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1、选修 4 4坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 突破点 (一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础 联通抓主干知识的“源”与“流 ” 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： x x 0 ， y y 0 的作用下， 点 P(x，y)对应到点P(x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变 换 考点 贯通抓高考命题的“形”与“神 ” 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 典例 求椭圆 x 2 4 y 2 1，经过伸缩变换 x 1 2x， y y 后的曲线方程 解 由 x 1 2x， y y 得到 x2x， y y. 将代入 x 2 4 y21，得 4x 2 4 y
2、21，即 x2y2 1. 因此椭圆 x 2 4 y21 经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y2 1. 方法技巧 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分 变换前的点P 的坐标(x， y) 与变换后的点P 的坐标(X， Y)，再利用伸缩变换公式 本节主要包括2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系 . Xax a0 ， Yby b0 建立联系 (2)已知变换后的曲线方程f(x，y)0，一般都要改写为方程f(X，Y)0，再利用换元法 确定伸缩变换公式 能力 练通抓应用体验的“得”与“ 失” 1在同一平面
3、直角坐标系中，已知伸缩变换 ： x 3x， 2y y. 求点 A 1 3， 2 经过 变 换所得的点A的坐标 解： 设 A(x，y)，由伸缩变换 ： x3x， 2y y， 得到 x3x， y 1 2y， 由于点 A 的坐标 为 1 3 ， 2 ， 于是 x 3 1 31，y 1 2 ( 2) 1， 所以 A(1， 1)为所求 2求直线l：y6x经过 ： x 3x， 2y y 变换后所得到的直线l的方程 解： 设直线 l上任意一点P (x，y)， 由题意，将 x 1 3x， y2y 代入 y 6x 得 2y6 1 3x ， 所以 y x ，即直线 l的方程为yx. 3求双曲线C：x 2y 2 6
4、41 经过 ： x 3x， 2y y 变换后所得曲线C的焦点坐标 解： 设曲线 C上任意一点P(x，y)， 由题意，将 x 1 3x， y2y 代入 x2 y 2 641 得x 2 9 4y 2 64 1， 化简得 x 2 9 y 2 16 1， 即x 2 9 y 2 161 为曲线 C的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F1( 5,0)， F2(5,0) 4 将圆 x 2y21 变换为椭圆x 2 9 y 2 4 1 的一个伸缩变换公式为 ： X ax a0 ， Y by b0 ， 求 a， b 的值 解： 由 Xax， Yby 知 x 1 aX， y 1 bY， 代入 x
5、 2y21 中得X 2 a 2 Y 2 b 21，所以 a 29，b24， 即 a3，b 2. 突破点 (二 )极坐标系 基础 联通抓主干知识的 “ 源”与“流” 1极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点 O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox，Ox 叫 做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为 0，可取任意实数 (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标( ， )与( ， 2k)( kZ) 表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为 (0， )( R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 如果规定 0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标( ， ) 表示； 同时，极坐标( ， )表示的点也是唯一确定的 2极坐标与直角坐标的互化