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1、历年高考数列真题汇编 1、 (2011 年新课标卷文) 已知等比数列 n a中， 1 1 3 a，公比 1 3 q （I ） n S为 n a的前 n 项和，证明： 1 2 n n a S （II ）设 31323 logloglog nn baaaL，求数列 n b的通项公式 解： （）因为. 3 1 ) 3 1 ( 3 11 n n n a, 2 3 1 1 3 1 1 ) 3 1 1 ( 3 1 nn n S 所以, 2 1n n a S （） nn aaab 32313 logloglog).21 (n 2 )1(nn 所以 n b的通项公式为. 2 )1(nn bn 2、(2011
2、全国新课标卷理） 等比数列 n a的各项均为正数，且 2 12326 231,9.aaaa a （1）求数列 n a的通项公式 . (2) 设 31323 logloglog, nn baaa求数列 1 n b 的前项和 . 解： （）设数列 an 的公比为q，由 2 326 9aa a得 32 34 9aa所以 2 1 9 q。有条件可知a0, 故 1 3 q。 由 12 231aa得 12 231aa q，所以 1 1 3 a。故数列 a n的通项式为 an= 1 3 n 。 （） 111111 loglog.log n baaa (12.) (1) 2 n n n 故 1211 2()
3、(1)1 n bn nnn 12 111111112 .2(1)().() 22311 n n bbbnnn 所以数列 1 n b 的前 n 项和为 2 1 n n 3、 （ 2010 新课标卷理） 设数列 n a满足 21 11 2,3 2 n nn aaag （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 nn bna，求数列的前n 项和 n S 解（）由已知，当n 1 时， 111211 ()()() nnnnn aaaaaaaaL 2123 3(222)2 nn L 2(1) 1 2 n 。 而 1 2,a所以数列 n a的通项公式为 21 2 n n a。 （）由 21 2 n nn b
4、nan知 3521 1 22 23 22 n n SnL 从而 235721 21 22 23 22 n n SnL - 得 2352121 (12 )22222 nn n SnL。 即 21 1(3 1)22 9 n n Sn 4、 （ 20I0 年全国新课标卷文） 设等差数列 n a满足 3 5a， 10 9a。 （）求 n a的通项公式； （）求 n a的前n项和 n S及使得 n S最大的序号n的值。 解： （1）由 am = a1 +（n-1 ）d 及 a1=5， a10=-9 得 1 1 25 99 ad ad 解得 1 9 2 a d 数列 an的通项公式为an=11-2n 。6
5、分 (2)由(1) 知 Sn=na1+ (1) 2 n n d=10n-n 2。 因为 Sn=-(n-5) 2+25. 所以 n=5 时， Sn取得最大值。 5、 （ 2011 年全国卷） 设等差数列 n a的前 N项和为 n S, 已知 2 6,a 12 630,aa求 n a和 n S 6、 （ 2011 辽宁卷） 已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10 （I ）求数列 an的通项公式； （II ）求数列 1 2 n n a 的前n项和 解： （I ）设等差数列 n a的公差为d，由已知条件可得 1 1 0, 21210, ad ad 解得 1 1, 1. a d 故数列 n a
6、的通项公式为2. n an5分 （II ）设数列 1 2 n n n a nS 的前项和为，即 2 11 1 ,1 22 n n n aa SaSL故， 12 . 2242 nn n Saaa L 所以，当1n时， 121 1 1 1 1 2222 1112 1() 2422 12 1(1) 22 nnnn nn nn nn Saaaaa a n n L L =. 2 n n 所以 1 . 2 n n n S 综上，数列 11 . 22 n n nn a n nS的前 项和 7、 （ 2010 年陕西省） 已知 an 是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列 . （）求数列
7、 an的通 项; （）求数列2 an 的前 n项和Sn. 解（）由题设知公差d0， 由a11，a1，a3，a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d ， 解得d1，d0（舍去），故 an 的通项an1+（n1） 1n. ( ) 由（）知2 m a =2 n，由等比数列前 n 项和公式得 Sn=2+2 2+23+2n=2(12 ) 12 n =2 n+1-2 8、 （ 2009 年全国卷） 设等差数列 n a 的前n项和为 n s，公比是正数的等比数列 n b 的前n项和为 n T，已知 113333 1,3,17,12, nn ababTSb求a的通项公式。 解：设 n a的公差为d
8、， n b的公比为q 由 33 17ab得 2 12317dq 由 33 12TS得 2 4qqd 由及0q解得2,2qd 故所求的通项公式为 1 21,3 2 n nn anb 9、 （ 2011 福建卷） 已知等差数列an中， a1=1，a3=-3. （I ）求数列 an的通项公式； （II ）若数列 an 的前 k 项和 Sk=-35 ，求 k 的值 . 10、 （2011 重庆卷） 设是公比为正数的等比数列，,. ( ) 求的通项公式。 ( ) 设是首项为1，公差为2 的等差数列，求数列的前项和. 11、 （2011 浙江卷） 已知公差不为0 的等差数列 n a的首项为)(Raa，且
9、1 1 a ， 2 1 a ， 4 1 a 成等比数列 （）求数列 n a的通项公式； （）对 * Nn，试比较 n aaaa2 3 2 2 22 1 . 111 与 1 1 a 的大小 解：设等差数列 n a的公差为d，由题意可知 2 214 111 () aaa 即 2 111 ()(3 )ada ad，从而 2 1 a dd因为 1 0,.ddaa所以 故通项公式. n ana （）解：记 2 2 2 22 111 ,2n n n n Taa aaa L因为 所以 2 11 (1( ) ) 1 111111 22 ()1( ) 1 2222 1 2 n n n n T aaa L 从而，
10、当0a时， 1 1 n T a ；当 1 1 0,. n aT a 时 12、 （2011 湖北卷） 成等差数列的三个正数的和等于15， 并且这三个数分别加上2、 5、 13 后成为等比数列中的、 、 。 (I) 求数列的通项公式； (II) 数列的前n 项和为，求证：数列是等比数列。 13、 （2010 年山东卷） 已知等差数列 n a满足：7 3 a，26 75 aa， n a的前n项和为 n S （）求 n a及 n S； （）令 1 1 2 n n a b（ * Nn） ，求数列nb的前n项和为nT。 解： （）设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d， 由于7 3 a，26 75
11、 aa，所以72 1 da， ， 解得3 1 a， ，由于 dnaan )1( 1 ， 2 )( 1n n aan S， 所以12nan，)2(nnSn （）因为12nan，所以)1(41 2 nnan 因此) 1 11 ( 4 1 )1(4 1 nnnn bn 故 nn bbbT 21 ) 1 11 3 1 2 1 2 1 1( 4 1 nn ) 1 1 1( 4 1 n)1(4 n n 所以数列 n b的前n项和 )1(4 n n Tn 14、 （2010 陕西卷） 已知 an 是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列 . （）求数列 an的通 项; （）求数列 2 a
12、n的前 n项和Sn. 解（）由题设知公差d0， 由a11，a1，a3，a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d ， 解得d1，d0（舍去），故 an 的通项an1+（n1） 1n. ( ) 由（）知2 m a =2 n，由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+2 2+23+2n=2(12 ) 12 n =2 n+1-2. 、 15、 （2010 重庆卷） 已知 n a是首项为19，公差为 -2 的等差数列， n S为 n a的前n项和 . （）求通项 na 及 nS ； （）设 nn ba是首项为1，公比为3 的等比数列，求数列 n b的通项公式及其前n项 和 n T. 16、 （
13、2010 北京卷 ） 已知| n a为等差数列，且 3 6a， 6 0a。 （）求| n a的通项公式； （）若等差数列| n b满足 1 8b， 2123 baaa，求| n b的前 n 项和公式 解： （）设等差数列 n a的公差d。 因为 36 6,0aa所以 1 1 26 50 ad ad 解得 1 10,2ad 所以10(1) 2212 n ann （）设等比数列 n b的公比为q因为 2123 24,8baaab 所以824q即q=3 所以 n b的前n项和公式为 1(1 ) 4(13 ) 1 n n n bq S q 17、 （2010 浙江卷 ） 设a1，d为实数，首项为a1，
14、公差为d的等差数 an的前n项和为Sn，满足S2S6150. （）若S5S. 求Sn及a1; （）求d 的取值范围 . 解： ( ) 由题意知S0=-3,a=S-S=-8 所以解得a1=7所以S=-3,a1=7 ( ) 因为SS+15=0, 所以 (5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a1 2+9da 1+10d 2+1=0. 故(4a1+9d) 2=d2-8. 所以 d 28. 故 d的取值范围为d-2 18、 （2010 四川卷） 已知等差数列的前3 项和为 6，前 8 项和为 -4 。 （）求数列的通项公式； （）设，求数列的前n 项和 ）由（）得解答可得， 1n n
15、bn qg ，于是 0121 123 n n Sqqqn qgggLg 若 1q ，将上式两边同乘以q 有 121 121 nn n qSqqnqn qggLgg 两式相减得到 121 11 nn n qSn qqqqgL 1 1 n n q nq q 1 11 1 nn nqnq q 于是 1 2 11 1 nn n nqnq S q 若 1q ，则 1 123 2 n n n SnL 所以， 1 2 1 ,1 , 2 11, 1 . 1 nnn n n q S nqnq q q （12 分） 19、 （2010 上海卷） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且585 nn Sna， *
16、nN 证明：1 n a是等比数列； 解：由 * 585, nn SnanN（ 1） 可得： 111 1585aSa，即 1 14a。 同时 11 (1)585 nn Sna（2） 从而由(2)(1)可得： 11 15() nnn aaa 即： * 1 5 1(1), 6 nn aanN，从而1 n a为等比数列，首项 1 115a，公比为 5 6 ， 通项公式为 1 5 115*() 6 n n a，从而 1 5 15*()1 6 n n a 20、 （2009 辽宁卷） 等比数列 的前 n 项和为，已知, 成等差数列 （ 1）求 的公比 q； （ 2）求 -=3，求 解： （）依题意有 由于，故 又，从而 （）由已知可得 故 从而