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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二课时等差数列的性质 等差数列性质的应用 例 1 (1)(江西高考 )设数列 an， bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5 b5 _. (2)已知 an 为等差数列，a3a4a5a6a7 450，求a2a8的值 解 (1)法一：设数列 an ，bn 的公差分别为d1，d2， 因为a3b3(a12d1)(b12d2) (a1b1)2(d1d2) 72(d1d2)21， 所以d1d27， 所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735. 法二：数列an， bn都是等差数列， 数列 anbn也构成等差数列， 2(a3b3)(a1b1)
2、(a5b5)， 2217a5b5， a5b535. (2)a3a4a5a6a7450， 由等差数列的性质知a3a7a4a62a5. 5a5450.a590. a2a8 2a5180. 答案 (1)35 类题通法 1利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示 2本题的求解主要用到了等差数列的以下性质： 若mnpq，则amanapaq. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7 a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11. 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1如果等差数列an中，a3a4a5
3、12，那么a1a2a7等于 ( ) A 14 B21 C28 D35 解析：选 C a3a4a512， 3a412，则a44， 又a1a7a2a6a3a52a4， 故a1a2a77a428. 2已知 an为等差数列，a15 8，a6020，则a75 _. 解析：法一：因为an 为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项， 所以a60a153d，得d4. 所以a75a60d?a7524. 法二：因为a15a114d，a60a159d， 所以 a114d8， a159d20， 解得 a1 64 15 ， d 4 15 . 故
4、a75a174d 64 1574 4 1524. 答案： 24 灵活设元求解等差数列中的项 例 2 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6 倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数 解 (1)设这三个数依次为ad，a，ad， 则 adaad9， ada 6ad， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解得 a3， d 1. 这三个数为4,3,2. (2)法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a 3d(公差为 2d)， 依题意， 2a2，且 (a3d)(a 3d) 8， 即a 1，a 29d2 8， d21，d1 或d 1
5、. 又四个数成递增等差数列，d0， d1，故所求的四个数为2,0,2,4. 法二：若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)， 依题意， 2a3d 2，且a(a3d) 8， 把a 1 3 2d 代入a(a3d) 8， 得 1 3 2 d1 3 2d 8， 即 1 9 4 d2 8， 化简得d24，所以d2 或 2. 又四个数成递增等差数列，所以d0， 所以d2，a 2. 故所求的四个数为2,0,2,4. 类题通法 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为ad，ad，公差 为 2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为ad，a，ad，公差为d
6、； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a3d，ad，ad，a 3d，公差为2d. 活学活用 已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个 等差数列 解：设这四个数依次为a3d，ad，ad，a 3d. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由题设知 a 3dadada3d26， adad40， 解得 a 13 2 ， d 3 2， 或 a 13 2 ， d 3 2. 这个数列为2,5,8,11或 11,8,5,2. 等差数列的实际应用 例 3 某公司经销一种数码产品，第1 年获利 200 万元，从第2 年起由于市场竞争等 方面的原因，利润每年比上一年减少
7、20 万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不 调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解 由题意可知，设第1 年获利为a1，第n年获利为an，则anan1 20(n2，n N *)，每年获利构成等差数列 an，且首项a1200，公差d 20， 所以ana1(n1)d200(n 1) (20) 20n220. 若an0，则该公司经销这一产品将亏损， 由an 20n2200，解得n11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损 类题通法 1在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若 这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决 2
8、在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量 活学活用 九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面 4 节的容积共3 升，下面 3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为 ( ) A 1升B. 67 66 升 C. 47 44 升D. 37 33 升 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： 选 B 设所构成的等差数列an 的首项为a1， 公差为d， 则有 a1a2a3a43， a7a8a94， 即 4a16d3， 3a121d4. 解得 a1 13 22 ， d 7 66 ， 则a5a14d 67 66，故第 5 节的容积为 67 6
9、6升 随堂即时演练 1(重庆高考 )在等差数列 an中，a12，a3a510，则a7( ) A 5 B8 C10 D14 解析：选 B 由等差数列的性质得a1a7a3a5，因为a12，a3a510，所以a7 8， 选 B. 2已知等差数列an，则使数列 bn一定为等差数列的是( ) AbnanBbna 2 n CbnanDbn 1 an 解析：选 A 数列 an是等差数列， an1and(常数 ) 对于 A，bn1bnanan 1d，正确；对于B 不一定正确，如数列an n，则bn a2nn2，显然不是等差数列；对于C，D，an及 1 an 不一定有意义，故选A. 3已知等差数列an中，a51
10、0，a1231，则其公差d_. 解析：d a12a5 125 3110 7 3. 答案： 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4在等差数列an 中，已知a22a8a14 120，则 2a9a10的值为 _ 解析：a2a142a8， a22a8a144a8120， a830.2a9a10(a8a10)a10a830. 答案： 30 5已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式 解：a1a72a4， a1a4a7 3a415，a45. 又a2a4a645，a2a69， 即(a42d)(a42d)9，亦即 (52d)(52d)9， 解得d 2. 若d2，an
11、a4(n4)d2n3； 若d 2，ana4(n 4)d132n. 课时达标检测 一、选择题 1等差数列 an 中， 3(a3a5)2(a7a10a13)24，则a4a10等于 ( ) A 3 B4 C5 D12 解析：选 B 在等差数列中，a3a52a4，a7a10a133a10， 3(a3a5)2(a7a10a13) 6(a4a10)24， a4a104. 2若 an是等差数列，且a1a4a7 45，a2a5a8 39，则a3a6a9等于 ( ) A 39 B20 C19.5 D33 解析：选 D 由等差数列的性质，得 a1a4a73a445， a2a5a83a539， a3a6a93a6.
12、 又 3a5 23a43a6， 解得 3a633，即a3a6a933. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3设 an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2 100，则a37b37等于 ( ) A 0 B37 C100 D 37 解析：选 C 设cnanbn，由于 an ，bn都是等差数列，则cn也是等差数列，且c1 a1b12575100， c2a2b2 100， cn 的公差dc2c10. c37100. 4等差数列 an 中，a2a5a89，那么关于x的方程x2(a4a6)x100( ) A无实根B有两个相等实根 C有两个不等实根D不能确定有无实根 解析：选 A 由于a
13、4a6a2a82a5， 即 3a5 9， a53，方程为x26x100， 无实数解 5下列命题中正确的是( ) A若a，b，c成等差数列，则a 2， b2，c2成等差数列 B若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 D若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 解析：选 C a，b，c成等差数列， 2bac， 2b4ac4，即 2(b 2)(a 2)(c2)， a2，b2，c2 成等差数列 二、填空题 6已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4 的等差数列，则ABC 的面积为 _ 解析：
14、不妨设角A120，cb， 则ab4，cb4， 于是 cos 120 b2b4 2 b4 2 2bb 4 1 2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解得b10，c6， 所以S 1 2 bcsin 120 153. 答案： 153 7已知数列 an 满足a11，若点 an n ， an 1 n 1 在直线xy 10 上，则an_. 解析：由题设可得 an n an 1 n 1 10， 即 an1 n1 an n 1， 所以数列 an n 是以 1 为公差的等差数列，且首项为1， 故通项公式 an n n，所以ann2. 答案：n2 8某市出租车的计价标准为1.2 元/ 千米，起步价为10
15、 元，即最初的4 千米 (不含 4 千 米)计费 10 元如果某人乘坐该市的出租车去往14 千米处的目的地，且一路畅通，等候时 间为 0，需要支付车费_元 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 千米时，每增加1 千米，乘客需 要支付 1.2 元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2 ，表示 4 千米处的车 费，公差d1.2.那么当出租车行至14 千米处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(11 1)1.223.2(元) 答案： 23.2 三、解答题 9已知 5 个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这 5 个数 解：设这 5 个数依次为a2d，a
16、d，a，ad，a2d，由题意可得 a2dadaada2d25， a2d 2 ad 2 a 2 ad 2 a2d 2165， 解得 a5， d 2. 所以这 5 个数为 1,3,5,7,9或 9,7,5,3,1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 10已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数 解：法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得 bacbdc， abcd26， bc40， 解之得 a2， b5， c8， d11， 或 a11， b8， c5， d2， 这四个数分别为2,5,8,11或 11,8,5,2. 法 二 ： 设 此 等 差 数 列 的
17、 首 项 为a1， 公 差 为d， 根 据 题 意 ， 得 a1a1da12da13d26， a1da12d40， 化简，得 4a16d 26， a 2 13a1d2d 240， 解得 a12， d3， 或 a111， d 3， 这四个数分别为2,5,8,11或 11,8,5,2. 法三：设这四个数分别为a3d，ad，ad，a 3d，根据题意， 得 a3dadada 3d26， adad 40， 化简，得 4a26， a 2 d240， 解得 a 13 2 ， d 3 2. 这四个数分别为2,5,8,11或 11,8,5,2. 11已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 85 9 ，求这
18、 5个数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解：设第三个数为a，公差为d，则这 5 个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d. 由已知有 a2dadaada2d5， a2d 2 ad 2 a 2 ad 2 a2d 2 85 9 ， 5a5， 5a 210d285 9 . a1，d 2 3. d 2 3时，这 5 个数分别是 1 3， 1 3，1， 5 3， 7 3； d 2 3时，这 5 个数分别是 7 3， 5 3，1， 1 3， 1 3. 综上， 5 个数分别为 1 3 ， 1 3，1， 5 3 ， 7 3或 7 3， 5 3 ， 1， 1 3， 1 3. 12已知无穷等差数列an
19、中，首项a13，公差d 5，依次取出序号能被4 除余 3 的项组成数列 bn (1)求b1和b2； (2)求bn 的通项公式； (3)bn 中的第 503项是 an中的第几项？ 解：数列 bn是数列 an的一个子数列，其序号构成以3 为首项， 4 为公差的等差数列， 由于 an 是等差数列，则bn 也是等差数列 (1)a13，d 5， an3(n 1)(5)85n. 数列 an中序号被4除余 3 的项是 an中的第 3 项，第 7项，第 11 项， b1a3 7，b2a7 27. (2)设an中的第m项是 bn中的第n项，即bnam， 则m34(n1)4n1， bnama4n 185(4n1)13 20n， 即bn的通项公式为bn1320n. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)b503 1320503 10 047， 设它是 an 中的第m项，则 10 047 85m， 解得m2 011，即 bn 中的第 503项是 an 中的第 2 011 项