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1、2-1 什么叫流线、流管？流线与迹线有什么区别？ 答：流线就是在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使这一瞬间在该曲线上各点的流体质 点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。 在流场中经过一封闭曲线( 不是流线 ) 的所有流线所围成的管状表面，称为流管。 流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻， 由不同流体质点组成的。迹线是同 一质点不同时刻的轨迹线。在定常流动中，流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。在非 定常流动中，流线的形状随时间而改变，流线与迹线不重合。 2-2 直角坐标系中，流场速度分量的分布为 2 2uxy， 2 2vx y 试证过点（ 1，7）的流线方程为 22 4
2、8yx 证：根据流线微分方程 dxdy uv 求得， 22 22 dxdy xyx y 积分得 22 yxc 代入点（ 1， 7）求积分常数 48c 过点（ 1， 7）的流线方程为 22 48yx 2-3 设流场中的速度大小及流线的表达式为 22 22Vxxyy， 2 2yxy常数 求速度分量的表达式。 解：对 2 2yxy常数求导，2220 dydy yyx dxdx ，得出 dyy dxxy 根据流线微分方程 dxdy uv ，得到 u 和 v 的关系， xy uv y 代入 2222 22Vuvxxyy 得vy 求得 u 和 v 的表达式： ,vy uxy或,vy uxy 2-4 求第
3、2-3 题中速度分量u的最大变化率及方向。 解：梯度矢量Ggradijk xyz u rrrr ()uxy () uu Ggradijij xy u rrrrr 2G 2-5 试证在柱坐标系（, ,rz）下，速度的散度表达式为 1 () r r VVw divVV rrz 证： uvw divV xyz cosxr，sinyr， r dr V dt ， rd V dt cossin r dx uVV dt sincos r dy vVV dt sin cos uuruuu xrxxrr cos sin vvrvvv yryyrr cos r uV rr ，sin(sincos ) r uV V
4、V sin r vV rr ， cos(cossin ) r vV VV 222222 cossinsinsincoscos rrrrrr uvVVVVVVVVV xyrrrrrrrrr 代入 1 () r r uvwVVw divVV xyzrrz 2-6 在不可压流中，下列哪几个流动满足质量守恒条件？ （a） 3 sinuxy 2 3cosvxy （b） 3 sinuxy 2 3cosvxy （c）2 sincosur 2 2 sinvr （d） 2 k V r 22 xy常数 解：对于不可压缩流体，应满足连续方程0 uv xy （a） 22 3sin3sin0 uv xyxy xy 满足
5、质量守恒条件 （b） 22 3sin3sin0 uv xyxy xy 不满足质量守恒条件 （c） 22 rxy，arctan y x 2223 sinsin cos2sincos2 cos2 sin2sin uuruuu rr xrxxrrr 33 coscos sin2sin( 4 sincos )2sin4sincos vvrvvv r yryyrrr 2 4sincos0 uv xy 不满足质量守恒条件 （d）对 22 xy常数求导，220 dy xy dx 得出 dyx dxy 根据流线微分方程 dxdy uv ，得到 u 和 v 的关系， x vu y 代入 22 2 k Vuv r
6、 得 3 22 2 () ky u xy ， 3 22 2 () kx v xy m 55 2222 22 33 0 ()() uvkxykxy xy xyxy 满足质量守恒条件 2-7 流体力学具有分速度 2223/ 2 2223/ 2 2223/ 2 () () () x u xyz y v xyz z w xyz 试问该流场是否有旋？如果无旋，求出其速度位函数。 解：判定无旋流的条件：0,0,0 zyx 即; x v y u ; y w z v z u x w 5 222 2 3 () vxy x xyz ， 5 222 2 3 () uxy y xyz uv yx 同理; y w z
7、v z u x w 该流场无旋 对于无旋流，速度位函数 3 222 2 () xdxydyzdz dudxvdywdz xyz 1 222 2 1 () c xyz 2-8 有不可压流体作定常运动，其速度场为 2 uax vay az 式中 a 为常数。求： （1）线变形率、角变形率； （2）流场是否有旋； （3）是否有速度位函数存在。 解：微团线变形速率 2 x y z u a x v a y w a z 微团角变形速率 1 0 2 1 0 2 1 0 2 x y z wv yz uw zx vu xy 1 ()0 2 x vu xy 同理0,0 yz 该流场无旋 对于无旋流，速度位函数2d
8、udxvdywdzaxdxaydyazdz 222 11 22 axayazc 2-9 二维位流流场为 3 22 3 x xxyy，求曲线 2 4x y上点（ 2，-1 ）处的切向速度分 量。 解：对 2 4x y求导，得出 (2,1) 2 1 dyy dxx ， 得到45，为 x 轴到切线方向的转角。 2 2uxxy x ，2vxy y 3 2 cos( , )cos( , )cossin 2 vux svy suv 2-10 设下列几种函数分别代表流动的3 个分速度： （1）,0ukx vky； （2）,ukx vkykx； （3）,ukx vkykz； （4）,2ukx vkykz； （
9、5）,ukx vkykz。 其中k为常数。问哪几种情况可以代表不可压流动？ 解：对于不可压缩流体，应满足连续方程0 uvw xyz （1）,0ukx vky w； 0 uvw xyz 可以代表不可压流动 （2）,ukx vky wkx； 0 uvw xyz 可以代表不可压流动 （3）,ukx vky wkz； 0 uvw xyz 不可以代表不可压流动 （4）,2ukx vky wkz； 0 uvw xyz 可以代表不可压流动 （5）,ukx vky wkz。 0 uvw xyz 不可以代表不可压流动 2-11 某一流动可描述为( )Vf r， 22 xy常数。问( )f r应具有什么形式，流场
10、才能满 足连续条件？为什么？ 解：对 22 xy常数求导，220 dy xy dx 得出 dyx dxy 根据流线微分方程 dxdy uv ，得到 u 和 v 的关系， x vu y 代入 22 ( )Vuvf r 得 1 22 2 ( ) () yf r u xy ， 1 22 2 ( ) () xf r v xy m 要满足质量守恒条件，需0 uv xy ( ) n f rcr（c,n 为任意常数） 2-12 二维点涡诱导的无旋流场是否满足连续条件？ 解：二维点涡的位函数 0 2 流速只有 0 1 2 V rr ，0 r V 11 ()0 r r uvVVV V xyrrr 满足连续方程0
11、 uv xy ，满足连续条件 2-13 某二维流动可描述为 22 45Vxxyy， 2 yxy常数。试用两种方法证明（见 习题副图2-13）图中对curl zV 在暗影区的面积分等于4。 证：对 2 yxy常数求导，20 dydy yyx dxdx 得出 2 dyy dxxy 根据流线微分方程 dxdy uv ，得到 u 和 v 的关系， 2xy uv y 代入 2222 45Vuvxxyy 得vy 求得 u 和 v 的表达式：,(2 )vy uxy或,2vy uxy curl zV 为 V在 z 轴的旋度，同2 z 1 ()1 2 z vu xy ()(2 )4 LL L V dsudxvd
12、yxy dxydy r r m 蜒? 沿空间封闭曲线L的环量，等于穿过张在L上任意曲面S上的涡通量。 ()()24 z L Lss vu V dsudxvdydSdS xy r r 蜒 2-14 一架飞机以180km/h 的速度在海平面上飞行，求驻点处的表压（即大于或小于大气压 的那部分压强）及相对流速为60m/s 处的表压。 解： 1 180/50/Vkm hm s 根据 Bernoulli方程 2 0 2 V pp 2 21 11 1 ()1.225 501531.25 22 aaa V pppppPa 表 2 22 21 1 1531.251.225 60673.75 22 V ppPa
13、 表表 2-15 有一救火机，见习题附图2-15 ，出水口直径7.5cm，入水口直径30cm，流量是 3640L/min(1L=1000 3 cm) ，进水口处水压为2 5 10N/m 2。求救火机所受的反作用力。 解：流量 1 122 QAVA V， 求得 1 Vs， 2 Vs 已知进口水压 5 1 210ppa 22 1 2 12 22 VV pp 求得 5 2 1.05710ppa 根据积分形式动量方程 控制体所受合外力等于控制体中动量的增加率加上净流出控制面的动量流量。 21 () xn S Fu V dSQ uu 21 () yn S Fv V dSQ vv 112221 cos30(cos30) x Fp Ap AQVV 222 sin30sin30 y Fp AQV 4 1.388 10 649.6 x y FN FN X方向作用力10 4N，方向向后， Y方向作用力，方向向上。