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1、积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 问题导学 一、求函数的零点 活动与探究1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出： (1)f(x) 1log3x； (2)f(x) 4 x 16； (3)f(x) x24x12 x2 . 迁移与应用 1求下列函数的零点： (1)f(x)x22x3； (2)f(x) 2 x2. 2若函数f(x) 1 x a的零点是 2，则a的值为 _ 1求函数f(x)的零点，基本方法是解方程f(x)0，方程的根就是零点 2解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义，避免增解 二、函数零点个数的判断 活动与探究2 判断函数f
2、(x)x2 1 x的零点的个数 迁移与应用 1函数f(x)x 4 x的零点的个数是 ( ) A 0 B1 C 2 D 3 2求函数f(x)lnx2x6 的零点个数 判断函数零点的个数常有以下方法： (1)解方程f(x)0，方程根的个数就是函数f(x)的零点的个数； (2)画出函数f(x)的图像，该图像与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数； (3)将方程f(x)0 变形为g(x)h(x)，在同一坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图像，两个 图像交点的个数就是原函数f(x)零点的个数 三、判断方程(函数 )在指定区间上是否存在实数解(零点 ) 活动与探究3 (1)函数f(x)exx2 的零
3、点所在的一个区间是( ) A(2， 1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) (2)已知函数f(x)2x3x2.问方程f(x) 0在区间 1,0内有没有实数解？为什么？ 迁移与应用 1方程 log3xx3 的解所在的区间为( ) A(0,2) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 2试判断方程x32x在区间 1,2内是否有实数解 判断一个方程f(x)0(函数f(x)在区间 a，b上是否存在实数解(零点 )，首先看函数f(x) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在区间 a，b上的图像是否连续，其次再检验是否满足f(a)f(b)0.若满足， 那么函数yf(x) 在区间 (a，b)
4、内必有零点，且相应的方程f(x)0 必有实数解 四、函数零点的综合应用 活动与探究4 当a取何值时，方程ax 22x10 的一个根在 (0,1)上，另一个根在 (1,2)上？ 迁移与应用 若函数f(x)x22xa的两个零点中一个大于1，另一个小于1，那么实数a的取值范 围是 _ 解决这类问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题 (2)结合草图考虑四个方面：与 0的大小；对称轴与所给端点值的关系；端点的 函数值与零的关系；开口方向 (3)写出由题意得到的不等式 (4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意 当堂检测 1函数f(x) x1 x2 1的零点是 ( ) A 1
5、B 1 C 1 D0 2函数f(x) lnx1 的零点所在的大致区间为( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D (4,5) 3函数f(x)ax 2 bxc，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数是( ) A至多有一个B有一个或两个 C有且仅有一个D一个也没有 4函数f(x)x2 1 2 log | | x的零点的个数是_ 5若方程ax 2x10 在(0,1)内有解，求 a的取值范围 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华 部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案： 课前预习导学 【预习导引】 1(1)交点的横坐标(2)f(x)0 预习交流 1
6、 提示：不正确函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，即函数零点 的实质是一个实数，而不是几何上的点 预习交流 2 提示：并不是所有的函数都有零点，例如：y 1 x和 yx23 等都没有零点 对 于二次函数f(x)ax 2 bxc(a0)，计算b24ac，则当0 时，f(x)有 2 个零点，当 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 0 时，f(x)有 1 个零点，当0 时，f(x)无零点 2至少有一个零点至少有一个实数解 预习交流3 (1)提示：函数在(a，b)内有零点，可能只有1 个，也可能有多个图和 分别是函数f(x)和g(x)的图像由图知，f(x)与g(x)的图像在 (a，b)上连续
7、不断， 且满足f(a)f(b) 0，图中函数f(x)在(a，b)内有 2 个零点，图中函数g(x)在(a，b)内有 3 个零点由此可 见，满足题设条件的函数的零点不一定只有1 个 (2)提示：不一定 例如：函数f(x)x2 1 在区间 (2,2)内有 2 个零点， 但却有f(2)f(2) 0. (3)提示：不对例如：函数f(x) 1 x在闭区间 2,2上的图像不连续，虽有 f(2)f(2) 0，但f(x)在(2,2)内没有零点 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究1 解： (1)令 1log3x0， 则 log3x 1，解得x 1 3， 所以函数的零点为x 1 3 . (2)令 4x16 0
8、，则 4x 42， 解得x2， 所以函数的零点为x2. (3)因为f(x) x24x12 x2 (x6)(x2) x2 ，令 (x 6)(x 2) x2 0， 解得x 6，所以函数的零点为x 6. 迁移与应用1解： (1)令x22x30， 解得x 1 或x3， 即函数的零点是x1 1，x23. (2)令 2x20，解得x1， 即函数的零点是x1. 2 1 2 解析： 依题意知f(2)0，即 1 2 a0，所以a 1 2. 活动与探究2 解： (方法一 )令f(x)x2 1 x0，得 x2 1 x，即 x31，解得x 1，故函数 f(x)x2 1 x只有一个零点 (方法二 )令f(x)x2 1
9、x 0，得 x2 1 x，设 g(x)x2，h(x) 1 x，在同一坐标系中分别画出函 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 数g(x)和h(x)的图像， 由图像可知，两个图像只有一个交点， 故函数只有一个零点 迁移与应用1C 解析： 令f(x) 0，即x 4 x0. 解得x 2.所以f(x)有 2 个零点 2解法一：在同一平面直角坐标系中作出yln x与y62x的图像，由图知，两个 函数图像只有一个交点，故函数f(x)的零点个数为1. 解法二：f(2)ln2 226ln220， f(3)ln32 36ln30， f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上有零点 又f(x)在 (0， )上
10、是增加的， 函数f(x)有且只有一个零点 活动与探究3 思路分析： (1)只需分析函数在哪个区间的两个端点的函数值异号即可； (2)要判断方程f(x)0 在区间 1,0上有没有实数解，只需看f(1)，f(0)是否异号即可 (1)C 解析： 由于f( 2) e 222 0，f(1)e1120，f(0) e002 1 0，f(1)e12e10，所以f(0)f(1)0，因此零点所在的一个区间是(0,1)选 C. (2)解：f(1) 1 2 30，f(0) 10，又函数 f(x)2x3x2的图像是连续曲线，f(x) 在区间 1,0内有零点，即f(x)0 在区间 1,0内有实数解 迁移与应用1C 解析：
11、 构造函数，转化为求函数的零点所在的区间 令f(x)log3xx3，则f(2)log3223log3 2 30，f (3)log33331 0，又因为 函数f(x)在(0， )上是连续且单调的函数，所以方程log3xx3 的解所在的区间为(2,3) 2解： 设函数f(x)x32x， f(1)12 10， f(2)8440， f(1)f(2)0. 又函数f(x)x32x的图像是连续曲线， 函数f(x)x32x在区间 1,2内至少有一个零点，即方程x3 2 x 在区间 1,2内至少有一 个实数解 活动与探究4 思路分析： 令函数f(x)ax 22x1，本题的实质是该函数的一个零点在 (0,1)上，
12、另一个在 (1,2)上，结合函数的图像列出不等式组，注意对a0，a0，a0 作出讨 论 解： 当a0 时，方程即为2x10，只有一根，不符合题意 当a 0时，设f(x)ax 22x 1， 因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 f(0)0， f(1)0， 即 10， a210， 解得 3 4 a1. 当a 0时，设方程的两根为x1，x2， 则x1x2 1 a0， x1，x2一正一负，不符合题意 综上，a的取值范围为 3 4a1. 迁移与应用a3 解析： 依题意，由图像可知f(1) 0，即 1221a0，解得a 3. 【当堂检测】 1B 解析： 令f(x)0，得 x1 x210，即 x10，所以x 1. 2B 解析： 因为在给出的区间中，只有f(2)f(3)0，而在其余区间两个端点处的函 数值均同号 3C 42 解析： 令f(x) 0，得x2 1 2 log | | x.设g(x)x 2， h(x) 1 2 log | | x.画出g(x)和h(x)的图 像，由图像可知，两个函数图像有2 个交点，所以函数f(x)有 2 个零点 5解：ax 2 x10 在(0,1)内有解， 即函数f(x)ax 2 x1 在(0,1)内有零点， 故f(0)f(1) 0， 即 1 (a 2) 0，解得a2.