高三数学立体几何专题训练.pdf

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1、高三数学立体几何专题训练 【考点】 1. 三视图； 2 求体积； 3 证线面垂直 ( 垂直关系 ) ；4 求二面角的平面角；5 求线面 角； 6 求异面直线所成角；7. 求三角形面积；8 判断平行、垂直、相交、重合位置关系。 【复习建议】 本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1) 问，一般考查平行与垂直的证明 及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范， 如能建系。也可用向量法；第(2) 问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用 空间向量需注意：异面直线所成角( 一定不大于90 0) 、线面所成角 ( 此类题最容易错，记 住所求向量的夹角的余

2、弦为线面所成角的正弦) 、二面角 ( 注意观察是钝角还是锐角，一般 情况下是锐角 ) 。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写 的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。 特别 的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量 还是综合法，视题目( 更适合哪种方法) 和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角 要转换 ( 比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系) 和翻折问题。下面的例题仅供参考。 【题例】 1. 如图 3 所示， 在四面体PABC中， 已知 PA=BC=6 ， PC=AB=10 ，

3、AC=8，342PB F 是线段 PB上一点， 34 17 15 CF, 点 E在线段 AB上且 EF PB (I)证明： PB 平面CEF ； ( ) 求二面角BCE-F 的正切。 选题目的，练好计算( 包括三 角形各边，二面角求解) 练好规范；判定是否适用向量。 2翻折问题体积问题函数导数) 如图 6 所示，等腰 ABC 的底 边66AB, 高 CD=3 ，点 E是线段 BD上异于点B,D 的动点，点F 在 BC边上，且EF AB ， 现沿 EF将BEF折起到 PEF的位置， 使 PE AE ，记 BE=x，V(x) 表示四棱锥P一 ACEF 的体 积. (1) 求 V(x) 的表达式；

4、(2) 当 x 为何值时， V(x) 取得最大值 ? (3) 当 V(x) 取得最大值时，求异面直线AC与 PF所成角 的余弦值 3、( 组合图形问题)如图所示：边长为2 的正方形ABFC和高为 2 的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且2DE, ED A F, 且DAF=90 0 (1) 求 BD和面 BEF所成的角的正弦； (2) 线段 EF上是否存在点P使过 P、A、C三点的 平面和直线DB垂直，若存在，求EP与 PF的比值； 若不存在，说明理由。 总结：解决存在性问题方法：1先假设存在，再去推理，下结论： 2 运用推理证明计算 得出结论，或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证

5、明或计算。 4( 视图，无棱二面角问题) 四棱锥 PABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示 (1) 写出四棱锥P一 ABCD中四对线面垂直关系( 不要求证明 ) ； (2) 在四棱锥P-ABCD中，若 E为 PA的中点，求证： BE 平面 PCD； (3) 在四棱锥P一 ABCD 中，设面PAB与面 PCD所在的角为(0 0 900) ，求 cos 的值 5( 无棱二面角问题) 如图，四棱锥S一 ABCD 的底面是边长为l 的正方形 SD 垂直于底面ABCD ，.3SB (1) 求证： BC SC (2) 求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小； (3) 设棱 SA的中点为M ，求异

6、面直线DM 与 SB所成角的大小 6 如图边长为1 的正方形ABCD 中，点 E、 F分别为 AB 、BC的中点，将ABEF剪去，将 AED 、DCF分别沿 DE 、 DF折起，使A、 C两点重合于点P得一三棱锥如图示 (1) 求证： PD EF ： (2) 求三棱锥P DEF的体积； (3) 求 DE与平面 PDF所成角的正弦值 7、 如图，在四棱锥P一 ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD=60 0， Q为 AD的中点。(1) 若 PA=PD ， 求证：平面PQB 平面PAD ； (2) 点 M在线段 PC上， PM=tPC ，试确定t 的值，使PA 平面 MQB (3) 在(2)

7、 的条件下，若平面PAD 平面ABCD ，且 PA=PD=AD=2 求二面角M BQ-C的大小。 8( 本小题满分l4 分) 如图， ABC是以 ABC为直角的三角形， SA 平面ABC ，SA=BC=2 。AB=4M 、 N、D分别是 SC 、 AB 、BC的中点。 (1) 求证： MN AB ； (2) 求二面角S-NDA的余弦值： (3) 求点 A到平面 SND的距离。 参考答案 l(I)证明： 222 1006436PCACPA PAC是以 PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以 PAB为直角的直角三角形， PCB是以 PCB为直角的直角三角形故PA 平面 ABC,又 30610

8、 2 1 | 2 1 BCACS PBC 而 PBC SCFPB30 17 3415 342 2 1 | 2 1 , 故 CF PB ，又已知EF PB PB平面 CEF (II)由(I) 知 PB CE ，PA 平面ABC AB是 PB在平面 ABC上的射影，故AB CE 在平面 PAB内，过 F 作 FF1垂直 AB交 AB于 F1，则 FF1平面 ABC ，EFl是 EF在 平面 ABC上的射影， EF EC , 故FEB是二面角BCE F 的平面角 3 5 6 10 tantan AP AB BPAFEB 二面角 BCE一 F 的正切为 3 5 说明：本题不适宜用向量 2(1) 由折起

9、的过程可知， PE 平面ABC ， 2 2 12 6 54 ,69xS x SS BDCAEFABC )630)( 12 1 9( 3 6 )( 2 xxxxV (2) 4 1 9( 3 6 )( 2 xxV 所以)6 ,0(x时，)(,0)(xVxV单调递增； 636x时,)(,0)(xVxV单调递减；因此6x时， V(x) 取得最大值.612 (3) 过 F 作 MT AC 交 AD与 M ，则 26,122, 2 1 PMBEMB AB BE BD BE BC BF AB BM 42954 3 6 63 6 BCPFBFMF 在 PFM中， 7 2 42 7284 cos PFM 异面直

10、线AC与 PF所成角的余弦值为 7 2 3 解(1) 因为 AC 、AD 、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B(2，0， 0)，D(0，0，2) E(1，l ，2)，F(2 ，2，0) 。则)0 ,2, 0(),2, 1 , 1(),2,0 ,2(BFBEDB 设平面 BEF的法向量),(zyxn, 则x,0,02yzy 则可取),1 ,0 ,2(n 向量DB和) 1 , 0, 2(n所成角的正弦为 10 10 )2(212 2022 2222 即 BD和面 BEF所成的角的正弦 10 10 (2) 假设线段EF上存在点P使过 P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设 )0(mPFmEP 则

11、 P点坐标为) 1 2 , 1 21 , 1 21 ( mm m m m 则向量 ) 1 2 , 1 21 , 1 21 ( mm m m m AP 向量 ) 1 2 , 1 1 , 1 21 ( mmm m CP 所以, 0 1 2 )2( 1 21 0 1 21 2 mm m m m 所以 2 1 m 故存在这样的点P，当点 P为 EF中点时， BD 面 PAC 4解(1) 如图，在四棱锥P一 ABCD 中，PA 平面 ABCD ，AD 平面 PAB ，BC 平面 PAB ，AB 平面 PAD (2) 依题意 AB 、AD 、AP两两垂直，分别以直线AB 、AD 、AP为 zyx、 轴，建

12、立空间直角坐 标系，如图则P(0，0，2) ，B(2，0，0),C(2,2，0) ，D(0，4，0) E是 PA中点，点E的坐标为 (0 ， 0，1) ， )2, 4, 0(),2, 2,2(,1 , 0, 2PDPCBE 设),( 1 zyxn是平面 PCD的法向量 由 PDn PCn 1 1 .，即 024 0222 zy zyx 取 y=1，得)2 ,1 , 1( 1 n为平面 PCD的一个法向量 /,n,0211012 11 BEBEnBE平面 PCD. 又BE平面 PCD ， BE平面 PCD (3) 由(2) ，平面 PCD的一个法向量为)2,1 ,1 ( 1 n 又 AD 平面

13、PAB ，平面PAB的一个法向量为 6 6 6 1 | cos),0, 1 , 0( 2 1 21 2 nn nn n 5、方法一解：(1) 如图建立空间直角坐标系则有B(1,1 ，0) ，C(0，1，0)，S(0，0,1) 于是) 1, 1 , 0(),0, 0, 1(SCBC. 于是0SCBC 所以SCBC, 于是 BC SC ， (2) 显然平面ASD的法向量为 )0, 1 ,0(n , 设平面 SCB的法向量为 ),1 ,( 2 yxn 则有 SCnBCn 22 , 即 01 0 y x , 解得) 1 , 1 ,0( 2 n 由于 2 2 ,cos 21 nn 所以 1 n与 2 n

14、的夹角为45 0，由图可以判断面 ASD与面 BSC所成的角为锐角，因此与 1 n与 2 n 的夹角相等，从而面ASD与面 BSC所成的角为45 0 (3)M 点坐标为 ) 2 1 ,0 , 2 1 (于是) 2 1 ,0 , 2 1 (DM，而)1, 1 , 1(SB, 并且0,cosSBDM 于是 DM SB ，即异面直线DM 与 SB所成角的为90 0 ：方法二：几何法更快 6(1) 证明：依题意知图折前AD AE,CD CFPD PE ，PF PD ，2分 PPFPE, PD平面 PEF 3分 又EF平面 PEF PD EF 4分 (2) 解法 l ：依题意知图中 2 1 2 1 PF

15、PECFAE 在 BEF中 2 2 2BEEF 在 PEF中 PFPEEFPFPE 222 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 PFPES PEF 7 分 24 1 1 8 1 3 1 3 1 PDSVV PEFPEFDDEFP 8 分 (2) 解法 2：依题意知图中 2 1 2 1 PFPECFAE 在 BEF中 2 2 2BEEF5 分 取 EF的中点 M ，连结 PM,则 PM EF 4 2 22 EMPEPM 6 分 8 1 4 2 2 2 2 1 2 1 PMEFS PEF 7 分 24 1 1 8 1 3 1 3 1 PDSVV PEFPEFDDEFP 8 分 (3) 由(2)

16、 知 PE PF, 又 PE PD PE 平面PDF 10 分 PDE为 DE与平面 PDF所成的角， 11分 在 RtPDE中 2 1 , 2 5 4 1 1 22 PEPEPDDE l2 分 5 5 2 5 2 1 sin DE PE PDE 14 分 7解： (1) 连 BD，四边形ABCD 菱形， AD AB ，BAD=60 0, ABD为正三角形， Q为 AD中 点， AD BQ, PA=PD ，Q为 AD的中点， AD PQ,又 BQ PQ=Q AD 平面PQB ， AD平面 PAD,平面 PQB 平面 PAD (2) 当 3 1 t时， PA平面 MQB, 下面证明，若PA 平面

17、 MQB ，连 AC交 BQ于 N, 由 AQ BC, 可得ANQBNC, 2 1 NC AN BC AQ 即 3 1 NC AN PA 平面 MQB ，PA平面 PAC, 平面 PAC 平面 MQB=MN，PA MN 3 1 AC AN PC PM 即：PCPM 3 1 , 3 1 t (3) 由 PA=PD=AD=2，Q 为 AD的中点，则PQ AD.又平面 PAD 平面 ABCD ，所以 PQ 平面 ABCD ，以 Q为坐标原点， 分别以 QA 、QB 、 QP所在的直线为x，y，z 轴，建立如图 所示的坐标系，则各点坐标为)3,0,0(),0 ,0,0(),0 ,3,0(),0, 0,

18、 1(PQBA )0, 3, 0(),3,3,2(),0,3,2(),0, 2 3 ,0(QBPCCN 令cbaM, 则 )3,(cbaPM , 由 PCPM 3 1 , 得点的坐标) 3 32 , 3 3 , 3 2 (M,), 3 32 , 6 3 , 3 2 (MN 设平面 MQB 的法向量为)1 ,(yxn, 可得 0 0 MNn QBn ,MNPA/, 0 0 PAn QBn , 解得) 1 ,0 ,3(n 取平面 ABCD 的法向量 2 1 ,cos1 ,0, 0 nm nm nmm 又因为二面角M BQ C为锐二面角，所以其大小为60 0。 8(1) 略证：作 ME AC ，连接

19、NE ，可证得AB 平面 MNE, 即得 MN AB 4分 过 A作 AF垂直 DN且与 DN的延长线相交于点F，连接 SF 在 DBN中, 2 1 tan BN DB DNB, 5 5 sinDNB 在 RtAFN中, 5 52 sinDNBANAF 在 RtSAF中,5 5 52 2 tan AF SA SFA (3) 过点 A作 AHSF于 H，由 (2) 知平面 SAF 平面 SND AH 面SND AH的长为点A到平面 SND的距离 在 RtAHF中， 3 6 6 30 5 52 sinSFAAFAH 故点 A到平面 SND的距离为 3 6 14 分 解法二： ( 向量法 ) B 为坐标原点，建立空间直角坐标系( 如图）， 由题意得M(1，2，1） ，N(0，2， 0) 所以),0,2 ,0(),1,0 , 1(ABMN ABMNABMN,0 设平面 SND的法向量为),(zyxm 则 0SNm ，且 0DNm ， 令解 z=1 得： x=2，y=-1 1 , 1,2m 又平面 AND的法向量为 ) 1 ,0 ,0(n 6 6 cos nm nm (3) 3 6 | m mAN d