，根据二面角的平面角 的定义可知 AFB 就是二面角AECB 的平面角，在三角形AFB 中求出此角的正弦值， 从而求出二面角的正弦值 【解答】 解： （1）取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OBC

27、D，OM CD 又平面 MCD 平面 BCD ，则 MO平面 BCD ， 所以 MOAB， A、 B、O、M 共面延长AM 、BO 相交于 E， 则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 OB=MO=，MOAB，则，所以，故 AEB=45 （2）CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线 由（ 1）知， O 是 BE 的中点，则BCED 是菱形 作 BFEC 于 F，连 AF，则 AFEC， AFB 就是二面角A ECB 的平面角， 设为 因为 BCE=120 ，所以 BCF=60 所以，所求二面角的正弦值是 【点评】 本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二

28、面角平面 角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力 21 （12 分） （2010?江西）设椭圆C2： =1（ab0） ，抛物线 C2：x2+by=b 2 （1）若 C2经过 C1的两个焦点，求C1的离心率； （2） 设 A （0， b） ， 又 M、 N 为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点， 若AMN 的垂心为，且 QMN 的重心在C2上，求椭圆C 和抛物线C2的方程 【考点】 椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合 【专题】 计算题；综合题；压轴题；数形结合；方程思想 【分析】（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2，由 a2=b2+c2，求得 C1的 离心率；

29、 （2）由题设可知M、N 关于 y 轴对称，设M（ x1，y1） ，N（x1，y1） （x10） ，由AMN 的垂心为 B，根据三角形的垂心是三条高线的交点，可知，再根据三角形的重心 坐标公式求得 QMN 的重心，代入抛物线C2：x 2+by=b2，即可求得椭圆 C 和抛物线C2的 方程 【解答】 解： （1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2， 由 （2）由题设可知M、N 关于 y 轴对称，设M（ x1，y1） ，N（x1，y1） （x10） ，由AMN 的垂心为 B，有 由点 N（x1，y1）在抛物线上，x12+by1=b2，解得： 故， 得 QMN 重心坐标 由重心在抛

30、物线上得：， 又因为 M、N 在椭圆上得：， 椭圆方程为，抛物线方程为x2+2y=4 【点评】此题是个中档题 考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程考 查抛物线的定义和简单的几何性质，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，同 时考查了三角的垂心和重心有关性质和公式，综合性强 22 （14 分） （2010?江西）证明以下命题： （1）对任一正整a，都存在整数b， c（bc） ，使得 a 2，b2，c2 成等差数列 （2）存在无穷多个互不相似的三角形n，其边长 an，bn，cn为正整数且an2，bn2，cn2成等 差数列 【考点】 等比关系的确定；等差关系的确定 【专题

31、】 证明题；压轴题 【分析】（1）要证 a 2，b2，c2 成等差数列，考虑到结构即要证a 2+c2=2b2，取特值 12，52， 7 2 满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a 均能成立类似勾股数进行拼凑 （2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三 角形，再证明互不相似，且无穷 【解答】 解（ 1）考虑到结构特征，取特值12，5 2，72 满足等差数列，只需取b=5a， c=7a， 对一切正整数a 均能成立 （2）证明：当an2， bn2，cn2成等差数列，则bn2 an2=cn2bn2， 分解得：（bn+an） （bnan）=（cn+bn） （cnbn） 选取关于n 的一个多项式，4n（n21）做两种途径的分解4n（n21）=（2n2） （2n2+2n） =（2n 22n） （2n+2）4n（ n21） 对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边 下证互不相似 任取正整数m，n，若 m，n相似：则三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似 【点评】 作为压轴题， 考查数学综合分析问题的能力以及创新能力考查学生对等比关系和 等差关系确定的能力