高中数学模拟考试题(一).pdf

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1、高中数学模拟考试题（一） 数 学（理科） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150 分考试用时120 分钟 注意事项： 1答卷前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在 答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位 2 答第 I 卷时，每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3答第卷时，必须使用0.5 毫米黑色黑水签字笔在答题卡上 书写，要求字体工整、 笔迹清晰 作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘

2、出， 确认后再用0.5 毫米的黑 色签际笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案 无效 ，在试题卷 、草稿纸上答题无效 4考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交 参考公式： 如果事件 A 与 B 互斥，那么 )()()(BPAPBAP如果 A 与 B 是两个任意事件，0)(AP，那 么 如果事件 A 与 B 相互独立，那么)|()()(ABPAPABP )()()(BPAPABP 第卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 （1）i是虚数单位， i i 33 （A） 12 3

3、 4 1 （B）i 12 3 4 1 （C）i 6 3 2 1 （D）i 6 3 2 1 （2）若集合 2 1 log| 2 1 xxA，则ACR （A） , 2 2 0 ,(（B）, 2 2 （C） , 2 2 0 ,(（D）, 2 2 （3）设向量) 2 1 , 2 1 (),0, 1(ba，则下列结论中正确的是 （A）|ba（B） 2 2 ba（C）bba与垂直 （D）ba / （4）若)(xf是 R 上周期为5 的奇函数，且满足,2)2(, 1)1 (ff则)4()3(ff= （A）-1 （B）1 （C）-2 （D）2 （5）双曲线方程为12 22 yx，则它的右焦点坐标为 （A）)0

4、, 2 2 (（B）)0 , 2 5 (（C）)0, 2 6 (（D）)0 ,3( （6）设0abc，二次函数cbxaxxf 2 )(的图象可能是 （7）设曲线C 的参数方程为 sin31 cos32 y x （为参数）， 直线l的方程为023yx，则曲线C 到直线l的距 离为 10 107 的点的个数为 （A）1 （B）2 （C） 3 （D）4 （8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为 （A）280 （B）292 （C） 360 （D）372 （9）动点),(yxA在圆1 22 yx上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周 . 已知定时 t=0 时，点 A 的坐标是) 2

5、 3 , 2 1 (，则当120t时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 （A）0，1 （B）1，7 （C）7，12 （D）0，1和7，12、 （10）设 n a是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前 3n 项和分别为X，Y，Z， 则下列等式中恒成立的是 （A）YZX2（B）)()(XZZXYY （C）XZY 2 （D）)()(XZXXYY （在此卷上答题无效） 绝密启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 第卷（非选择题共 100 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答，在试

6、题卷上答题无效 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置 （11）命题“对任何3|4|2| ,xxRx”的否定是 （12） 6 x y y x 的展开式中， 3 x的系数等于 （13） 设yx,满足约束条件 , 0,0 ,048 ,022 yx yx yx 若目标函数)0,0(bayabxz的最大值 为 8，则ba的最小值为 （14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x （15）甲罐中有5 个红球， 2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红 球， 3 个白球和3 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以 A1，A2和 A3表示由甲罐取出的

7、球是红球，白球和黑球 的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球 是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结 论的编号） 5 2 )( 1 BP； 11 5 )|( 1 ABP； 事件 B 与事件 A1相互独立； A1，A2，A3是两两互斥的事件； )(BP的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答写在答题卡上的指定区域内 （16） （本小题满分12 分） 设ABC是 锐 角 三 角 形 ，cba,分 别 是 内 角A ， B ， C所 对 边 长 ， 并 且 .sin

8、) 3 sin() 3 sin(sin 22 BBBA （）求角A 的值； （）若72,12 aACAB，求cb,（其中cb） （17） （本小题满分12 分） 设 a 为实数，函数 .,22)(Rxaxexf x （I）求)(xf的单调区间与极值； （II）求证：当012lnxa且时，.12 2 axxe x （18） （本小题满分13 分） 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形， EF/AB ，EFFB，AB=2EF ， ,90BFCBF=FC ，H 为 BC 的中点 . （I）求证： FH/平面 EDB； （II）求证： AC 平面 EDB； （III ）求二面角BD

9、EC 的大小 . （19） （本小题满分13 分） 已知椭圆E 经过点 A（2，3） ，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在 x 轴上，离心率. 2 1 e （I）求椭圆 E 的方程； （II）求 21AF F的角平分线所在直线l的方程； （III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在， 说明理由 . （20） （本小题满分12 分） 设数列 , 21 aa, n a中的每一项都不为0. 证 明 ， n a为 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 对 任 何Nn， 都 有 . 111 1113221nnn aa n aaaaaa （21） （本小题

10、满分13 分） 品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外 观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间， 等其 记忆淡忘之后， 再让其品尝这n 瓶酒， 并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分. 现设 n=4，分别以 4321 ,aaaa表示第一次排序时被排为1，2，3，4 的四种酒在第二 次排序时的序号，并令 . |4|3|2|1| 4321 aaaaX 则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. （I）写出 X 的可能值集合； （II）假设 4321 ,aaaa等可能地为1，

11、 2，3，4 的各种排列，求X 的分布列； （III ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X， （i）试按（ II）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由. 参考答案 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 （1）B （2） A （3）C （4）A （ 5）C （6）D （7）B （8） C （9）D （10）D 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置 （11）存在,-2-4| 3xxxR 使得|+|

12、（12）15（若只写 24 66 CC或，也可） （13）4 （14）12 （15） 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答写在答题卡上的指定区域内 （16） （本小题满分12 分） 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的 数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力. 解： （I）因为 22 3131 sin(cossin)(cossin)sin 2222 ABBBBB 222313 c o ss i nsi n, 444 3 s i n,. 23 BBB AAA所以又 为锐角 所以 （II

13、）由12AB AC可得 c o s1 2.c bA 由（ I）知, 3 A所以 24cb 由余弦定理知 222 2cos ,2 7acbcbAa将及代入，得 + 2，得( )100cb，所以 10.cb 因此， c，b 是一元二次方程 2 10240tt的两个根 . 解此方程并由6,4.cbcb知 （17） （本小题满分12 分） 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等 式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （I）解：由( )22 ,( )2,. xx f xexa xfxexRR知 令( )0,ln 2.,( ),( )fxxxfxf x得于是当

14、变化时的变化情况如下表： x (,ln 2) ln 2 (ln 2,) ( )fx 0 + ( )f x 单调递减 2(1ln 2)a 单调递增 故( )f x的单调递减区间是(,ln 2)，单调递增区间是(ln 2,)， ( )ln 2f xx在处取得极小值， 极小值为 ln 2 (ln 2)2ln 222(1ln 2).feaa （II）证：设 2 ( )21, x g xexaxxR 于是( )22 ,. x g xexa xR 由（ I）知当ln 21,( )(ln 2)2(1ln 2)0.ag xga时最小值为 ,( )0,( )xg xg xRR于是对任意都有所以在内单调递增 ,

15、于是当ln 21,(0,),( )(0),axg xg时 对任意都有 而(0)0,(0,), ( )0.gxg x从而对任意 即 22 210,21. xx exaxexax故 （18） （本小题满分13 分） 本题考查空间线面平行、线面垂直、 面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利 用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 综合法 （1）证：设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点，连EG，GH， 又 H 为 BC 的中点， 11 / /,/ /,/ /. 22 GHABEFABEFGH又 四边形 EFHG 为平行四边形， EG/FH

16、，而 EG平面 EDB ， FH/平面 EDB. （II）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB BC，又 EF/AB ， EFBC. 而 EF FB， EF平面 BFC， EFFH， AB FH. 又 BF=FC， H 为 BC 的中点， FHBC. FH平面 ABCD ， FHAC ， 又 FH/BC ， AC=EG. 又 AC BD， EGBD=G ， AG平面 EDB. （III ）解： EFFB， BFC=90， BF平面 CDEF， 在平面 CDEF 内过点 F 作 FKDE 交 DE 的延长线于K， 则 FKB 为二面角BDEC 的一个平面角 . 设 EF=1，则 AB=2 ，F

17、C=2，DE=3 又 EF/DC ， KEF= EDC， sinEDC=sinKEF= 2 . 3 FK=EFsin KEF= 2 3 ，tanFKB=3, BF FK FKB=60 二面角 BDEC 为 60. 向量法 四边形 ABCD 为正方形， AB BC，又 EF/AB ， EFBC. 又 EF FB， EF平面 BFC. EFFH， AB FH. 又 BF=FC， H 为 BC 的中点， FHBC ， FH平面 ABC. 以 H 为坐标原点，HBx为轴正向，HFz为轴正向， 建立如图所示坐标系. 设 BH=1 ，则 A（1， 2，0） ，B（1，0， 0） ， C（ 1，0，0） ，

18、D（ 1， 2，0） ，E（0， 1，1） ， F（0，0，1） . （I）证：设 AC 与 BD 的交点为 G，连 GE， GH， 则 (0, 1,0),(0,0,1),(0,0,1)/ /.GCEHFHFGE又 GE平面 EDB ，HF 不在平面EDB 内， FH平面 EBD， （II）证：( 2,2,0),(0,0,1),0,.ACGEAC GEACGE 又 AC BD， EGBD=G ， AC平面 EDB. （III ）解：( 1, 1,1),( 2, 2,0).BEBD 设平面 BDE 的法向量为 111 (1,),ny z 则 11111 10,120,BE nyzBD ny 11

19、1 22222 2 12 12 12 12 1,0,(1, 1,0). (0, 2,0),(1, 1,1), (1,),0,0, (1,0, 1), 11 cos, | |2 22 ,60 , yzn CDCE CDEyzCDynn n nn nn nn n n 即 设平面的法向量为则 故 即二面角 BDEC 为 60. （19） （本小题满分13 分） 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质， 直线的点斜式方程与一般方程， 点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合 运算能力、探究意识与创新意识. 解： （ I）设椭圆E 的方程为 22 22 1

20、xy ab 2222 22 22 11 ,2 ,3, 22 1. 43 c eacbace a xy ce 由即得 椭圆方程具有形式 将 A（2，3）代入上式，得 22 13 1,2,c cc 解得 椭圆 E 的方程为 22 1. 1612 xy （II）解法 1：由（ I）知 12 ( 2,0),(2,0)FF，所以 直线 AF1的方程为： 3 (2),3460, 4 yxxy即 直线 AF2的方程为：2.x 由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设 ( , )P x yl为 上任一点，则 |346 | |2 |. 5 xy x 若346510,280xyxxy得（因其斜

21、率为负，舍去）. 所以直线 l 的方程为：210.xy 解法 2： 1212 12 12 1 (2,3),( 2,0),(2,0),( 4, 3),(0, 3). 114 ( 4, 3)(0, 3)(1,2). 535 | 2,:32(1),210. AFFAFAF AFAF AFAF klyxxy即 （III ）解法 1： 假设存在这样的两个不同的点 1122 (,)(,),B xyC xy和 21 21 1212 0000 1 ,. 2 (,), 22 BC yy BClk xx xxyy BCM xyxy设的中点为则 由于 M 在 l 上，故 00 210.xy 又 B，C 在椭圆上，所

22、以有 2222 1122 11. 16121612 xyxy 与 两式相减，得 2222 2121 0, 1612 xxyy 即 12211221 ()()()() 0. 1612 xxxxyyyy 将该式写为 122112 21 11 0 8262 xxyyyy xx ， 并将直线BC 的斜率 BC k和线段 BC 的中点，表示代入该表达式中， 得 0000 11 0,320. 812 xyxy即 2得 20 2,3xy，即 BC 的中点为点A，而这是不可能的. 不存在满足题设条件的点B 和 C. 解法 2： 假设存在 1122 (,),(,)B x yC xyl两点关于直线 对称， 则 1

23、 ,. 2 BC lBCk 22 1 ,1, 21612 xy BCyxm设直线的方程为将其代入椭圆方程 得一元二次方程 2222 1 34()48,120, 2 xxmxmxm即 则 12 xx与是该方程的两个根， 由韦达定理得 12 ,xxm 于是 1212 13 ()2, 22 m yyxxm B，C 的中点坐标为 3 (,). 24 mm 又线段 BC 的中点在直线 3 21,1,4. 4 m yxmm上得 即 B，C 的中点坐标为（2，3） ，与点 A 重合，矛盾 . 不存在满足题设条件的相异两点. （20） （本小题满分12 分） 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，

24、考查推理论证、运算求解能 力. 证：先证必要性 设数列,0, n add的公差为若则所述等式显然成立， 若0d，则 12231 32121 12233 12231 11 1111 111 1 () 1111111 ()()() 1111 () nn nn nn nn n nn a aa aa a aaaaaa da aa aa a daaaaaa aa daada a 11 . n n a a 再证充分性 . 证法 1： （数学归纳法）设所述的等式对一切n N都成立，首先，在等式 122313 112 a aa aa a 两端同乘 123132123 ,2,a a aaaaa aa即得所以成等

25、差数列， 记公差为 21 ,.daad则 假设 1 (1) ,1 k aakdnk当时，观察如下二等式 1223112 1111 , kk k a aa aaaa a 12231111 1111 kkkkk k a aa aaaa aa a ， 将代入，得 1111 11 , kkkk kk a aa aa a 在该式两端同乘 11111 ,(1). kkk a a akaaka得 将 111 (1),. kk aakdaakd代入其中 整理后 得 由数学归纳法原理知，对一切 1 (1) , n naandN 都有 所以 n ad是公差为的等差数列 . 证法 2：直接证法 依题意有 12231

26、11 111 , nnn n a aa aa aa a 122311212 11111 . nnnnn n a aa aa aaaa a 得 121211 11 nnnn nn aaa aa a ， 在上式两端同乘 112111 ,(1), nnnn a aaanana得 同理可得 11 (1), nn anana 得 12 2() nnn nan aa 即 211 , nnnnn aaaaa所以是等差数列， （21） （本小题满分13 分） 本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密 切贴近生产、 生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象

27、概括 能力、应用与创新意识. 解： （I）X 的可能值集合为0 ，2，4，6，8. 在 1，2，3，4 中奇数与偶数各有两个，所以 23 ,aa中的奇数个数等于 13 ,a a中的偶数个 数，因此 1334 |1|3| 2|4|aaaa与的奇偶性相同， 从而 2324 (|1|3|)(|2|4|)Xaaaa必为偶数 . X 的值非负，且易知其值不大于8. 容易举出使得X 的值等于0， 2，4，6，8 各值的排列的例子. （II）可用列表或树状图列出1， 2，3，4 的一共 24 种排列，计算每种排列下的X 值， 在等可能的假定下，得到 X 0 2 4 6 8 P 1 24 3 24 7 24 9 24 4 24 （III ）（ i） 首先 41 (2)(0)(2) 246 P XP XP X， 将三轮测试都有2X的 概率记做 p，由上述结果和独立性假设，得 3 11 . 2166 p （ii ）由于 15 2161000 p是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试 都有2X的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能， 不是靠随机猜测.