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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.3.2 空间两点间的距离 (建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、填空题 1已知A(1， 2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且PAPB，则点P的坐标为 _ 【解析】设P(0,0，c)， 由题意得01 2 02 2 c1 2 02 2 02 2 c2 2， 解得c3，点P的坐标为 (0,0,3) 【答案】(0,0,3) 2已知平行四边形ABCD，且A(4,1,3)，B(2， 5,1)，C(3，7， 5)，则顶点D的坐标 为_ 【解析】由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC 的中点M 7 2，4， 1 .设 D
2、(x，y，z)，则 7 2 x2 2 ，4 5y 2 ， 1 1z 2 ，x 5，y13， z 3， D(5,13， 3) 【答案】(5,13， 3) 3ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图2313所示， 则BC边上的中线的 长是 _ 图 2313 【解析】BC的中点坐标为(1,1,0) 又A(0,0,1)， AM1 2 12 1 2 3. 【答案】3 4点B是点A(2， 3,5)关于xOy平面的对称点，则AB_. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】点B的坐标为B(2， 3， 5)， AB22 2 33 2 55 2 10. 【答案】10 5在空间直角坐标系中，一定点P到三
3、个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离 是_ 【解析】设P(x，y，z)，由题意可知 x2y21， y 2 z 21， x2z21， x2y2z2 3 2， x2y 2 z 2 6 2 . 【答案】 6 2 6.在如图 23 14所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C的坐标为 (4,4,2)，E，F 分别为BC，AB的中点，则EF的长为 _ 图 2314 【解析】由C(4,4,2)知，B(4,0,0)，C(4,4,0)，A(0,0,2)，B(4,0,2)由中点坐标公式 得，E(4,2,0)，F(2,0,2)， EF42 2 20 2 02 22 3. 【答案】23 7在xOy平面内的直线xy
4、1 上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小，则 M点坐标为 _. 【导学号： 41292123】 【解析】设M点坐标为 (x,1x,0)， 则MNx6 2 1x 5 2 01 2 2x1 251 51(当x1 时，取“” )， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 M(1,0,0) 【答案】(1,0,0) 8已知正方体不在同一表面上的两顶点A(1,2， 1)，B(3， 2,3)，则正方体的体积 是_ 【解析】设正方体的棱长为a， 则3aAB4 2 4 2424 3， 所以a4，V4364. 【答案】64 二、解答题 9如图 2 315，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADA
5、A12，AB 4，DEAC， 垂足为E，求B1E的长 图 2315 【解】如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系 则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0) ，C(0,4,0)，设点E的坐标为 (x，y,0)， 在坐标平面xOy内，直线AC的方程为 x 2 y 41， 即 2xy4 0，DEAC， 直线DE的方程为x 2y0. 由 2xy40， x2y0， 得 x 8 5， y 4 5， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 E 8 5， 4 5，0 . B1E 610 5 ， 即B1E的长为 610 5 . 10如图 2
6、316(1)，已知矩形ABCD中，AD3，AB4.将矩形ABCD沿对角线BD 折起，使得面BCD面ABD.现以D为坐标原点，射线DB为y轴的正方向，建立如图2 316(2)所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy平面内，试求A，C两点的坐标 . 【导学号： 41292124】 图 2316 【解】由题意知，在直角坐标系Dxyz中，B在y轴的正半轴上，A，C分别在xDy 平面、yDz平面内 在xDy平面内过点A作AE垂直y轴于点E，则点E为点A在y轴上的射影 在 RtABD中，由AD3，AB4，得AE 12 5 ，从而EDAD 2AE2 9 5. A 12 5 ， 9 5，0 ， 同理， 在yD
7、z平面内过点C作CF垂直y轴于点F，则点F为点C在y轴上的射影，CF 12 5 ，DF 16 5 ， C0， 16 5 ， 12 5 . 能力提升 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC 2，D1D 3，点M是B1C1的中点，点N 是AB的中点建立如图2317 所示的空间直角坐标系 图 2317 (1)点D，N，M的坐标为 _，_， _. (2)MD_，MN_. 【解析】(1)因为D是原点，则D(0,0,0) 由ABBC2，D1D3， 得A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3) N是AB的中点，N(2,1,0)
8、 同理可得M(1,2,3) (2)由两点间距离公式，得 MD10 2 20 2 30 2 14， MN12 2 21 2 30 2 11. 【答案】(1)(0,0,0) (2,1,0) (1,2,3) (2)14 11 2已知ABC的三个顶点坐标是A(3,1,1) ，B(5,2,1)，C( 4,2,3) ，则它在yOz平面上 的射影所组成的ABC的面积是 _ 【解析】A，B，C三点在yOz平面上的射影为A(0,1,1)，B(0,2,1)，C (0,2,3) ， ABC是以B为直角的Rt， SABC 1 2 121. 【答案】1 3 三棱锥各顶点的坐标分别为(0,0,0) ， (1,0,0)，
9、(0,2,0)， (0,0,3)， 则三棱锥的体积为_ 【解析】V 1 3S h 1 3 1 2 1231. 【答案】1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC 2，CBCC14，E，F，M，N分别是A1B1，AB， C1B1，CB的中点，如图2318建立空间直角坐标系 图 2318 (1)在平面ABB1A1中找一点P，使ABP为正三角形； (2)能否在MN上求得一点Q，使AQB为直角三角形？若能，请求出点Q的坐标，若 不能，请予以证明. 【导学号： 41292125】 【解】(1)因为EF是AB边的中垂线，在平面AB1内只有EF上的点与A，B两点的 距离相等，则P必在EF上， 设P(1,2，z)，则由 |PA| |AB| ，得 12 2 20 2 z0 2 02 2 40 2 00 2， 即z2520， z215. z0,4， z15. 故平面ABB1A1中的点P(1,2，15)， 使ABP为正三角形 (2)设MN上的点Q(0,2，z)， 由AQB为直角三角形，其斜边的中线长必等于斜边长的一半， |QF| 1 2| AB| ，即1z25， z2(0z4)， 故MN上的点Q(0,2,2)使得AQB为直角三角形