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1、第 5 讲垂直关系 一、选择题 1. (2015浙江卷 ) 设 ，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m ( ) A. 若l，则 B.若 ，则lm C. 若l，则 D.若 ，则lm 解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确； B选项中，l与m可能平行； C选项中， 与 可能相交； D选项中，l与m可能异面 . 答案A 2. (2017深圳四校联考) 若平面 ，满足 ， l，P，P?l，则下列命 题中是假命题的为( ) A. 过点P垂直于平面 的直线平行于平面 B. 过点P垂直于直线l的直线在平面 内 C. 过点P垂直于平面 的直线在平面 内 D. 过点P且在平面 内垂直于l的直线必
2、垂直于平面 解析由于过点P垂直于平面 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线，因此也平 行于平面，因此 A正确 . 过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面，不一定在平 面 内，因此B不正确 . 根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确 . 答案B 3. 如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， 下面四个结论不成立的是( ) A.BC平面PDF B.DF平面PAE C. 平面PDF平面PAE D. 平面PDE平面ABC 解析因为BCDF，DF平面PDF， BC?平面PDF， 所以BC平面PDF，故选项A正确 . 在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE， BC平
3、面PAE，DFBC，则DF平面PAE，又DF平面PDF，从而平面PDF平面PAE. 因此选项B，C均正确 . 答案D 4. (2017西安调研) 设l是直线， ，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A. 若l，l，则 B.若l，l，则 C. 若 ，l，则lD.若 ，l，则l 解析A中，或 与 相交， 不正确 .B 中，过直线l作平面 ，设 l， 则ll，由l，知l ，从而 ，B正确 .C 中，l或l，C不正确 .D 中，l与 的位置关系不确定. 答案B 5. (2017天津滨海新区模拟) 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕， 把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后
4、，某学生得出下列四个结论： BDAC； BAC是等边三角形； 三棱锥DABC是正三棱锥； 平面ADC平面ABC. 其中正确的是( ) A. B. C. D. 解析由题意知，BD平面ADC，且AC平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角 三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形， 正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错. 答案B 二、填空题 6. 如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_. 解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC， PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形. 由BCAC，且ACPAA，
5、 BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形. 答案4 7. 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相 等，M是PC上的一动点，当点M满足 _时，平面MBD平面 PCD( 只要填写一个你认为正确的条件即可). 解析由定理可知，BDPC. 当DMPC( 或BMPC) 时，有PC平面MBD. 又PC平面PCD， 平面MBD平面PCD. 答案DMPC( 或BMPC等) 8. (2016全国卷) ，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么 ； 如果m ，n，那么mn； 如果 ，m，那么m； 如果mn，那么m与 所成的角和n与 所
6、成的角相等. 其中正确的命题有_( 填写所有正确命题的编号). 解析对于， ， 可以平行，也可以相交但不垂直，故错误. 对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，m，所以ml，所以mn， 故正确 . 对于，因为，所以 ，没有公共点 . 又m，所以m， 没有公共点，由线 面平行的定义可知m ，故正确 . 对于，因为mn，所以m与 所成的角和n与 所成的角相等 . 因为 ，所以n 与 所成的角和n与 所成的角相等，所以m与 所成的角和n与 所成的角相等， 故正确 . 答案 三、解答题 9. (2017南昌质检) 如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB BCBD2，ABCDBC120，E，
7、F，G分别为AC，DC，AD的中 点. (1) 求证：EF平面BCG； (2) 求三棱锥DBCG的体积 . (1) 证明由已知得ABCDBC，因此ACDC. 又G为AD的中点，所以CGAD. 同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BCG. 又EFAD，所以EF平面BCG. (2) 解在平面ABC内， 作AOBC， 交CB的延长线于O， 如图由平面ABC 平面BCD，平面ABC平面BDCBC，AO平面ABC，知AO平面BDC. 又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半 . 在AOB中，AOAB sin 60 3， 所以VD BCGVG BCD1 3S DBCh 1 3 1 2
8、BD BC sin 120 3 2 1 2. 10. (2016北京卷 )如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，AB DC，DCAC. (1) 求证：DC平面PAC； (2) 求证：平面PAB平面PAC； (3) 设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由 . (1) 证明因为PC平面ABCD，所以PCDC. 又因为ACDC，且 PCACC，所以DC平面PAC. (2) 证明因为ABCD，DCAC，所以ABAC. 因为PC平面ABCD，所以PCAB. 又因为PCACC，所以AB平面PAC. 又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC. (3) 解棱PB上存
9、在点F，使得PA平面CEF. 理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EFPA.又因 为PA?平面CEF，且EF平面CEF， 所以PA平面CEF. 11. 设m，n是两条不同的直线， ，是两个不同的平面. 则下列说法正确的是( ) A. 若mn，n，则m B. 若m，则m C. 若m，n，n，则m D. 若mn，n， ，则m 解析A中，由mn，n可得m 或m与 相交或m，错误； B中，由m， 可得m 或m与 相交或m，错误； C中，由m，n可得mn，又 n，所以m ，正确；D中，由mn，n，可得m 或m与 相交或m ，错误 . 答案C 12. (2017合肥模
10、拟) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF， EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内 的射影为O，则下列说法正确的是( ) A.O是AEF的垂心B.O是AEF的内心 C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心 解析由题意可知PA，PE，PF两两垂直， 所以PA平面PEF，从而PAEF， 而PO平面AEF，则POEF，因为POPAP， 所以EF平面PAO， EFAO，同理可知AEFO，AFEO， O为AEF的垂心 . 答案A 13. 如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC， PA2AB，则下列结论中
11、：PBAE；平面ABC平面PBC；直 线BC平面PAE；PDA45. 其中正确的有_( 把所有正确的序号都填上). 解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE， 又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AE PB，正确；又平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的 性质得BCAD，又AD平面PAD，BC?平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE 也不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正确. 答案 14. (2016四川卷 )如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC， ADCPAB90，BCCD1
12、 2AD . (1) 在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由 . (2) 证明：平面PAB平面PBD. (1) 解取棱AD的中点M(M平面PAD) ，点M即为所求的一个点， 理由如下： 因为ADBC，BC1 2AD . 所以BCAM，且BCAM. 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB. 又AB平面PAB.CM?平面PAB. 所以CM平面PAB. ( 说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点 ) (2) 证明由已知，PAAB，PACD. 因为ADBC，BC1 2AD ， 所以直线AB与CD相交， 所以PA平面ABCD. 又BD平面ABCD， 从而PABD. 因为ADBC，BC 1 2AD ， M为AD的中点，连接BM，所以BCMD，且BCMD. 所以四边形BCDM是平行四边形， 所以BMCD 1 2AD ，所以BDAB. 又ABAPA，所以BD平面PAB. 又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.