周期问题(含答案).pdf

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1、精品文档 . 简单的周期问题 一、填空题 1某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_ 2 1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再过十年的12 月 5 日是星期_ 3按如图摆法摆80 个三角形，有_个白色的 4节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯 起，每一盏白灯后面都紧接着有3 盏彩灯，小明想第73 盏灯是_灯 5时针现在表示的时间是14 时正，那么分针旋转1991 周后，时针表示的时间是_时 6 把自然数 1， 2， 3， 4， 5如表依次排列成5列， 那么数 “ 1992”在_列 7把分数化成小数后，小数点第110

2、位上的数字是_ 8循环小数与这两个循环小数在小数点后第_位，首次同时出现在该位中的数 字都是 7 9一串数： 1，9，9，1，4，1，4，1， 9，9，1，4，1，4，1， 9，9，1，4， 共有 1991 个数 （1）其中共有_个 1，_个 9_个 4； （2）这些数字的总和是_10 所得积末位数是_ 二、解答题（共4 小题，满分0 分） 11紧接着1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如8 9=72，在 9 后面写 2， 9 2=18，在 2 后面写 8，得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6 这串数字从1 开始往右数，第1989 个数字是什么？ 121

3、991 个 1990 相乘所得的积与1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？ 13n=，那么 n 的末两位数字是多少？ 14在一根长100 厘米的木棍上，自左至右每隔6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔5 厘米也染一个红点，然后沿 红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1 厘米的短木棍有多少根？ 精品文档 . 参考答案与试题解析 一、填空题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分） 1 （3 分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期二 考点 ： 日期和时间的推算。 分析：因为某年二月份有五个星期日，又知 4 7=28，所以这年二月份应为29 天，而且可知2 月 1

4、日和 2 月 29 日均 为星期天所以3 月 1 日为星期一到六月一日经过了3 月、 4 月、 5 月，因为3 月、 5 月又 1 天， 4 月有 30 天，所以共有31+30+31+1=93 天，每个星期有七天，所以937=132 ，所以 6 月 1 日是星期二 解答：解：因为 7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29 天，且 2 月 1 日与 2 月 29 日均为星 期日， 3 月 1 日是星期一，所以从这年3 月 1 日起到这年6 月 1日共经过了 31+30+31+1=93 （天） 93 7=132 ，所以这年6 月 1 日是星期二 答：这年六月一日是星期二 故答

5、案为：二 点评：本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运 用周期性解答在计算天数时，要根据“ 四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰” 的规定，即公历年份不是整 百数时，只要是4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400 的倍数才是闰年 2 （3 分） 1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再过十年的12 月 5 日是星期日 考点 ： 日期和时间的推算。 分析：先求出这十年有多少天，再求这些天里有多少周，还余几天；再根据余数求出这一天是星期几 解答：解：这十年中1992 年、 1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有 365 1

6、0+2=3652（天）； 3652 7=521（周） 5（天） ， 5+2=7，所以再过十年的12 月 5 日是星期日 故答案为：日 点评：本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运 用周期性解答在计算天数时，要根据“ 四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰” 的规定，即公历年份不是整 百数时，只要是4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400 的倍数才是闰年 3 （3 分）按如图摆法摆80 个三角形，有39个白色的 考点 ： 简单周期现象中的规律。 分析： 从图中可以看出，三角形按 “ 黑黑白白黑白” 的规律重复排列，也就是这一排列的周

7、期为6，80 6 得出周期 数和余数，一个周期有3 个白色，加上余数的白色个数，即可得解 解答： 解： 806=132 ， 余数 2 全是黑色，所以，白色的三角形有：13 3=39； 答：有 39 个白色的 故答案为： 39 点评： 看出规律，找到周期，是解决这类题的关键 精品文档 . 4 （3 分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一 盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3 盏彩灯，小明想第73 盏灯是白灯 考点 ：简单周期现象中的规律。 分析： 每四盏灯为一个周期，白灯、红灯、黄灯、绿灯，以此类推，73 是多少个周期余数是几，排一下就知

8、道 了 解答： 解：734=181， 所以是白灯； 答：小明想第73 盏灯是白灯 故答案为：白 点评： 此题考查了简单周期现象中的规律 5 （3 分）时针现在表示的时间是14 时正，那么分针旋转1991 周后，时针表示的时间是13时 考点 ：时间与钟面。 分析： 分针旋转一周为1 小时，旋转1991 周为 1991 小时；一天24 小时， 1991 24=82（天） 23（小时），1991 小时共 82 天又 23 小时；现在是14 时正，经过82 天仍然是14 时正，再过23 小时，正好是13 时 解答： 解：1991 24=82 天 23 小时， 1991 小时共 82 天又 23 小时

9、14+2324=13 小时， 答：时针表示的时间是13 时 故答案为： 13 点评： 考查了时间与钟面，在圆面上，沿着圆周把1 到 12 的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针， 就组成了我们天天见到的钟面钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周 期现象就是其中的一个重要方面 6 （3 分）把自然数1， 2，3，4，5如表依次排列成5 列，那么数 “ 1992”在第三 列 考点 ： 数表中的规律。 分析： 9 个数一个循环，这9 个数不变的排列是第一列、第二列、第三列、第四列、第五列、第五列、第四列、第 三列、第二列；那么求出1992 是多少个循环，得出余数，

10、即可得解 解答： 解： 1992 9=2213 ； 所以， 1992 在第三列 故答案为：第三 点评： 此题考查了数表中的规律，认真分析得出结论 7 （3 分）把分数化成小数后，小数点第110 位上的数字是7 考点 ： 简单周期现象中的规律；循环小数与分数。 精品文档 . 分析： 先把化成小数： 0.0.571428571428571428，是一个循环小数，它的循环周期是6，六个数字依次是：5，7， 1，4，2， 8 因为 1106=182 ，所以第110 位上的数是一周期的第二个数即7 解答： 解：因为=0.571428571428，是个循环小数，它的循环周期是6，具体地六个数字依次是5，7

11、，1，4，2， 8； 110 6=182，所以第110 个数字是上面列出的六个数中的第2 个，就是7 故答案为： 7 点评：做这类题先把分数化为小数，（一般为循环小数） ，周初他的循环周期及循环的数列，求第几位上的数字， 就用这个数字除以循环周期，余几就是一个循环周期的第几个数字 8 （3 分）循环小数与这两个循环小数在小数点后第35位，首次同时出现在该位中的数 字都是 7 考点 ： 循环小数及其分类；公约数与公倍数问题。 分析：根据已知条件可知，这两个小数的循环节分别是7 位数和 5 位数，求出5 和 7 的最小公倍数即可 解答：解：因为0.1992517 的循环节是7 位数， 0.3456

12、7 的循环节是5 位数，又5 和 7 的最小公倍数是35，所 以两个循环小数在小数点后第35 位，首次同时出现在该位上的数字都是7 故答案为： 35 点评：此题答解答主要根据求两个数的最小公倍数解答 9 （3 分）一串数：1，9，9，1， 4，1，4，1，9，9，1， 4，1，4，1，9，9，1，4，共有 1991 个数 （1）其中共有853个 1，570个 9568个 4； （2）这些数字的总和是8255 考点 ： 数字串问题；数字和问题。 分析：不难看出，这串数每7 个数即 1，9，9，1， 4，1，4 为一个循环，即周期为7，且每个周期中有3 个 1，2 个 9， 2 个 4 因为 19

13、917=2843， 所以这串数中有284 个周期， 加上第 285 个周期中的前三个数1， 9， 9 其 中 1 的个数是： 3 284+1=853（个） ，9 的个数是2 284+2=570（个） ，4 的个数是2 284=568（个）这些数 字的总和为1 853+9 570+4568=8255 解答：解： （1）这串数每7 个数即 1，9，9，1，4，1，4 为一个循环，且每个周期中有3 个 1，2 个 9，2 个 4因 为 19917=2843，所以这串数中有284 个周期，加上第285 个周期中的前三个数1， 9，9其中 1 的个数 是： 3 284+1=853（个），9 的个数是2

14、284+2=570 （个） ， 4 的个数是2 284=568（个） （ 2）这些数字的总和为：1 853+9 570+4568=8255 故答案为： 853，570，568；8255 点评：在做题时应首先观察规律：7 个数即 1， 9，9，1，4，1，4 为一个循环 10 （3 分）所得积末位数是9 考点 ： 乘积的个位数。 分析：当 7 的个数是1时，末位是7；当 7 的个数是 2 时，末位是9；当 7 的个数是3 时，末位是3；当 7 的个数 是 4 时，末位是1；当 7 的个数是5 时，末位又是7；由此发现积的末尾依次出现7、9、3、 1；依此规律解 答即可 精品文档 . 解答：解：先

15、找出积的末位数的变化规律： 7 1 末位数为7，72末位数为9，73末位数为3，74末位数 1；75=74+1末位数为7，76=74+2末位数为9，77=7 4+3 末位数为3，78=74 2末位数为1； 由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3， 1，以 4 为周期循环出现 因为 504=122 ，即 7 50=74 12+2，所以 750 与 7 2 末位数相同，也就是积的末位数是9 故答案为： 9 点评：此题考查的目的是：通过计算发现规律，依照规律解答这类问题 二、解答题（共4 小题，满分0 分） 11紧接着1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数

16、例如8 9=72，在 9 后面写 2， 9 2=18，在 2 后面写 8，得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6 这串数字从1 开始往右数，第1989 个数字是什么？ 考点 ：数字串问题。 分析： 依照题述规则多写几个数字：1989286884286884 可见 1989 后面的数总是不断循环重复出现286884， 每 6 个一组，即循环周期为6 因为 （19894） 6=3305， 正好除尽， 286884 所以所求数字是8 解答： 解：依照题述规则多写几个数字得到：1989286884286884286884 可见 1989 后面的数总是不断循环重复出现286884， 每 6 个一组，即

17、循环周期为6 因为 （19894） 6=3305， 所以 286884 的第四个数字为8，所求数字是8 点评： 此题属于数字串问题，解答此题的关键是要找出规律：1989 后面的数总是不断循环重复出现286884 121991 个 1990 相乘所得的积与1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？ 考点 ：简单周期现象中的规律。 分析：本题问的是两积相加的和末两位数是多少，所以不必求出两个积，求出两个积的末尾两位数即可可知1991 个 1990 相乘所得的积末尾两位是00；1 个 1991 末两位数是91，2 个 1991 相乘的积末两位数是81，3 个 1991 相乘的积

18、末两位数是71，4 个至 10 个 1991 相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11 个 1991 相乘积的末两位数字是91，由此可见，每10 个 1991 相乘的末两位数字重复出现，即周期为10因为 1990 10=199，所以 1990 个 1991 相乘积的末两位数是01即可得答案 解答：解：因为 1991 个 1990 相乘所得的积末两位是0 1 个 1991 末两位数是91，2 个 1991 相乘的积末两位数是81，3 个 1991 相乘的积末两位数是71，4 个至 10 个 1991 相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11， 01

19、，11 个 1991 相乘积的末两位数字是91， 可知每 10 个 1991 相乘的末两位数字重复出现，周期为10因为 1990 10=199，所以 1990 个 1991 相乘积的 末两位数是01 所以两个积相加的和末两位是01 答：再相加的和末两位是01 点评：做此题不能被庞大的数字所迷惑，要看清问的是什么要求两积相加和的末两位数，只要知道每个积的末两 位数，然后相加即可，不用算出两积的具体得数1991 个 1990 相乘所得的积的末尾两位数很显然是00，求 1990 个 1991 相乘所得的积的末尾两位数，要靠推算，找出其中的规律，通过计算可知末尾两位数是呈周期 循环出现的再根据循环现象

20、求1990 个 1991 相乘所得积的末尾两位数即可 13n=，那么 n 的末两位数字是多少？ 考点 ：周期性问题。 精品文档 . 分析： 此题可用列表法寻找规律n 是 1991 个 2 的连乘积，即n=2 1991首先从 2 的较低次幂入手寻找规律，列表 如下： nn 的十位数字 n的个位数字nn 的十位数字 n的个位数字 210221296 220421392 230821484 241621568 253221636 266421772 272821844 285621988 291222076 2102422152 2114822204 解答： 解：n 是 1991 个 2 的连乘积，

21、可记为n=2 1991，首先从 2 的较低次幂入手寻找规律，见上表观察上表，容 易发现自22开始每隔20 个 2 的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20因为 199120=9911，所以 21991与 211的末两位数字相同，由上表知 211的十位数字是4，个位数字是8所以， n 的末两位数字是48 答： n 的末两位数字是48 点评： 此题属于周期性问题，考查学生探索规律的能力 14在一根长100 厘米的木棍上，自左至右每隔6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔5 厘米也染一个红点，然后沿 红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1 厘米的短木棍有多少根？ 考点 ：染色问题；公约数与公倍数问题。

22、分析： 因为 100 能被 5 整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色于是我们可以看作是从同一端点染色 6 与 5 的最小公倍数是30，即在 30 厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，每一周的长度是 30 厘米，如图所示 由图示可知长1 厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1 周期中， 65=1，5 56 4=1剩余 10 厘米中 有一段所以锯开后长1 厘米的短木棍共有7 段 解答： 解：2 （10010） 30+1， =2 3+1， =7（段） 答：那么长度是1 厘米的短木棍有7根 点评： 解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5 厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公 倍数发现周期现象，化难为易