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1、绝对值几何意义应用 一、几何意义类型： 类型一、 0aa ：表示数轴上的点 a到原点 0 的距离； 类型二、 abba ：表示数轴上的点 a到点b 的距离（或点 b到点a的距离）； 类型三、 )( baba)( ab ：表示数轴上的点 a 到点 b 的距离（点 b 到点 a 的距离）； 类型四、 ax ：表示数轴上的点 x到点a的距离； 类型五、 )( axax ：表示数轴上的点 x到点a的距离 . 二、例题应用： 例 1.（1） 、 4x 的几何意义是数轴上表示 x的点与表示 的点之间的距离，若 4x =2，则 x . （2） 、 3x 的几何意义是数轴上表示 x的点与表示 的点之间的距离，
2、若 13x ，则 x . （3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m、n、p、q.若 15qm ， 810mpnq， ，则 pn ;若 15qm ， ，qnnpmp 3 1 8 则 pn . （4）、不相等的有理数 cba， 在数轴上的对应点为A，B，C，如果 cacbba ， 则点 A，B，C 在数轴上的位置关系. 拓展：已知 dcba、 均为有理数， 25169dcbadcba且， ，求 .的值cdab 解析： 25169)(dcbadcba.25dcba且 169dcba，.7169cdab 例 2.（1） 、当 x 时， 3x 取最小值；当 x 时， 32x 取最大
3、值，最大 值为. （2）、已知 723xx ，利用绝对值在数轴上的几何意义得 x ; 已知 523xx ，利用绝对值在数轴上的几何意义得; 已知 423xx ，利用绝对值在数轴上的几何意义得; 拓展：若 81272aa ，则整数 a 的个数是4 . 当 x满足 条件时， 利用绝对值在数轴上的几何意义 23xx 取得最小值， 这个最小值是. 由上题图可知， 532xx ，故而当 32x 时，最小值是5. 若 axx23 时，探究 a 为何值，方程有解？无实数解？ 档案： 5a ；a a恒成立，则a满足什么条件？答案：a a恒成立，则a满足什么条件？答案：a5. 由上图当 x 2时， 23xx 5
4、；当x 3 时， 23xx 5；当2x3， 5 23xx 5，所以 5 23xx 5.则 a5 . 若 23xx 5. 拓展应用：已知 36131221zzyyxx ，求 zyx32 的最大值和最小值. 解析： 321xx ， 312yy ， 13zz 4 36131221zzyyxx ， 321xx ， 312yy ， 413zz 312121zyx， 933422zy，15326yyx . （3） 、当 x满足 条件时， 312xxx 取最小值，这个最小值是. 由以上图形可知：当 x= 1 时， 312xxx 5，其他范围内 312xxx 5， 故而 312xxx 5，这个最小值是 5 .
5、 （4） 、当 x满足 条件时， 5312xxxx 取最小值，这个最小值是. 由 以 上 图 形 可 知 ： 当 31x 时 ， 5312xxxx 11， 其 他 范 围 内 5312xxxx 11，故而 5312xxxx 11，这个最小值是11 . 特别要注意的是：当x在 31x 这个范围内任取一个数时，都有 5312xxxx 11. （5） 、当 x 满足条件时， 5312xxxx7x 取最小值， 这个最小值是. 由以上图形可知：当 x = 3 时， 5312xxxx 7x 13，其他范围内 5312xxxx7x 13，故而 5312xxxx7x 13， 这个最小值是13. （6） 、当
6、x满足 条件时， 5312xxxx7x8x 取最小值， 这个最小值是. 由以上图形可知：当 53x 时， 5312xxxx7x8x 18， 其他范围内 5312xxxx7x8x 18， 故而 5312xxxx7x8x 18，这个最小值是 18. 小结：有 1 a ， 2 a ， 3 a ， 12n a （ 12n ）个正数，且满足 1 a 2 a 3 a 12n a . 1.求 12321n axaxaxax 的最小值，以及取得这个最小值 所对应的 x的值或范围； 答案是：当 x = 1n a 时， 12321n axaxaxax 取得最小值， 这个最小值是 121312111nnnnn aa
7、aaaaaa . 2.求 n axaxaxax 2321 的最小值，以及取得这个最小值 所对应的 x的值或范围； 答案是：当 1nn axa 时， n axaxaxax 2321 取得最小值， 这个最小值是 nnnnnaaaaaaaa2321 或者 nnnnn aaaaaaaa 21312111 . 三、判断方程根的个数 例 3、 方程 |x+1|+|x+99|+|x 2| 1996 共有（）个解 A.4； B 3；C 2；D1 解：当 x 在 99 1 之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99| 98，|x2|98此时， |x+1|+|x+99|+|x2|1
8、996，故 |x+1|+|x+99|+|x2|1996 时， x 必在 99 1 之外取值，故方程有2 个解，选（ C） 四、综合应用 例 4、（第 15 届江苏省竞赛题，初一） 已知 |x 2|+|1x|9|y5|1+y|，求 x+ y 最大值与最小值 解：原方程变形得|x 2|+|x1|+|y5|+|y+1|9， |x2|+|x1|3，|y5|+|y+1|6，而 |x2|+|x1|+|y5|+|y+1|9， |x2|+|x1|3，|y5|+|y+1|6， 2 x1， 1y5， 故 x+ y 的最大值与最小值分别为6 和 3 五、练习巩固 1、若 a b c d，问当x满足 条件时， dxc
9、xbxax 取得最小值 . 2、若 a b c de，问当x满足 条件时， dxcxbxaxex 取得最小值 . 3、如图所示，在一条笔直的公路上有9 个村庄，期中A、B、C、D、F、G、H、K 到城市的距 离分别为3、6、10、15、17、19、20、 23 千米，而村庄E 正好是 AK 的中点 .现要在某个村庄建 一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？ 4、设 x是实数， 11xxy 下列四个结论： . y 没有最小值；. 只有一个 x使y取到最小值； . 有有限多个 x( 不只一个 ) 使 y 取到最小值； . 有无穷多个 x使 y 取到最小值。 其中正确的是( ) A B C D 5、试求 2003321xxxx 的最小值 .