考研数学真题归纳线性代数.pdf

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1、专题一：行列式 1、利用行列式的性质计算 例、 设 123 , 均为 3 维列向量 ,记矩阵 123 (,)A , 123123123 (,24,39)B , 如果1A,那么B. 例、 已知： 100 010 001 001 a a A a a ， 1 1 0 0 b （1）计算行列式|A； （2）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。 例、 设矩阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa aa A,现矩阵A满足方程AXB, 其中 1, , T n xxX,1,0,0B, (1)求证1 n naA. (2)a为何值 ,方程组有唯一解,求 1 x. (3)a为何值 ,方程组

2、有无穷多解,求通解 . 2、利用矩阵的性质计算 例、 设矩阵 21 12 A,E为 2 阶单位矩阵 ,矩阵B满足2BABE,则B= . 例、设矩阵 210 120 001 A,矩阵B满足 * 2ABABAE,其中 * A为A的伴随矩阵 ,E是 单位矩阵 ,则B=_ . 专题二：矩阵 1、逆矩阵 例、 设 2 4AAEO,则 1 (2 )AE= _. 例、 设A为n阶非零矩阵 ,E为n阶单位矩阵 . 若 3 0A,则 (A)EA不可逆 ,EA不可逆(B)EA不可逆 ,EA可逆 (C)EA可逆 ,EA可逆(D)EA可逆 ,EA不可逆 例、 设矩阵A的伴随矩阵 * 1000 0100 , 1010

3、0308 A 且 11 3ABABAE,其中E为 4 阶单 位矩阵 ,求矩阵 B. 例、 设,A B均为2 阶矩阵 , * ,AB分别为,A B的伴随矩阵 ,若2,3AB,则分块矩阵 OA BO 的伴随矩阵为 (A) * * 3 2 OB AO (B) * * 2 3 OB AO (C) * * 3 2 OA BO (D) * * 2 3 OA BO 2、初等矩阵 例、 设A是 3 阶方阵 ,将A的第 1 列与第 2 列交换得B,再把B的第 2 列加到第3 列得C,则 满足AQC的可逆矩阵Q为 (A) 101 001 010 (B) 100 101 010 (C) 110 001 010 (D

4、) 100 001 110 例、 设 A 为 3 阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第3 行得到单位阵E，记 100 011 001 1 P， 010 100 001 2 P，则 A= （） A 21P PB 2 1 1PPC 12PPD 1 21 P P 例、 设A为 3 阶矩阵 ,将A的第 2 行加到第 1 行得B,再将B的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得C, 记 110 010 001 P,则 (A) 1 CP AP(B) 1 CPAP (C) T CP AP(D) T CPAP 例、 设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且 1 1 1 2 P

5、AP ， 123 ,P， 1223 ,Q则 1 QAQ（） （A） 1 2 1 （ B） 1 1 2 （C） 2 1 2 （ D） 2 2 1 例、 设A为(2)n n阶可逆矩阵 ,交换A的第 1 行与第2 行得矩阵 * .,B AB分别为,A B的 伴随矩阵 ,则 (A) 交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B(B)交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B (C)交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B(D)交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B 3、矩阵的秩 例、 TT A, T 为的转置 , T 为的转置 .证明 : (1)()2r A. (2)若,线性相关

6、,则()2r A. 例、 设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 T xxE的秩为 _。 例、 设矩阵 0100 0010 0001 0000 A,则 3 A的秩为 _. 例、 设A为mn型矩阵,B为nm型矩阵 ,若,ABE则 (A) 秩(),mA秩( )mB(B)秩(),mA秩()nB (C)秩(),nA秩()mB(D)秩(),nA秩()nB 专题三：线性方程组 1、解的判定定理 例、 已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax 无解 ,则a= _. 例、 设有齐次线性方程组 12 12 12 (1)0, 2(2)20, (2), ()0, n n n a

7、 xxx xa xx n nxnxna x 试问a取何值时 ,该方程组有非零解,并求出其通解 . 例、已知四阶方阵 1234 (,)A , 1234 , 均为四维列向量,其中 234 , 线性无 关, 123 2.若 1234 ,求线性方程组 xA的通解 . 例、 已知3 阶矩阵 A的第一行是cbacba,),( 不全为零 ,矩阵 123 246 36k B(k为常数 ), 且ABO,求线性方程组0xA的通解 . 2、基础解系 例、 设有齐次线性方程组0xA和0xB,其中,A B均为nm矩阵 ,现有 4 个命题 : 若0xA的解均是0xB的解 ,则秩()A秩()B 若秩()A秩()B,则0xA

8、的解均是0xB的解 若0xA与0xB同解 ,则秩()A秩()B 若秩()A秩()B, 则0xA与0xB同解 以上命题中正确的是 (A) (B) (C)(D) 例、 已知非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1 4351 31 xxxx xxxx axxxbx 有 3 个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵A的秩2r A. (2)求,a b的值及方程组的通解. 例、 设 11 010 ,1 , 111 a Ab已知线性方程组Axb存在两个不同的解. (1)求, . a (2)求方程组Axb的通解 . 例、 设线性方程组 123 123 2 123 0 20 , 40 xxx xxa

9、x xxa x 与方程 123 21,xxxa 有公共解 ,求a的值及所有公共解. 例、 设 12 , s 为线性方程组AXO的一个基础解系, 1112221223121 , ss tttttt , 其中 21,t t为实常数 ,试问 21,t t满足什么条件时 12 , s 也为AXO的一个基础解系? 例、 设)( 4321 A是 4 阶矩阵， * A为 A 的伴随矩阵。若 T )0, 1 , 0, 1(是0Ax的一 个基础解系，则0 * xA的基础解系可为（） A 31 B 21 C 321 D 432 3、应用（数学一数学二） 例、 已知平面上三条不同直线的方程分别为 : 1 l032c

10、byax, : 2 l032acybx, : 3 l032baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba 例、设有三张不同平面,其方程为 iiii dzcybxa(3, 2, 1i)它们所组成的线性方程组的 系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 专题四：向量 1、线性表示 例 、 设 123 , 是3维 向 量 空 间 3 R的 一 组 基 , 则 由 基 123 11 , 23 到 基 12233 , 的过渡矩阵为 (A) 101 220 033 (B) 120 023 103 (C) 111 246 111 246 111 246 (D) 111 22

11、2 111 444 111 666 例、 设向量组 T )1 , 0, 1( 1 ， T ) 1 , 1 ,0( 2 ， T )5, 3, 1 ( 3 不能由向量组 T ) 1 , 1 ,1 ( 1 ， T )3 ,2, 1( 2， T a),4, 3( 3线性表示； （1）求a的值； （2）将 321 ,用 321 ,线性表示 2、线性相关性 例、 设 1234 1234 0011 0 ,1,1 ,1 cccc 其中 1234 ,c c cc为任意常数，则下列向 量组线性相关的是（） （A） 123 ,（B） 124 , （C） 134 ,（D） 234 , 例、 设n维列向量组 1, ,(

12、) m mn线性无关 ,则n维列向量组 1, , m 线性无关的充分 必要条件为 (A) 向量组 1, , m 可由向量组 1, , m 线性表示 (B)向量组 1, , m 可由向量组 1, , m 线性表示 (C)向量组 1, , m 与向量组 1, , m 等价 (D)矩阵 1 (,) m A与矩阵 1 (,) m B等价 例、 设向量组 I: 12 , r 可由向量组II: 12 , s 线性表示 ,则 (A) 当sr时 ,向量组 II 必线性相关(B)当sr时 ,向量组 II 必线性相关 (C)当 sr 时,向量组 I 必线性相关(D)当 sr 时,向量组 I 必线性相关 例、 设,

13、A B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 例、 设 12 , s 均为n维列向量 ,A是mn矩阵 ,下列选项正确的是 (A) 若 12 , s 线性相关 ,则 12 , s A AA线性相关 (B)若 12 , s 线性相关 ,则 12 , s A AA线性无关 (C)若 12 , s 线性无关 ,则 12 , s A AA线性相关 (D)若 12 , s 线性无关 ,则 12 , s A A

14、A线性无关 . 3、极大无关组 例、 设 123 (1,2, 1,0) ,(1,1,0,2) ,(2,1,1,) , TTT 若由 123 , 形成的向量空间的 维数是 2,则= . 例、 从 2 R的基 12 11 , 01 到基 12 11 , 12 的过渡矩阵为. 4、综合运用 例、 设 111 111 042 A, 1 1 1 2 (1)求满足 21 A的 2 . 2 31 A 的所有向量 2 , 3 . (2)对(1)中的任意向量 2 , 3 证明 123 , 无关 . 专题五：特征值特征向量 1、特征值特征向量的定义与性质 例、 设A为 2 阶矩阵 , 12 , 为线性无关的2 维

15、列向量 , 1212 0,2AA,则A的非 零特征值为. 例、 若3 维列向量,满足2 T ,其中 T 为的转置 ,则矩阵 T 的非零特征值 为. 例、设 21, 是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 12 , ,则 1 , 12 ()A 线性无关的充分必要条件是 (A)0 1 (B)0 2 (C)0 1 (D)0 2 2、相似对角化 例、 设矩阵 123 143 15a A的特征方程有一个二重根,求a的值 ,并讨论A是否可相似对角 化. 例、 设A为 4 阶对称矩阵 ,且 2 0,AA若A的秩为 3,则A相似于 (A) 1 1 1 0 (B) 1 1 1 0 (C) 1 1 1

16、0 (D) 1 1 1 0 例、 设 11114000 11110000 , 11110000 11110000 AB ,则A与B (A) 合同且相似(B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似 例、 设矩阵 211 121 112 A, 100 010 000 B,则A与B (A) 合同 ,且相似(B)合同 ,但不相似 (C)不合同 ,但相似(D)既不合同 ,也不相似 例、 设,A B为同阶方阵 , (1)若,A B相似 ,证明,A B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B为实对称矩阵时,证明 (1)的逆命题成立 . 3、对称

17、矩阵的对角化 例、 设矩阵 322 232 223 A, 010 101 001 P, 1* BP A P,求2BE的特征值与特征向量, 其中 * A为A的伴随矩阵 ,E为 3 阶单位矩阵 . 例、设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量 12 1,2, 1,0, 1,1 TT 是线 性方程组0xA的两个解 . (1)求A的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得 T Q AQA. 例、 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 1111 A0000 1111 求（ 1）A 的特征值与特征向量（2） 矩阵 A 例、 设 3 阶实对称矩阵 A的特征向量值 1231 1

18、,2,2.(1, 1,1) T 是A的属于特 征值 1的一个特征向量 ,记 53 4,BAAE其中E为 3 阶单位矩阵 . (1)验证 1 是矩阵B的特征向量 ,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B. 例、 已知三阶矩阵A和三维向量x,使得 2 ,AAxxx线性无关 ,且满足 32 32AAAxxx. (1)记 2 (,),PAAxxx求B使 1 APBP. (2)计算行列式AE. 4、应用 例、 某适应性生产线每年1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 1 6 熟练工支援其 他生产部门 ,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 2 5 成为熟

19、练工 .设第n年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 n x和, n y记成向 量. n n x y (1)求 1 1 n n x y 与 n n x y 的关系式并写成矩阵形式: 1 1 . nn nn xx yy A (2)验证 12 41 , 11 是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当 1 1 1 2 1 2 x y 时,求 1 1 . n n x y 例、 设A为 3 阶实对称矩阵 ,如果二次曲面方程( , , )1 x x y zy z A在正交变换下的标准方程 的图形如图 ,则A的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 专题六：二

20、次型 已知实二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 444)(),(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换可 化为标准型 2 1 6yf,则a=_. 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1321 )1(22)1()1(),(xxaxxaxaxxxf的秩为 2. (1)求a的值； (2)求正交变换xyQ,把),( 321 xxxf化成标准形 . (3)求方程),( 321 xxxf=0 的解 . 设二次型 222 1231231323 ,122fx x xaxaxaxx xx x. (1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范形为 22 12 yy,求a的值 . 设二次型 123(,) T f x xxAxx在正交变换xyQ下的标准形为 22 12,yy且Q的第三 列为 22 (,0,) . 22 T (1)求.A (2)证明AE为正定矩阵 ,其中E为 3 阶单位矩阵 . 三 阶 矩 阵 101 011 10 A a ， T A为 矩 阵A的 转 置 ， 已 知()2 T r A A ， 且 二 次 型 TT fx A Ax。 1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。