《北京市西城区2019届高三二模数学理科试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市西城区2019届高三二模数学理科试题含答案.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 西城区高三模拟测试 高三数学（理科） 2017.5 第卷（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1在复平面内，复数z对应的点是(1, 2)Z，则复数z的共轭复数z （A）12i （B） 12i （C） 2i （D） 2i 2下列函数中，值域为0,1的是 （A） 2 yx（B）sinyx （C） 21 1 y x （D） 2 1yx 3在极坐标系中，圆sin的圆心的极坐标 是 （A）(1, ) 2 （B） (1, 0) （C） 1 (,) 2
2、2 （D） 1 (, 0) 2 4在平面直角坐标系中，不等式组 320, 330, 0 xy xy y 表示的平面区域的面积是 （A）1（B） 3 2 （C）2（D） 5 2 5设双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的离心率是3 ，则其渐近线的方程为 （A）220xy（B）220xy （C）80xy（D）80xy 6设a， b是平面上的两个单位向量， 3 5 a b若 mR ，则|mab的最小值是 （A） 3 4 （B） 4 3 （C） 4 5 （D） 5 4 7函数( )|f xx x若存在1,)x，使得(2 )0f xkk，则 k 的取值范围是 （A）(2,)（B）(1,)
3、（C） 1 (,) 2 （D） 1 ( ,) 4 http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 8有三支股票A， B， C，28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票 在不持有 A 股票的人中， 持有 B 股票的人数是持有C 股票的人数的2 倍在持有 A 股 票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多 1在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票则只持有B 股票的股民人数是 （A） 7 （B） 6 （C） 5 （D）4 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 9执行如图所示的
4、程序框图, 输出的 S值为 _ 10已知等差数列 n a的公差为2，且 124 , , aaa成等比数列， 则 1 a_；数列 n a的前n项和 n S_ 11 在ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b ，c 若 3 A，3a， 1b， 则c_ 12函数 2 2 , 0, ( ) log, 0. x x f x xx 则 1 ( ) 4 f_；方程 1 () 2 fx的解是 _ 13大厦一层有A，B，C，D 四部电梯， 3人在一层乘坐电梯上楼，其中 2人恰好乘坐同一 部电梯，则不同的乘坐方式有_种 （用数字作答） 14在空间直角坐标系Oxyz中，四面体 ABCD 在,xOyyOzzOx坐标
5、平面上的一组正 投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）该四面体的体积是_ 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 骤 15 （本小题满分13 分） 已知函数 ( )tan() 4 f xx （）求( )f x的定义域； （）设(0, ) ，且 ( )2cos() 4 f，求的值 16 （本小题满分14 分） 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，/EFCD ，ADFC点 M 在棱FC 上，平面 ADM 与棱 FB交于点 N （）求证：/ADMN ； （）求证：平面ADMN平面
6、CDEF； （）若CDEA， EFED ，2CDEF，平面ADE平面BCFl，求二面角 AlB的大小 17 （本小题满分13 分） 某大学为调研学生在A，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A，B 两家餐厅都用过餐的学 生中随机抽取了100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60 分 整理评分数据，将分数以10 为组距分成6 组：0,10)，10,20)，20,30)，30,40)， 40,50)，50,60，得到 A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表： B 餐厅分数频数分布表 分数区间频数 0,10) 2 10,20)3 20,30)5 30,40)15 40,50)4
7、0 50,6035 http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下： 分数0,30)30,50)50,60 满意度指数012 （）在抽样的100 人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0 的人数； （） 从该校在A，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1 人进行调查，试估计其对 A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率； （）如果从A，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由 18 （本小题满分14 分） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 C 的顶点是原点， 以x轴为对称轴， 且经过点(1,2)P
8、（）求抛物线C 的方程； （）设点,A B在抛物线 C 上，直线,PA PB分别与y轴交于点,MN，|PMPN 求直线 AB的斜率 19 （本小题满分13 分） 已知函数 21 ( )() e x f xxaxa，其中 aR （）求函数( )fx的零点个数； （）证明：0a 是函数( )fx 存在最小值的充分而不必要条件 20 （本小题满分13 分） 设集合 * 2 1,2,3,2 (,2) n AnnnN 如果对于2n A 的每一个含有 (4)m m 个元 素的子集 P，P中必有4个元素的和等于 41n，称正整数m为集合 2n A 的一个“相关数” （）当3n时，判断5 和 6 是否为集合
9、6 A的“相关数” ，说明理由； （）若m为集合 2n A的“相关数” ，证明：30mn； （）给定正整数n 求集合 2n A的“相关数”m的最小值 http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 西城区高三模拟测试 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2017.5 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1A 2D 3 C 4B 5A6C7D 8A 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 97102， 2 nn112 122；2或113 36 14 4 3 注：第 10，12 题第一空2 分，第二空3 分 . 三、解答题：本大题共6 小
10、题，共80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分13 分） 解： （）由 42 xk，得 4 xk，kZ 3 分 所以函数( )f x的定义域是 |, 4 x xkkZ 4 分 （）依题意， 得 tan()2cos() 44 5 分 所以 sin() 4 2sin() 4 cos() 4 ， 7 分 整理得 sin() 2cos()10 44 ， 8 分 所以 sin()0 4 ，或 1 cos() 42 10 分 因为(0, )，所以 5 (,) 444 ，11 分 由 sin()0 4 ，得 4 ， 3 4 ；12 分 由 1 cos() 42 ，得 43 ，
11、12 所以 12 ，或 3 4 13 分 http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 16 （本小题满分14 分） 解： （）因为ABCD为矩形，所以/ADBC ， 1 分 所以/AD平面FBC 3 分 又因为平面ADMN平面FBCMN， 所以/ADMN 4 分 （）因为ABCD为矩形，所以ADCD 5 分 因为ADFC， 6 分 所以 AD 平面CDEF 7 分 所以平面ADMN平面CDEF 8 分 （）因为EACD，ADCD， 所以CD平面 ADE ， 所以CDDE 由（）得AD平面CDEF， 所以 AD DE 所以 DA ，DC， DE 两两互相垂直 9 分 建立空间
12、直角坐标系Dxyz-10 分 不妨设1EFED，则2CD，设(0)ADa a 由题意得，( ,0,0)A a，( ,2,0)B a，(0,2,0)C，(0,0,0)D，(0,0,1)E，(0,1,1)F 所以( ,0,0)CBa ，(0,1,1)CF 设平面FBC的法向量为( , )x y zn，则 0, 0, CB CF n n 即 0, 0. ax yz 令 1z ，则1y 所以(0,1,1)n12 分 又平面 ADE 的法向量为(0,2,0)DC ，所以 |2 |cos,| 2 | DC DC DC |n n n 因为二面角AlB的平面角是锐角， 所以二面角AlB的大小 45 14 分
13、http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 17 （本小题满分13 分） 解： （）由对A 餐厅评分的频率分布直方图，得 对 A 餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.0030.0050.012) 100.2， 2 分 所以，对 A 餐厅评价“满意度指数”为0 的人数为 1000.220 3 分 （）设“对A 餐厅评价满意度指数比对B 餐厅评价满意度指数高”为事件C 记“对 A 餐厅评价满意度指数为1”为事件 1 A； “对 A 餐厅评价满意度指 数为 2”为事件 2 A； “对 B 餐厅评价满意度指数为0”为事件 0 B； “对 B 餐厅评价满意度指数为 1”为事件 1 B
14、 所以 1(A )(0.020.02)100.4P，2(A)0.4P， 5 分 由用频率估计概率得： 0 235 (B )0.1 100 P， 1 1540 (B )0.55 100 P 7 分 因为事件A i 与B j 相互独立，其中1,2i，0,1j 所以 102021 (C)(A BA BA B )PP 102021 (A )(B )(A)(B )(A)(B )PPPPPP 0.40.10.40.10.40.550.310 分 所以该学生对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高 的概率为0.3 （）如果从学生对A，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看： A
15、 餐厅“满意度指数”X的分布列为： X012 P 0.20.40.4 B 餐厅“满意度指数”Y的分布列为： Y 0 12 P 0.10.550.35 因为()00.210.420.41.2E X； ( )00.11 0.5520.351.25E Y， http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 所以()()E XE Y，会选择B 餐厅用餐13 分 注：本题答案不唯一只要考生言之合理即可 18 （本小题满分14 分） 解： （）依题意，设抛物线C 的方程为 2 (0)yax a 1 分 由抛物线 C 且经过点(1,2)P， 得4a， 3 分 所以抛物线C 的方程为 2 4yx
16、 4 分 （）因为|PMPN， 所以PMNPNM， 所以 12， 所以直线PA与PB的倾斜角互补， 所以0 PAPB kk 6 分 依题意，直线 AP的斜率存在，设直线AP的方程为：2(1) (0)yk xk ， 将其代入抛物线C 的方程，整理得 2222 2(22)440k xkkxkk 8 分 设 11 (,)A xy，则 2 1 2 44 1 kk x k ， 11 4 (1)22yk x k ， 10 分 所以 2 2 (2)4 (,2) k A kk 11 分 以k 替换点A坐标中的 k ，得 2 2 (2)4 (,2) k B kk 12 分 所以 22 22 44 () 1 (2
17、)(2) AB kk k kk kk 所以直线AB的斜率为114 分 19 （本小题满分13 分） 解： （）由 21 ( )() e x f xxaxa， 得 121 ( )(2) e() e xx fxxaxaxa 21 (2)2 e x xaxa 1 ()(2) e x xax 2 分 令( )0fx，得2x，或xa http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 所以当2a时， 函数( )fx有且只有一个零点：2x； 当2a时，函数( )fx 有两个相异的零点：2x，xa 4 分 （）当2a时，( )0fx恒成立，此时函数( )f x 在 (,) 上单调递减， 所以，函
18、数( )f x 无极值 5 分 当2a时，( )fx，( )f x 的变化情况如下表： 所以，0a 时，( )f x 的极小值为 1 ()e a faa0 7 分 又2x时， 22 2240xaxaaaa， 所以，当2x时， 21 ( )() e0 x f xxaxa恒成立 8 分 所以， 1 ()e a faa为( )f x 的最小值 9 分 故0a 是函数( )f x 存在最小值的充分条件10 分 当5a时，( )fx，( )f x 的变化情况如下表： 因为当5x时， 21 ( )(55) e0 x fxxx， 又 1 (2)e0f， 所以，当5a时，函数( )f x 也存在最小值12 分
19、 所以，0a 不是函数( )f x 存在最小值的必要条件 综上，0a 是函数( )f x 存在最小值的充分而不必要条件13 分 20 （本小题满分13 分） 解： （）当3n时， 61,2,3,4,5,6A ， 4 113n 1 分 x(,)aa(,2)a 2 (2,) ( )fx00 ( )fx极小值极大值 x(,2) 2 (2,5)5(5,) ( )fx00 ( )fx极小值极大值 http:/12999 数学网 http:/12999 数学网 对于 6 A的含有 5 个元素的子集2,3,4,5,6， 因为234513， 所以 5 不是集合 6A的“相关数” 2 分 6 A的含有 6个元素
20、的子集只有1,2,3,4,5,6， 因为134513， 所以6是集合 6 A的“相关数” 3 分 （）考察集合 2n A的含有2n个元素的子集1, ,1,2 Bnn nn 4 分 B中任意4个元素之和一定不小于(1)(1)(2)42nnnnn 所以2n一定不是集合 2nA的“相关数” 6 分 所以当2mn时，m一定不是集合 2n A的“相关数” 7 分 因此若m为集合 2n A的“相关数” ，必有3mn 即若m为集合 2n A的“相关数”，必有30mn 8 分 （）由（）得3mn 先将集合 2n A的元素分成如下n组： ( ,21) (1) i inCini 对 2n A的任意一个含有3n个元素的子集P， 必有三组 123 , iii CCC同属于集合P 10 分 再将集合 2n A的元素剔除n和 2n 后，分成如下1n组： 1( ,2) (1) j jnDjnj 对于 2n A的任意一个含有3n个元素的子集P， 必有一组 4 j D属于集合P 11 分 这一组 4 j D与上述三组 123 , iii CCC中至少一组无相同元素， 不妨设 4 j D与 1 i C无相同元素 此时这 4个元素之和为 1144 (21)(2)41inijnjn12 分 所以集合 2n A的“相关数”m的最小值为3n13 分 http:/12999 数学网 http:/12999 数学网