2019年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析.pdf

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1、第 1 页（共 25 页） 2019 年江苏省高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共14 个小题，每小题5 分，共计70 分，请把答案直接填写在答题卡 相应的位置上 1已知 U=R，集合 A= x| 1 x1，B= x| x22x0，则 A （?UB）= 2已知复数，则 z 的共轭复数的模为 3分别从集合A= 1，2，3，4和集合 B=5，6，7，8中各取一个数，则这两数之积为偶 数的概率是 4运行如图所示的伪代码，其结果为 5在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线 有相同渐近线，且一条准线方程为 的双曲线的标准方程为 6已知存在实数a，使得关于x 的不等式恒成立，则a 的最大值 为 7 若函数

2、是偶函数，则实数 a 的值为 8已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为 3，斜高长为4，则此 正五棱锥体积为 9已知函数 ，则不等式f（x 22x） f（3x4）的解集 是 10在 ABC 中， AB=3 ，AC=4 ，N 是 AB 的中点，边AC （含端点）上存在点M，使得 BM CN，则 cosA 的取值范围为 11设不等式组表示的平面区域为 D，若指数函数y=a x（a0，a 1）的图象 上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 12 已知函数f （x） =x2+2x+alnx 在区间（0， 1） 内无极值点， 则 a的取值范围是 13若函数 同时满足以下两个条件：

3、第 2 页（共 25 页） ? xR， f（x） 0 或 g（x） 0； ? x（ 1，1） ，f（ x）g（x） 0 则实数 a 的取值范围为 14若 bm为数列 2 n中不超过 Am 3 （mN *）的项数， 2b 2=b1 +b 5 且 b 3=10，则正整数A 的 值为 二、解答题：本大题共6 小题，计90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 15已知角终边逆时针旋转与单位圆交于点，且 （1）求的值， （2）求的值 16在四棱锥PABCD 中，平面四边形 ABCD 中 AD BC， BAD 为二面角BPA D 一个平面角 （1）若四边形AB

4、CD 是菱形，求证：BD平面 PAC； （2）若四边形ABCD 是梯形，且平面PAB 平面 PCD=l，问：直线l 能否与平面ABCD 平 行？请说明理由 17在平面直角坐标系xOy 中，已知P 点到两定点D（ 2，0） ，E（2，0）连线斜率之积 为 （1）求证：动点P恒在一个定椭圆C 上运动； （2）过的直线交椭圆C 于 A，B 两点，过O 的直线交椭圆C 于 M，N 两点， 若直线 AB 与直线 MN 斜率之和为零，求证：直线AM 与直线 BN 斜率之和为定值 18将一个半径为3 分米，圆心角为 （ （ 0，2 ） ）的扇形铁皮焊接成一个容积为V 立 方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）

5、（1）求 V 关于 的函数关系式； （2）当 为何值时， V 取得最大值； （3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5 分米的球？请说明理由 19设首项为1 的正项数列 an的前 n 项和为 Sn ，且 Sn+13Sn =1 （1）求证：数列 an为等比数列； （2）数列 an 是否存在一项ak，使得 ak恰好可以表示为该数列中连续 r（rN *，r2）项 的和？请说明理由； 第 3 页（共 25 页） （3）设，试问是否存在正整数p，q（1pq）使 b1，bp， bq成等差 数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q） ；若不存在，说明理由 20 （1）若 ax lnx

6、恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明： ? a0，? x0R，使得当xx0时， ax lnx 恒成立 三.数学附加题部分【理科】 选做题 （本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题， 并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤）A 选修 4-1 几何证明选讲 （本小题满分10 分） 21如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过D 作圆 O 的切线交BA 的延长线于点 C，若 DB=DC ，求证： CA=AO B 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分） 22已知矩阵A=，B=，求矩阵A 1B C 选修 4-4

7、：坐标系与参数方程 （本小题满分0 分） 23在极坐标系中， 设直线 l 过点，且直线 l 与曲线 C： =asin （a0）有且只有一个公共点，求实数a的值 D 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分0 分） 24求函数 的最大值 四. 必做题 （第 25 题、第 26 题，每题10 分，共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 25 在四棱锥PABCD 中， 直线 AP， AB ， AD 两两相互垂直， 且 AD BC， AP=AB=AD=2BC （1）求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值； （2）求钝二面角BPC D 的大小 第 4 页（共 25 页） 26设数列 a

8、n按三角形进行排列，如图，第一层一个数 a1，第二层两个数a2 和 a 3，第三 层三个数a4，a5和 a6，以此类推， 且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如 a1=a2+a3， a2=a4 +a 5 ，a 3=a5 +a 6， （1）若第四层四个数为0 或 1， a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？ （2）若第十一层十一个数为0 或 1，a1为 5 的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同 取法？ 第 5 页（共 25 页） 2019 年江苏省高考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14 个小题，每小题5 分，共计70 分，请把答案直接填写在答题卡 相应的位

9、置上 1已知 U=R ，集合 A= x| 1x1，B=x| x 2 2x0，则 A （?UB）= （ 1，0 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出集合 B 中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集 R，求出集合B 的补集，求出集合A 与集合 B 的补集的交集即可 【解答】 解：由 A= x| 1x1=（ 1，1） ，B=x| x22x0=（0，2） ， C uB=（ ，0 2，+） ， A ?UB= （ 1，0 ， 故答案为：（ 1， 0 2已知复数，则 z 的共轭复数的模为 【考点】 复数求模 【分析】 根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果 【解答】 解：复数，则

10、z的共轭复数的模为 | =| z| = 故答案为： 3分别从集合A= 1，2，3，4和集合 B=5，6，7，8中各取一个数，则这两数之积为偶 数的概率是 【考点】 等可能事件的概率 【分析】 求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率 【解答】 解：从集合A= 1，2，3，4 和集合 B= 5，6，7，8 中各取一个数，基本事件共有 44=16 个， 两数之积为偶数，两数中至少有一个是偶数， A 中取偶数， B 中有 4 种取法；A 中取奇数， B 中必须取偶数， 故基本事件共有24+22=12 个， 两数之积为偶数的概率是= 故答案为： 第 6 页（共 25 页）

11、 4运行如图所示的伪代码，其结果为 【考点】 伪代码 【分析】 根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作 用是累加并输出S=+ +的值，用裂项法即可求值得解 【解答】 解：根据伪代码所示的顺序， 逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知： 该程序的作用是 累加并输出S=+ +的值， 所以 S=S=+ +=（ 1+ +）=（ 1 ）= 故答案为： 5在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线 有相同渐近线，且一条准线方程为 的双曲线的标准方程为=1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为=1（ a，b0） ， 求出渐近线方

12、程和准线方程，由题意可得=，=，结合 a，b，c 的关系，解 方程可得a，b，进而得到双曲线的方程 【解答】 解：双曲线的渐近线为y=x， 设所求双曲线的方程为=1（a，b0） ， 第 7 页（共 25 页） 渐近线方程为y=x，准线方程为y=， 由题意可得=，=， 又 a2+b2=c2，解得 a=2，b=， 即有所求双曲线的方程为=1 故答案为：=1 6 已知存在实数a， 使得关于 x 的不等式 恒成立，则 a的最大值为 2 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 由题意可得a f（x）的最小值，运用单调性，可得f（ 0）取得最小值，即可得到 a 的范围，进而得到a的最大值 【解答】 解：由，可

13、得 0 x4， 由 f（x）= ，其中 y=在 0，4 递增， y=在 0，4 递增， 可得 f（x）在 0， 4 递增，可得f（0）取得最小值 2， 可得 a 2，即 a 的最大值为 2 故答案为： 2 7若函数 是偶函数，则实数a 的值为 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 由题意可得， f（ ）=f（） ，从而可求得实数 a的值 【解答】 解： f（x） =asin（x+）+sin（x）为偶函数， f（ x）=f（x） ， f（）=f（） ， 即=a， a= 故答案为： 8已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为 3，斜高长为4，则此 正五棱锥

14、体积为20 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 第 8 页（共 25 页） 【分析】 求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积 【解答】 解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108 ， 底面正五边形中心到边距离为：tan54 ， h=， 则此正五棱锥体积为：=20 故答案为： 20 9已知函数，则不等式f（x 22x）f（3x4）的解集是 （ 1， 3） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 判断 f（x）在 R 上递增，由f（x22x） f（3x4） ，可得或 ，解不等式即可得到所求解集 【解答】 解：当 x3 时， f（x）= x2+6x=（ x3） 2+9， 即有 f（x）递

15、增； 故 f（x）在 R 上单调递增 由 f（x 22x） f（3x4） ，可得 或， 解得或， 即为 1 x或x3， 即 1x3即有解集为（1， 3） 故答案为：（ 1，3） 第 9 页（共 25 页） 10在 ABC 中， AB=3 ，AC=4 ，N 是 AB 的中点，边AC （含端点）上存在点M，使得 BM CN，则 cosA 的取值范围为， 1） 【考点】 余弦定理 【分析】 设=t（0t1） ，=t，=由于 ，可得?=0化为： 16t+12（+1） cosBAC =0，整理可得：cos BAC=（32） =f（t） ， （0t 1） 利用函数的单调性即可得出 【解答】 解：设=t（0

16、t1） ，=t，= ?=（t）?（）=t 2+（ +1）? 2 ， ?=t 2+（ +1）? 2=0 化为： 16t+12（+1）cosBAC =0， 整理可得： cosBAC= （32）=f（t） ， （0t1） 由于 f（t）是 0，1 是的单调递增函数， f（0） f（t） f（ 1） ，即：f（t），即：cosA， A（ 0， ） ， cosA1， cosA 的取值范围是：，1） 故答案为： ，1） 11设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a0，a 1）的图象 上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（0，1） 3，+） 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 由题意作

17、平面区域，从而结合图象可知y=ax的图象过点（ 3， 1）时为临界值a=3， 从而解得 【解答】 解：由题意作平面区域如下， 第 10 页（共 25 页） ， 结合图象可知， y=a x 的图象过点（3，1）时为临界值a=3， 且当 0 a1 时，一定成立； 故答案为：（ 0，1） 3， +） 12已知函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（ 0，1）内无极值点，则 a的取值范围是 a| a 4 或 a0 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 函数 f（x）=x 2+2x+alnx 在区间（ 0，1）内无极值点 ? 函数 f（x）在（ 0，1）内单 调? 函数 f（x） 0 或 f

18、（x） 0aR）在（ 01， ）内恒成立再利用导数的运算法则、分 离参数法、函数的单调性即可得出 【解答】 解：函数f（x）=x 2+2x+alnx 在区间（ 0， 1）内无极值 ? 函数 f（x）=x2+2x+alnx 在区间（ 0， 1）内单调 ? 函数 f （x） 0 或 f （x） 0aR）在（ 0，1）内恒成立 由 f（ x）=2x+20 在（ 0，1）内恒成立 ? a（ 2x2x 2） max，x（ 0， 1） 即 a0， 由 f（ x）=2x+20 在（ 0，1）内恒成立 ? a（ 2x2x 2） min，x（ 0， 1） 即 a 4， 故答案为： a 4 或 a0 故答案为：

19、a| a 4或 a0 13若函数 同时满足以下两个条件： 第 11 页（共 25 页） ? xR， f（x） 0 或 g（x） 0； ? x（ 1，1） ，f（ x）g（x） 0 则实数 a 的取值范围为（2，4） 【考点】 全称命题；特称命题 【分析】 由 可得当 x 1 时， g（x） 0，根据 可得 g（1）=a（1a+3） 0，由此 解得实数a的取值范围 【解答】 解：已知函数， 根据 ? xR，f（x） 0，或 g（x） 0， 即函数 f（ x）和函数g（x）不能同时取非负值 由 f（x） 0，求得 x 1， 即当 x 1 时， g（x） 0 恒成立， 故，解得： a 2； 根据 ?

20、 x（ 1，1） ，使 f（x）?g（x） 0 成立， g（1）=a（1a+3） 0， 解得： 0a4， 综上可得： a（ 2，4） ， 故答案为：（ 2，4） 14若 bm为数列 2 n中不超过 Am 3（mN*）的项数， 2b 2=b1+b5且 b3=10，则正整数A 的 值为64 或 65 【考点】 数列递推式 【分析】 由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A ，设 b1=t，即数列 an 中，不超过 A 的项恰有t 项，则 2tA2t+1，同理：2t+d8A2t+d+1，2t+2d125A2t+2d+1， 可得 d 4，d 为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论

21、后求得满足条件的正整数A 的值 【解答】 解：依题意：，f（1）=A ，f（2）=8A，f（ 5）=125A ， 设 b 1=t，即数列 an中，不超过 A 的项恰有 t 项， 2tA2t+1， 同理： 2t+d 8A2t+d+1，2t+2d125A2t+2d+1， 可得： 2tA2t+1， 2t+d 3A 2t+d2 ， 故 max Amin ， 由以下关系： 2t+d32t+1， ，得 d4， d 为正整数，d=1，2，3 当 d=1 时， max=max=2t， 第 12 页（共 25 页） min=min =2t，不合题意， 舍去； 当 d=2 时， max=max=2t， min=m

22、in =2t，不合题意， 舍去； 当 d=3 时， max=max=2 t， min=min =2t，适合 题意 此时 2tA，b1=t，b2=t+3，b5=t+6， t+3b3t+6 b 3=10， 4t7， t 为整数， t=4，t=5，t=6 或 t=7 f（3）=27A，b3 =10， 21027A211，A 当 t=4 时， 24A，无解 当 t=5 时， 25A ，无解 当 t=6 时， 26A ， 64A 当 t=7 时， 27A ，无解 则 26A AN * ， A=64 或 A=65 综上： A=64 或 65 故答案为： 64 或 65 二、解答题：本大题共6 小题，计90

23、 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 15已知角终边逆时针旋转与单位圆交于点，且 （1）求的值， （2）求的值 【考点】 三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义 第 13 页（共 25 页） 【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与 cos（） ，然后利用二倍角公式以 及两角和的正弦函数化简求解即可 （2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可 【解答】 解： （1）角 终边逆时针旋转与单位圆交于点， 可得 sin（）=， cos（）=， sin（2）=2sin（）cos（ ）= =， cos（2） =2= =sin（2）

24、=sin（2） cossincos（2） = （2）， tan（2 +2 ）= sin（2）=， cos（2 ） = tan（2 ）= tan（2 +2 ）=tan （）+（2） =， 解得= 16在四棱锥PABCD 中，平面四边形 ABCD 中 AD BC， BAD 为二面角BPA D 一个平面角 （1）若四边形ABCD 是菱形，求证：BD平面 PAC； （2）若四边形ABCD 是梯形，且平面PAB 平面 PCD=l，问：直线l 能否与平面ABCD 平 行？请说明理由 第 14 页（共 25 页） 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （1）由已知得PAAB ，PA

25、AD ，从而 BDPA，由四边形ABCD 是菱形，得AC BD ，由此能证明BD 平面 PAC （2）由四边形ABCD 是梯形，且平面PAB 平面 PCD=l ，得 CD 与 AB 有交点 P，从而直 线 l 平面 ABCD=P ，由此得到直线l 不能与平面ABCD 平行 【解答】 证明： （1）在四棱锥PABCD 中，平面四边形ABCD 中 AD BC， BAD 为 二面角 BPAD 一个平面角， PAAB ，PAAD ， 又 AB AD=A ， PA平面 ABCD ， BD PA， 四边形 ABCD 是菱形， AC BD ， AC PA=A ， BD 平面 PAC 解： （2）直线 l 不

26、能与平面ABCD 平行 理由如下： 四边形 ABCD 是梯形，且平面PAB 平面 PCD=l ， CD 与 AB 有交点 P， Pl， 直线 l 平面 ABCD=P ， 直线 l 不能与平面ABCD 平行 17在平面直角坐标系xOy 中，已知P 点到两定点D（ 2，0） ，E（2，0）连线斜率之积 为 （1）求证：动点P恒在一个定椭圆C 上运动； 第 15 页（共 25 页） （2）过的直线交椭圆C 于 A，B 两点，过O 的直线交椭圆C 于 M，N 两点， 若直线 AB 与直线 MN 斜率之和为零，求证：直线AM 与直线 BN 斜率之和为定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】（1）设 P（

27、x，y） ，由题意可得kPD?kPE= ，运用直线的斜率公式，化简即可得 到所求轨迹方程； （2）设过 F 的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设 A（x1，y1） ， B（ x2，y2） ， 运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O 的直线 x=my 交椭圆 C 于 M，N 两点，求得 M，N 的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM 与直线 BN 斜率之和为 定值 0 【解答】 解： （1）设 P（x，y） ，由题意可得kPD ?k PE = ， 即有? = ， 化为+=1； （2）设过 F 的直线为x=my+， 代入椭圆方程x 2 +2y 2=4， 可得（ 2+

28、m2）y2+2my2=0， 设 A（x1，y1） ，B（ x2，y2） ， 即有 y1+y2= ，y1y2=， x1=my1+ ，x2=my2+， 由题意可得，过O 的直线 x=my 交椭圆 C 于 M，N 两点， 解得 M（，） ，N（，） ， 可得 kAM +k BN=+， 通分后的分子 =x2y1x2y1+x1y2+x1+y2+ =2my1y2+ （y 1 +y 2） + （x 1 x 2） + （y 2 y 1）+ = + （ y 1 y 2）+ （y 2 y 1）+ =0 即有直线 AM 与直线 BN 斜率之和为定值 0 第 16 页（共 25 页） 18将一个半径为3 分米，圆心角

29、为 （ （ 0，2 ） ）的扇形铁皮焊接成一个容积为V 立 方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗） （1）求 V 关于 的函数关系式； （2）当 为何值时， V 取得最大值； （3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5 分米的球？请说明理由 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 （1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即 可； （2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件； （3）求出圆锥内切球的半径，与0.5 比较大小 【解答】 解： （1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则 2 r=

30、3 ， r= ，圆锥的高h= V= = （2）V= = =2 当且仅当4 22= 即 = 时，取等号 当 =时，体积V 取得最大值 （3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r= 设圆锥轴截面ABC 的内切圆 O 半径为 R，如图所示， 则 OD=R，CD=CE=，AC=3 ， AE=，AD=3 由 AOD ACE 得， ，解得 R=30.8 0.80.5， 容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5 分米的球 第 17 页（共 25 页） 19设首项为1 的正项数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn+13Sn=1 （1）求证：数列 a n为等比数列； （2）数列 an 是否存在一项

31、ak，使得 ak恰好可以表示为该数列中连续 r（rN *，r2）项 的和？请说明理由； （3）设，试问是否存在正整数p，q（1pq）使 b1，bp， bq成等差 数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q） ；若不存在，说明理由 【考点】 数列的求和；等比关系的确定 【分析】 （1） 通过 Sn+13Sn=1 与 Sn3Sn1=1 作差可知 an+1=3an（n2） ， 进而可知数列 a n 是首项为1、公比为3 的等比数列； （2）通过（ 1）可知 an=3n 1 、Sn= （3n1） ，假设存在满足题意的项 ak，则 3k 1=S r+tSt， 进而化简可知不存在r 满足 3r x =2

32、，进而可得结论； （3）通过（ 1）可知 bn= ，假设存在正整数p， q（1pq）使 b1，bp，bq成等差数列， 通过化简可知q=3 qp （2p3p 1） ，利用当 p3 时 2p3p10 可知当 p3 时不满足题意， 进而验证当p=2 时是否满足题意即可 【解答】（1）证明： Sn+13Sn=1， 当 n 2时， Sn3Sn1=1， 两式相减得： an+1=3an， 又 Sn+13Sn=1，a1 =1， a 2=S2 S 1=2a1+1=3 满足上式， 数列 an 是首项为1、公比为3 的等比数列； （2）解：结论：不存在满足题意的项ak； 理由如下： 由（ 1）可知 an=3n1，S

33、n= =（3n1） ， 假设数列 an中存在一项ak，使得 ak恰好可以表示为该数列中连续 r（rN*，r2）项的和， 则 3k1=Sr+tSt= （3r+t1） （3t1） =（3r+t3t）=?3t（3r1） ， 于是（3r1） =3x（其中 x 为大于 1的自然数）， 整理得： 3r x =2， 显然 r 无解，故假设不成立， 于是不存在满足题意的项ak； （3）解：结论：存在唯一的数组（p，q） =（2，3）满足题意； 理由如下： 由（ 1）可知 bn= ， 假设存在正整数p，q（1p q）使 b1，bp，bq成等差数列， 第 18 页（共 25 页） 则 2bp=b1+bq，即 2

34、=+， 整理得： 2p?3qp=3q1+q， q=2p?3qp3q1=3qp（ 2p3p1） ， 当 p 3时 2p3p 10， 当 p 3时不满足题意， 当 p=2 时， 2= +即为：=+， 整理得：=，解得： q=3， 综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意 20 （1）若 ax lnx 恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明： ? a0，? x0R，使得当xx0时， ax lnx 恒成立 【考点】 函数恒成立问题 【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间， （2）先求出当直线和y=lnx 相切时 a 的取值，然后进行讨论求解即可

35、 【解答】 解： （1）若 axlnx 恒成立， 则 a，在 x0 时恒成立， 设 h（x）=， 则 h （x）= ， 由 h （x） 0 得 1 lnx0，即 lnx1，得 0x e， 由 h （x） 0 得 1 lnx0，即 lnx1，得 xe， 即当 x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）= 即 a （2）设 f（x）=lnx ，g（x）=ax， （x0） ， 则 f（ x）=，当 g（x）与 f（x）相切时，设切点为（m，lnm） ， 则切线斜率k=， 则过原点且与f（x）相切的切线方程为ylnm=（ xm）=x1， 即 y=x1+lnm， g（x）=ax， 第 19

36、页（共 25 页） ，得 m=e，a= 即当 a时， axlnx 恒成立 当 a=时，当 x0 时， 要使 axlnx 恒成立得当xx0时， ax lnx 恒成立 当 0a时， f（x）与 g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当 x0x1时， 当 xx0时， axlnx 恒成立 ? a0，? x0R，使得当x x0时， axlnx 恒成立 三.数学附加题部分【理科】 选做题 （本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题， 并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤）A 选修 4-1 几何证明选讲 （本小题满分10 分） 21如

37、图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过D 作圆 O 的切线交BA 的延长线于点 C，若 DB=DC ，求证： CA=AO 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 连结 OD、AD ，证出 ADB ODC ，得到 AB=CO ，从而证出结论 【解答】 证明：如图示： ， 连结 OD、AD， 第 20 页（共 25 页） AB 是圆 O 的直径， ADB=90 ，AB=2AO ， DC 是 O 的切线， CDO=90 ， DB=DC ， B=C， ADB ODC， AB=CO ， 即 2OA=OA +CA， CA=AO B 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分） 22已知

38、矩阵A= ，B= ，求矩阵A 1 B 【考点】 几种特殊的矩阵变换 【分析】 设矩阵 A 1=，通过 AA 1 为单位矩阵可得A 1，进而可得结论 【解答】 解：设矩阵A 的逆矩阵为， 则=，即=， 故 a=1，b=0，c=0， d=， 从而 A 1= ， A 1B= = C 选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分0 分） 23在极坐标系中， 设直线 l 过点，且直线 l 与曲线 C： =asin （a0）有且只有一个公共点，求实数a的值 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 求出点 A，B 的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l 的直角坐标方程，再求出曲 线 C 的普通方程，求出圆心

39、和半径，利用d=r 构建出 a 的方程，解出a 的值 【解答】 解：由直线l 过点， 可得 A，B 的直角坐标为 A（ ，） ，B（0，3） ， 第 21 页（共 25 页） 直线 AB 的斜率 k=， 即有直线l 的方程为： y3=x，即 y=x+3， 由曲线 C： =asin （a0） ， 可得曲线 C 的普通方程为x 2+y2ay=0， 即有圆心 C（0，） ， r=， 直线 l 与曲线 C： =asin （a 0）有且只有一个公共点 即直线和圆相切，可得， 解得 a=2 或 6， 由 a0，可得 a=2 D 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分0 分） 24求函数 的最大值 【考点】

40、函数的最值及其几何意义 【分析】 根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可 【解答】 解：由得，即 5x7， 由平方得 y2=x5+7x+2=2+2 ， 5x7， 当 x=6 时，函数y2=2+2 取得最大值为y 2=2+2=4， 当 x=5 或 7 时，函数y 2=2+2 取得最小值为y 2=2， 即 2y 2 4，则 y2， 即函数的最大值为2 四. 必做题 （第 25 题、第 26 题，每题10 分，共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 25 在四棱锥PABCD 中， 直线 AP， AB ， AD 两两相互垂直， 且 AD BC， AP=AB=AD=2

41、BC （1）求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值； （2）求钝二面角BPC D 的大小 第 22 页（共 25 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角 【分析】（1）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值 （2）求出平面PBC 的法向量和平面PCD 的法向量，利用向量法能求出钝二面角BPC D 的大小 【解答】 解： （1）以 A 为原点， AB 为 x 轴，AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AP=AB=AD=2BC=2， 则 P

42、（ 0，0，2） ，C（2，1， 0） ，B（2，0，0） ， D（ 0，2，0） ， =（ 2，1， 2） ，=（ 2，2，0） ， 设异面直线PC 与 BD 所成角为 ， 则 cos = = 异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值为 （2）=（2，0， 2） ，=（2，1， 2） ，=（0， 2， 2） ， 设平面 PBC 的法向量=（x，y，z） ， 则，取 x=1， 得=（1，0， 1） ， 设平面 PCD 的法向量=（a，b，c） ， 则，取 b=1，得=（1，2，2） ， 设钝二面角BPCD 的平面角为 ， cos =| cos| =| =， =135 ， 钝二面角BPCD 的大小

43、为135 第 23 页（共 25 页） 26设数列 an按三角形进行排列，如图，第一层一个数 a1，第二层两个数a2 和 a 3，第三 层三个数a4 ，a 5 和 a 6，以此类推， 且每个数字等于下一层的左右两个数字之和， 如 a 1=a2 +a 3， a2=a4+a5，a3=a5+a6， （1）若第四层四个数为0 或 1， a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？ （2）若第十一层十一个数为0 或 1，a1为 5 的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同 取法？ 【考点】 归纳推理 【分析】（1）若第四层四个数为0 或 1，则 a1=a7+2a8+2a9+a10，由 a1为奇数，可得

44、a7，a10 中一个为1，一个为0，进而得到答案； （2）若第十一层十一个数为0 或 1，a1为 5 的倍数，则a56，a66中一个为 1，一个为 0，且 a57 +a 58+ +a65=2，或 a57 +a 58+ +a65=7，进而得到答案 【解答】 解： （1）若第二层的两个数为0 或 1，则 a1=a2 +a 3，由 a1为奇数，可得第二层的两 个数有 2 种不同的取法； 若第三层的三个数为0 或 1，则 a1=a4 +2a 5 +a 6，由 a1为奇数，可得第三层的三个数有 4 种不 同的取法； 若第四层四个数为0 或 1，则 a1=a7 +2a 8 +2a 9 +a 10，由 a1为奇数，可得第四层的四个数有 8 种 不同的取法； （2）根据（ 1）中结论，若第十一层十一个数为0 或 1， 则 a 1=a56+2（a57 +a 58+ +a65）+a66， 若 a1为 5 的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0， a57 +a 58+ +a65=2，或 a57 +a 58+ +a65=7， 即 a57，a58， ，a65中有 2 个 1 或 2 个 0， 第 24 页（共 25 页） 则第十一层十一个数共有=144 种不同取法 第 25 页（共 25 页） 2019 年 8 月 12 日