最新小学奥数专题-枚举法通用版.pdf

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1、精品文档 精品文档 2015 年小学奥数计数专题枚举法 1如图，有8 张卡片，上面分别写着自然数l 至 8从中取出3 张，要使这3 张卡片 上的数字之和为9问有多少种不同的取法? 2从 l 至 8 这 8 个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共 有多少种不同的取法? 3现有 1 分、 2 分和 5 分的硬币各4 枚，用其中的一些硬币支付2 角 3 分钱，一共有 多少种不同的支付方法? 4妈妈买来7 个鸡蛋，每天至少吃2 个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5有 3 个工厂共订300 份吉林日报 ，每个工厂最少订99 份，最多101 份问：共 有多少种不同的订？ 6在所有

2、四位数中，各个数位上的数字之和等于34 的数有多少个 ? 7有 25 本书，分成 6 份如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法 ? 8小明用70 元钱买了甲、乙、丙、丁4 种书，共10 册已知甲、乙、丙、丁这4 种 书每本价格分别为3 元、 5 元、 7 元、 11 元，而且每种书至少买了一本那么，共有多 少种不同的购买方法? 9甲、乙、丙、丁4 名同学排成一行从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙 不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排 法共有多少种? 10abcd 代表一个四位数，其中a，b， c，d 均为 l ，2，3，4 中的某个数

3、字，但彼此 不同，例如2134请写出所有满足关系ae，cd 的四位数abcd 来 11一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数 字的和恰好等于十位上的数字问一共有多少个这样的数? 123 件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3 各穿一件现有25 个小球，首 先发给甲1 个球，乙2 个球，丙 3 个球规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿l 号衣的人取他手中球数的1 倍，穿 2 号衣的人取他手中球数的3 倍，穿 3 号衣的人取他 手中球数的4 倍，取走之后还剩下两个球那么，甲穿的运动衣的号码是多少? 13甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢；如果没有人连胜

4、头两局，则谁先胜三局 谁赢，打到决出输赢为止那么一共有多少种可能的情况? 14用 7 张长 2 分米、宽 1 分米的长方形不干胶，贴在一张长7 分米、宽 2 分米的木板 上，将其盖住，共有多少种不同的拼贴方式?在这里，如果两种方案可以通过旋转而互 相得到，那么就认为是同一种 15用对角线把正八边形剖分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那 么共有多少种不同的方法?在这里，如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射，或 者旋转加反射而互相得到，那么就认为是同一种 16新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28 元 8 角。可以有多少种付钱方法？ 17 把一个

5、整数表示成若干个小于它的自然数值和，叫做整数的拆分。整数4 有多少 精品文档 精品文档 种不同的拆分方法？ 18用一台天平和重1 克、3 克、 9 克的砝码各一个（不再用其他物品当砝码），当砝码 只能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少种？ 19课外小组组织30 人做游戏，按130 号排队报数。第一次报数后，单号全部站出 来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全 部站出来？最后站出的人应该是第几号？ 20用 1、2、 3 这三个数一共可以组成多少个不同的三位数？分别为哪几个？ 21如图所示，数字1 处有一颗棋子，现移动这颗棋子到数字5 处。规定每次只能移动

6、 到邻近一格，且总是向右移动，例如12 45 就是一条路线。问有多少种不同的移 动路线？ 22邮局门前共有5 级台阶，规定一步只能登上一级或两级，那么上这个台阶一共有多 少种不同的上法？用数组表示不同的上法。 23商店出售饼干，现存10 箱 5 公斤重的， 4箱 2 公斤重的， 8 箱一公斤重的。顾客要 买九公斤重的饼干，为了便于携带又不开箱，售货员有多少种发货办法？ 24小云带了1张 5 元、 4 张 2 元的纸币和8 枚 1 元的硬币，现在他要买一本8 元的小 说，问他有多少种付钱方式？ 25把三个苹果放在两个同样的抽屉里，有多少种不同的方法？ 26用 0、1、2 这三个数，分别能组成多少

7、个不同的三位数？其中最小的三位数和最大 的三位数分别是多少？ 27一个盒子中装有七枚硬币，两枚1 分，两枚 5分，两枚1 角，一枚5 角，每次取出 两枚，记下它们的和，然后放回盒中，如此反复取出和放回，那么记下的和最多有多少 种不同的钱数？ 28三个数的和是7，如果不计次序，有几种可能？ 29从 150 这 50 个自然数中选取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的 取法？ 30 今有一角币1 张、 贰角币 1 张、 伍角币 1 张、 一元币 4 张、 五元币 2张。这 些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？ 31现在有足够数量的1 角、5 角及 1 元的硬币若干，如果想用这些硬

8、币组成价值为20 元的面额，那么一共有多少种不同的组合方法？ 32一本数学辅导书的序言共有3 页，目录共有2 页，随后的正文若干页。这本书在编 页码时是将序言、目录和正文分别进行编码的。如果我们知道这本书在编码时一共使用 了 1355 个字码。那么这本书一共有多少页？ 精品文档 精品文档 参考答案 13 【解析】 有 1+2+69，1+3+59，2+3+49，共 3 种，所以共有3 种取法符合题意 29 【解析】 在选取时，我们使被加数小于加数，有被加数选1 时不满足，选2 时不满足， 有 3+8 11，4+711，4+812，5+611，5+712，5+813， 6+713，6+8 14，7

9、+8 15，所以共有9 种取法，使得这两个数的和大于10 35 【解析】 2 角 3 分为 23 分，当含有5 分的硬币4 枚时，剩下的2354 3 分，可以是1+1+1，或 1+2 这 2 种组合支付方法； 当含有5 分的硬币3 枚时，剩下的235 38 分，可以是2+2+2+2，或 2+2+2+1+1，或 2+2+1+1+1+1 这 3 种组合支付方法； 当含有5 分的硬币2 枚时，剩下的235213 分，而 1、2 分最多能组成 (1+2) 4 12 分，不满足； 那么只含有1 枚 5 分硬币，和不含有5 分硬币时，显然更不满足 于是共有2+35 种支付方式 48 【解析】 如果 3 天

10、吃完，则2+2+32+3+23+2+2，有 3 种吃法； 2 天吃完，则2+55+23+44+3，有 4 种吃法； 1 天吃完，则那一天吃了7 个； 所以共有3+4+18 种不同的吃法 57 【解析】 30099+100+101 99+101+100 100+99+101 100+101+99 101+99+100 101+100+99 100+100+100 所以共有7 种不同的订法 610 【解析】 四位数最大为9999，数字和为9+9+9+936，所以数字和为34 的四位数只能由如下方式组 合得到： (9 ， 9，9，7) ，(9 ，9，8，8) 对应有 9997，9979，9799，7

11、999，9988，8899， 9889，8998， 9898，8989，共 10 种 75 【解析】 6 份不同，每份至少一本，则最少为1+2+3+4+5+621 本书， 25214，于是把4 本数安 排进入即可 精品文档 精品文档 有 1+2+3+4+5+101+2+3+4+6+9 1+2+3+4+7+81+2+3+5+6+91+3+4+5+6+725，共有5 种不同的分法 84 【解析】 每种书最少买一本，则花去3+5+7+1126 元，买了 4 册，所以剩下的702644 元，任意 买 6 册即可 显然 11 元的最多再买3 本，花去11 333 元，剩下11 元买 3 册， 3+3+5

12、11，即有 1 种 买法； 11 元的再买2 本，花去 11 222 元，剩下 22 元买 4册， 5+5+5+73+5+7+7，就有 2 种买 法； 11 元的再买1 本，花去11 元，剩下33 元买 5 册， 5+7+7+7+7，即有 1 种买法； 如果 11 元的 1 本都不再买， 那么 44 元买 6 册，最贵的为7 元，7642，无法花去44 元， 所以不满足 于是，共有1+2+14 种不同的购买方法 3 元 3，5 元 2，7 元 1，11 元 4； 3 元 2，5 元 2，7 元 3，11 元 3； 3 元 1，5 元 4，7 元 2，11 元 3； 3 元 1，5 元 2，7

13、元 5，11 元 2 99 【解析】 用 1，2，3，4 分别代表甲，乙，丙，丁，有2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123， 4312，4321，共 9 种情况满足 10 1324,1432,2314,2413,3412 【解析】 有 1324，1432， 2314，2413，3412 满足 11 8 【解析】 设三位数为abc，由分析知abc是 5 的倍数， c 为 0 或 5 当 c0 时， ba+c，abc 比 500 小，则 a1、2、3、4，对应 b1、2、3、4共 4 种情形 若 c5 时， a1、2、3、4，对应 b6、7、8、 9 也是 4 种情形

14、，因此一共是8 种情形 12 2 【解析】当甲穿的运动衣的号码是1，乙为 2，丙为 3 时，则甲再取1 个，乙再取6 个，丙 再取 12 个，此时共取走1+2+3+1+6+12 25 个，此时还剩下25250 个，不满足； 当甲穿的运动衣的号码是1，乙为 3，丙为 2 时，则甲再取1 个，乙再取 9 个，丙再取 8个， 此时共取走1+3+2+1+9+824 个，此时还剩下25241 个，不满足； 当甲穿的运用衣的号码是2，乙为1，丙为 3 时，则甲再取2 个，乙再取3 个，丙再取12 个，此时共取走1+2+3+2+3+12 23 个，此时还剩下25 232 个，显然满足 不难验证其他情况不成立

15、 所以甲穿的是2 号运动衣 13 14 【解析】 我们记甲赢为1，甲输为0， 两局决定输赢的情况有1+1，0+0，共 2 种； 精品文档 精品文档 三局决定输赢的情况不存在( 为什么？ ) ； 四局决定输赢的情况有1+0+1+1，1+0+0+0，0+1+1+1，0+1+0+0，共 4 种； 五局决定输赢的情况有1+0+0+1+1， 1+0+1+0+1， 1+0+0+1+0， 1+0+1+0+0， 0+1+1+0+0， 0+1+0+1+0， 0+1+1+0+1，0+1+0+1+1，共 8 种； 所以共有2+4+814 种可能 14 【解析】 如下图，有12 种符合题意的拼贴方式 15 12 【解

16、析】 下图为一个正八边形，它的八个顶点别记为1、2、3、4、5、6、7、8我们从顶点1 考虑， 三条不同长度对角线从小到大记为 1 l 、 2 l 、 3 l 从顶点 1 出发必然连了许多对角线，考虑整 个剖分三角形，若必然有顶点连了 2 l 、 3 l 两种对角线，不可能只连 1 l 对角线，否则根本剖分 不成三角形， 考虑到相互旋转而得到被认为是同一种剖分，因此考虑顶点1 连了 3l 或2l 对角 线 若顶点 1 连了 3 l 对角线 15，这样 1 5 对角线也是整个正八边形对称轴，再把左右两边的 梯形剖分成三角形即可，这样从顶点1 考虑分别有3 种不同的图形剖分，如下图所示 精品文档

17、精品文档 3 种结构记为a、b、c 上边是右边的剖分，左边剖分分别是上面3 处图形式对称图形，记为 a 、b 、c ，因此满足条件的正八边形剖分有下面9 种：aa， a a 、bb，bb 、c c 、ab，ab 、 ac、 bc这里 a ， b 与 b ，a、 a ，c 与 c ，a、b，c 与 c ，b 可相互反射得到，因此有6 中不同情形 若顶点 1 连了 2 l 对角线，而无 3 l 对角线，可以有 1 l 对角线，如图a，先连上 16 对角线，这 样剖分六边形123456 时，不会出现 3 l 对角线，否则旋转一下同顶点1 引 3 l 对角线是同一种 情形，这样必然使得顶点1 或顶点

18、6 有另外一条 2l 对角线，若14 为2l 对角线，如图e 这 样四边形1678 与四边形1234 关于轴 15 对称，中间四边形1456 部分只能是连4 6 右上 部四边形 1234剖分有 2 种分别主为d、 e， 它们的对称图形对应于四边形1678的两种剖分 d 、 e ，这样正八边形的剖分为d d、 d e、 e e 共 3 种 若 63 为 2 l 对角线， 这样的图形与图是同一个图形，它 不过是把顶点6 旋转到顶点1 即可 所以，共有9+312 种不同的方法 16 4 【解析】 （1）2 张 10 元， 1 张 5 元， 3 张 1 元， 1 张 5 角， 3 张 1 角； （2）

19、1 张 10 元， 3 张 5 元， 3 张 1 元， 1 张 5 角， 1 张 2 角， 1 张 1 角； （3）1 张 20 元， 4 张 2 元， 8 张 1 角； （4）3 张 10 元，收 30 元找回 1 元 2 角； 17 4 【解析】分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4 种不同的分拆方法：4=3+1， 4=2+2，4=2+1+1， 4=1+1+1+1。 18 7 【解析】 共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。一一来列举这三种情 精品文档 精品文档 况。 取一个砝码可称：1克、 3克、 9 克。有 3 种。 取两个砝码可称：1+3=4（克） 、

20、1+9=10（克）、3+9=12（克） ，3 种。 取三个砝码可称：1+3+9=13（克），有 1 种。 注意到 1、3、9、4、10、12、13 各不相同，所以可以称出： 3+3+1=7 （种） 19 16 【解析】根据题目的特点， 先用排列法把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。 排好队的人依次是1，2，3，4， 5， 28，29，30 次数出队号码 第一次1，3，5， 7，9，11，13， 15，17，19， 21，23，25，27，29 第二次2，6，10，14，18，22，16，30 第三次4，12，20，28 第四次8，24 第五次16 从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，

21、得出到第五次这些人全部站出来，最后在个人是16 号。 20 6 个； 123、 132、213、231、312、321 【解析】根据百位上的数字不同，我们可以将它们分成三类 第一类：百位上数字为1，有 123、132 第二类；百位上数字为2，有 213、231 第三类：百位上数字为3，有 312、321 可以组成123、132、213、231、 312、321 共 6 个不同数字 21 5 【解析】从1 要移到 5，从结果想，要移到5 只有从 4、3 向右移动一格到邻近一格5，即 5 4 或 53；要移到 4，只有从 3、2 向右移动一格到邻近的4，即：4 3或 4 2； 用 树形图填写如下

22、数一数，图中1 的个数就是移动的路线数。故共有5 条不同的路线。 22 8 【解析】（1） （1， 1，1，1， 1）表示每步只上一级，只有一种上法； 精品文档 精品文档 （2） （2，1，1，1） （1，2，1，1） ， （1，1，2，1， ） ， （1， 1，1，2） ，表示有一步上两个台 阶，其他几步都各上一个台阶，共有4 种上法； （3） （2，2，1） ， （1，2， 2） ， （2，1，2） ，表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶， 这种上法共有3 种。 因此，上台阶一共有1+4+3=8 种不同上法。 23 7 【解析】 9=5+2+2=5+2+1+1=5+1+1+1+1=2+

23、2+2+2+1=2+2+2+1+1+1=2+2+1+1+1+1+1 =2+1+1+1+1+1+1+1 一共有 7 种。 24 7 【解析】 8=5+2+1=5+1+1+1=2+2+2+2=2+2+2+1+1=2+2+1+1+1+1=2+1+1+1+1+1+1 =1+1+1+1+1+1+1+1 一共 7 种。 25 2 【解析】可以放（2，1）或者（ 3，0）个，由于两个抽屉一样，（2，1）和（ 1， 2）一样， 所以只有2 种。 26 102,210 【解析】列出所有这样的三位数，因为0 不能在首位，所以共有102，120，201，210，一 共 4 个，其中最大的是210，最小的是102。

24、27 9 【解析】列出所有的情况，和可以是 1 分+1 分=2 分； 1 分+5 分 =6 分； 5 分 +5 分=1 角； 1 分+1 角=1 角 1 分； 5 分+1 角=1 角 5 分； 1 角+1 角=2 角； 1 分+5 角=5 角 1 分； 5 分+5 角 =5 角 5 分； 1 角+5 角 =6角。一共9 种。 28 4 【解析】不计次序的话，将7 拆分开， 7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3一共 4 种。 29 625 【解析】取法有很多，找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键。 解：若两数中较大的是50，则另一个可以取1,2,3 ， 49，共 49 种取

25、法； 若两数中较大的是49，则另一个可以取1,2,3 ， 48，共 47 种取法； 若两数中较大的是48，则另一个可以取1,2,3 ， 47，共 45 种取法； 若两数中较大的是26，则另一个只能取25，共 1 种取法。 因此共有1+3+5+47+49=625 种取法。 说明在运用枚举法时，一定要找出问题的本质，按照一定的规律去设计枚举的形式。 30 119 【解析】本题如直接枚举， 情况复杂， 很难求出正确答案。我们可以先考虑付款的数额范围， 在此范围内，再考虑那些不能构成的付款数额，将其剔除。 由题意， 付款的最小数额为1 角，最大数额为14.8 元。其间 1 角的整数倍共有148 种款额

26、。 另一方面， 4 角、 9 角，这两种数额是这些钱币无法付出的，所以1.4 元、 1.9 元、 2.4 元、 2.9 元、 3.4 元、 3.9 元、 14.4 元，这些数额也无法付出。上述这些付不出的数额共29 种，应剔除。所以能付出的数额应是148-29=119 （种）。 说明本题采用逆向思维，把本来比较复杂的正面枚举改为较简单的反面枚举。这是我们做 题时的常见的策略。 31 441 精品文档 精品文档 【解析】若全用1 元的，共需20 个 1 元硬币，这时只有1 种组合方法； 若用 19 个 1 元硬币， 则还需 2 个 5 角硬币或者1 个 5 角与 5 个 1 角的硬币， 或 10

27、 个 1角的 硬币，这时共有3 种组合方法； 若用 18 个 1 元硬币，则还需4 个 5 角硬币或者3 个 5 角与 5 个 1 角的硬币，或2 个 5角的 硬币与 10 个 1 角的硬币，或1 个 5 角的硬币与15 个 1 角的硬币，或20 个 1 角的硬币，这 时共有 5 种组合方法； 依次类推，若用17 个 1 元硬币，则有7 种组合方法； 若用 1 个 1 元的硬币，则有39 种组合方法； 若不用 1 元硬币，则有41 种组合方法。 于是，共有1+3+5+39+41=441 种不同的组合方法。 32 491 【解析】我们知道，一页的编码是一位数时，编码时只用一个字码；当一页的编码是两位数 时，每页用两个字码；当一页的编码是三位数时，每页则用三个字码。因此，设这本书正文 有 x 页，可得方程：3+2+91+902+（x-99 ） 31355，解得x=486。即正文有486 页， 所以这本书一共有491 页。