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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 23.双曲线的参数方程抛物线的参数方程 1双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 x2 a 2 y2 b21 的参数方程是 xasec ， ybtan (为参 数)规定参数的取值范围为(1)双曲线 x 23tan ， y 6sec (为参数 )的焦点坐标是 _ (2)将方程 xtan t， y 1 cos 2t 1 cos 2t (t为参数 )化为普通方程是_ (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去t. (1)将 x23tan ， y6sec 化为 y2 36 x2 12 1， 可知双曲线焦点在y轴，且c3612
2、43， 故焦点坐标是(0， 43) (2)由y 1 cos 2t 1 cos 2t 2sin2t 2cos 2ttan 2t， 将 tan tx代入上式，得yx2，即为所求方程 (1)(0， 43) (2)yx2 (1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通 方程，还要明确参数的意义 (2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是sec ，则焦点在x轴上；如果y对 应的参数形式是sec ，则焦点在y轴上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1如果双曲线 xsec ， y6tan (为参数 )上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它 的左焦点距离是_
3、解析：由双曲线参数方程可知a1， 故P到它左焦点的距离|PF| 10 或|PF| 6. 答案： 10或 6 2过抛物线 y2t， xt2 (t为参数 )的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如 果x1x26，则 |AB| _. 解析：化为普通方程是x y 2 4 ，即y24x，p2. |AB| x1x2p8. 答案： 8 双曲线、抛物线参数方程的应用 连接原点O和抛物线2yx2上的动点M，延长OM到P点，使 |OM| |MP| ，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线 由条件可知，M点是线段OP的中点，利用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再 判断曲线类型 设M(x，y)
4、为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点， 抛物线的参数方程为 x2t， y2t 2 (t为参数 )用中点公式得 x04t， y04t 2. 变形为y0 1 4x 2 0，即P点的轨迹方程为x 24y . 此曲线为抛物线 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数 (将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据 曲线的参数方程表示点的坐标 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3设P为等轴双曲线x2y21 上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P| |F2P| |OP| 2. 证明
5、：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(2，0)，F2(2，0)，双曲线的 参数方程为 xsec ， ytan (为参数 ) 则： (|F1P| |F2P|) 2 (sec 2 22sec 2tan2)(sec 2 22sec 2tan2) (2sec 1)2(2sec 1)2 (2sec 2 1) 2. 又|OP| 2sec2 tan22sec 2 1， 由此得 |F1P| |F2P| |OP| 2. 4如图所示，O是直角坐标系的原点，A，B是抛物线y 22px(p 0)上异于顶点的两动 点，且OAOB，OMAB于点M，求点M的轨迹方程 解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为 (
6、x，y)， (2pt2 1，2pt1)，(2pt 2 2，2pt2)(t1t2，且 t1t20)，则 OM (x，y)，OA (2pt2 1，2pt1)， OB (2pt2 2，2pt2)，AB (2p(t2 2t 2 1)，2p(t2t1) 因为OA OB ， 所以OA OB 0， 即(2pt1t2)2(2p)2t1t20， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以t1t2 1. 因为OM AB ， 所以OM AB 0， 即 2px(t2 2t 2 1)2py(t2t1)0， 所以x(t1t2)y 0， 即t1t2 y x(x0) 因为AM (x2pt 2 1，y 2pt1)， MB
7、(2pt22x,2pt2y)， 且A，M，B三点共线， 所以 (x2pt21)(2pt2y) (y2pt1)(2pt22x)， 化简，得y(t1t2)2pt1t2x 0. 将代入，得到y y x 2px0， 即x2y22px0(x0)， 这就是点M的轨迹方程 课时跟踪检测(十一 ) 一、选择题 1曲线 xt21， y2t1 (t为参数 )的焦点坐标是 ( ) A(1,0) B (0,1) C (1,0) D(0， 1) 解析：选 B 将参数方程化为普通方程(y1)24(x1)， 该曲线为抛物线y24x向左、向上各平移一个单位得到， 所以焦点为 (0,1) 2圆锥曲线 x4sec ， y3tan
8、 (是参数 )的焦点坐标是 ( ) A(5,0) B(5,0) C(5,0) D(0， 5) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：选 C 由 x4sec ， y3tan (为参数 )得 x 2 16 y 2 9 1， 它的焦点坐标为(5,0) 3方程 xe tet， ye tet (t为参数 )的图形是 ( ) A双曲线左支B双曲线右支 C双曲线上支D 双曲线下支 解析：选 B x2y2e 2t2e2t(e2t2e 2t) 4. 且xe t et2 e t et2. 表示双曲线的右支 4点0(0,2)到双曲线x2y21 的最小距离 (即双曲线上任一点与点0的距离的最小 值)是( )
9、 A 1 B2 C.3 D3 解析：选 C 双曲线方程为x2y 2 1， ab1. 双曲线的参数方程为 xsec ， ytan (为参数 ) 设双曲线上一动点为(sec ，tan )， 则| 0 2sec2 (tan 2)2 (tan21) (tan 2 4tan 4) 2tan 2 4tan 5 2(tan 1)23. 当 tan 1时，| 0 2 取最小值3， 此时有| 0 3. 二、填空题 5已知动圆方程x2y2xsin 222ysin 4 0(为参数 )则圆心的轨迹方程是 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：圆心轨迹的参数方程为 x 1 2sin 2 ， y2sin 4
10、 . 即 xsin cos ， ysin cos . 消去参数，得 y 2 12x 1 2 x 1 2 . 答案：y212x 1 2 x 1 2 6双曲线 x3tan ， ysec (为参数 )的两条渐近线的倾斜角为_ 解析：将参数方程化为y2 x2 3 1， 此时a1，b3， 设渐近线倾斜角为，则 tan 1 3 3 3 . 30或 150. 答案： 30或 150 7(广东高考 )在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为 xt， yt (t 为参数 )和 x2cos ， y2sin (为参数 )，则曲线C1与C2的交点坐标为 _ 解析：由 xt， yt (t为参数 )得yx
11、， 又由 x2cos ， y2sin (为参数 )得x2y22. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由 yx， x2y22， 得 x 1， y1， 即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1) 答案： (1,1) 三、解答题 8已知圆O1：x2(y2)21 上一点P与双曲线x2y21 上一点Q，求P，Q两点距 离的最小值 解：由题意可知O1(0,2)，Q为双曲线x2y21 上一点，设Q(sec ，tan )， 在O1QP中， |O1P| 1，|O1P| |PQ| |O1Q|. 又|O1Q| 2sec2 (tan 2)2 (tan2 1)(tan24tan 4) 2tan 2 4tan 5 2
12、(tan 1)23. 当 tan 1，即 4时， | O1Q| 2 取最小值3，此时有 |O1Q|min3. |PQ|min31. 9已知双曲线方程为x2y 21， 为双曲线上任意一点，点到两条渐近线的距离分 别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数 证明：设d1为点到渐近线yx的距离，d2为点到渐近线yx的距离， 因为点在双曲线x2y21 上，则可设点的坐标为 (sec ，tan ) d1 | sec tan 2 ，d2| | sec tan 2 ， d1d2 | sec 2 tan2 2 1 2， 故d1与d2的乘积是常数 10过点A(1,0)的直线l与抛物线y28x交于M，N两点，求
13、线段MN的中点的轨迹方 程 解：法一：设抛物线的参数方程为 x8t2， y8t (t为参数 )，可设M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则kMN 8t28t1 8t 2 28t 2 1 1 t1t2. 又设MN的中点为P(x，y)， 则 x 8t2 18t 2 2 2 ， y 8t18t2 2 . kAP 4t1t2 4t 2 1t 2 2 1， 由kMNkAP知t1t2 1 8 ，又 x4t21t22， y4t1t2， 则y 216(t2 1t 2 22t1t2)16 x 4 1 4 4(x1) 所求轨迹方程为y24(x 1) 法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y28x上知 y218x1， y2 28x2， 两式相减得y 2 1y 2 2 8(x1x2)，即 (y1y2)(y1y2)8(x1x2)， y1y2 x1x2 8 y1y2.设线段 MN的中点为P(x，y)，y1y22y. 由kPA y x1，又 kMN y1y2 x1x2 8 y1y2 4 y， y x1 4 y. y24(x 1) 线段MN的中点P的轨迹方程为y24(x1)