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1、第 5 讲垂直关系 一、选择题 1(2015浙江卷 ) 设 ， 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m ( ) A若l，则 B若 ，则lm C若l，则 D若 ，则lm 解析由面面垂直的判定定理，可知 A选项正确； B选项中，l与m可能平行； C选项中， 与 可能相交； D选项中，l与m可能异面 答案A 2(2017深圳四校联考)若平面 ， 满足 ，l，P，P?l，则下列命 题中是假命题的为 ( ) A过点P垂直于平面 的直线平行于平面 B过点P垂直于直线l的直线在平面 内 C过点P垂直于平面 的直线在平面 内 D过点P且在平面 内垂直于l的直线必垂直于平面 解析由于过点P垂直于平面
2、 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线，因此也 平行于平面 ，因此 A正确过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面，不一 定在平面 内，因此 B不正确根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确 答案B 3如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成 立的是 ( ) ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面PAE D平面PDE平面ABC 解析因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项 A正确 在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE， BC平面PAE，DFBC，则DF平面PAE，又DF平面PDF，从而平面PDF
3、平面PAE. 因此选项B，C均正确 答案D 4(2017西安调研) 设l是直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( ) A若l，l，则 B若l，l，则 C若 ，l，则lD若 ，l，则l 解析A中， 或 与 相交，不正确 B中，过直线l作平面 ，设 l，则ll，由l，知l ，从而 ，B正确 C中，l 或l， C不正确 D中，l与 的位置关系不确定 答案B 5(2017天津滨海新区模拟) 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕， 把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BDAC； BAC是等边三角形； 三棱锥DABC是正三棱锥； 平面ADC平
4、面ABC. 其中正确的是 ( ) A B C D 解析由题意知，BD平面ADC，且AC平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角 三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形， 正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错 答案B 二、填空题 6如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_ 解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC， PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形 由BCAC，且ACPAA， BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形 答案4 7. 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底
5、面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动 点， 当点M满足 _时， 平面MBD平面PCD( 只要填写一个你认为正确的条件即可) 解析由定理可知，BDPC. 当DMPC( 或BMPC) 时，有PC平面MBD. 又PC平面PCD，平面MBD平面PCD. 答案DMPC( 或BMPC等) 8(2016全国卷) ， 是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么 . 如果m，n，那么mn. 如果 ，m，那么m. 如果mn， ，那么m与 所成的角和n与 所成的角相等 其中正确的命题有_( 填写所有正确命题的编号) 解析对于， ， 可以平行，也可以相交但不垂直，故错误 对于，由
6、线面平行的性质定理知存在直线l，nl，m，所以ml，所以m n，故正确 对于，因为，所以 ， 没有公共点又m，所以m， 没有公共点， 由线面平行的定义可知m，故正确 对于，因为mn，所以m与 所成的角和n与 所成的角相等因为，所 以n与 所成的角和n与 所成的角相等， 所以m与 所成的角和n与 所成的角 相等，故正确 答案 三、解答题 9(2017南昌质检) 如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABC DBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点 (1) 求证：EF平面BCG； (2) 求三棱锥DBCG的体积 (1) 证明由已知得ABCDBC， 因此ACDC. 又G
7、为AD的中点，所以CGAD. 同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BCG. 又EFAD，所以EF平面BCG. (2) 解在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC平面BCD，平面 ABC平面BDCBC，AO平面ABC，知AO平面BDC. 又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半 在AOB中，AOABsin 60 3， 所以VDBCGVG BCD 1 3S DBCh1 3 1 2BD BC sin 120 3 2 1 2. 10(2016北京卷 ) 如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC. (1) 求证：DC平面PAC； (2
8、) 求证：平面PAB平面PAC； (3) 设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由 (1) 证明因为PC平面ABCD， 所以PCDC. 又因为ACDC，且PCACC，所以DC平面PAC. (2) 证明因为ABCD，DCAC，所以ABAC. 因为PC平面ABCD，所以PCAB. 又因为PCACC，所以AB平面PAC. 又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC. (3) 解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF. 理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EFPA. 又 因为PA平面CEF，且EF平面CEF， 所以PA平面CEF. 1
9、1设m，n是两条不同的直线， 是两个不同的平面则下列说法正确的是 ( ) A若mn，n ，则m B若m， ，则m C若m，n，n，则m D若mn，n ，则m 解析A中，由mn，n 可得m 或m与 相交或m，错误； B中，由m ， 可得m 或m与 相交或m，错误； C 中，由m，n 可得m n，又n，所以m，正确； D中，由mn，n ， 可得m 或m与 相交或m，错误 答案C 12(2017合肥模拟) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF， EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF 内的射影为O，则下列说法正确的是 ( )
10、AO是AEF的垂心 B O是AEF的内心 CO是AEF的外心 D O是AEF的重心 解析 由题意可知PA，PE，PF两两垂直， 所以PA平面PEF，从而PAEF， 而PO平面AEF，则POEF，因为POPAP， 所以EF平面PAO， EFAO，同理可知AEFO，AFEO， O为AEF的垂心 答案A 13. 如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论 中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45. 其中正确的有 _( 把所有正确的序号都填上) 解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE， 又由正六边形的性质得AEAB，PAA
11、BA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AE PB，正确；又平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边 形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直线BC 平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PAAD 2AB，PDA45，正确 答案 14(2016四川卷 ) 如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90， BCCD 1 2AD . (1) 在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由； (2) 证明：平面PAB平面PBD. (1) 解 取棱AD的中点M(M平面PAD) ，点M即为所求的一个点，理由如下： 因
12、为ADBC，BC 1 2AD . 所以BCAM，且BCAM. 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB. 又AB平面PAB.CM平面PAB. 所以CM平面PAB. ( 说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点 ) (2) 证明由已知，PAAB，PACD. 因为ADBC，BC 1 2AD ， 所以直线AB与CD相交， 所以PA平面ABCD. 又BD平面ABCD， 从而PABD. 因为ADBC，BC 1 2AD ， M为AD的中点，连接BM， 所以BCMD，且BCMD. 所以四边形BCDM是平行四边形， 所以BMCD 1 2AD ，所以BDAB. 又ABAPA，所以BD平面PAB. 又BD平面PBD， 所以平面PAB平面PBD.