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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二课时直线与圆的位置关系 (习题课 ) 1直线与圆的位置关系有哪几种？ 略 2如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？ 略 3如何求过某点的圆的切线方程？ 略 4如何求圆的弦长？ 略 与圆有关的切线问题 例 1 自点P( 6,7)发出的光线l射到x轴上的点A处，被x轴反射，其反射光线所在直 线与圆x2y28x 6y210 相切于点Q.求光线l所在直线方程 解 如图，作圆x2y28x6y210 关于x轴的对称圆x2y2 8x6y21 0，由几何光学原理，知直线l与圆x2y28x6y21 0 相切 由于l的斜率必存在，故可设直线l：y7k(x 6)
2、，即kxy6k70. 由圆x2y 2 8x6y210 的圆心 (4， 3)到直线 l的距离等于半径， 知 |4k36k7| k21 10|k1| k21 2，解得k 3 4或 k 4 3， 故光线l所在直线的方程为3x4y100 或 4x3y30. 类题通法 过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法： (1)设切线斜率，用判别式法； (2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长； (3)设切点 (x0，y0)，用切线公式法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 活学活用 已知圆C：(x2)2(y1)2 1.求： (1)过A(3,4)的圆C的切线方程； (2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的
3、切线方程 解： (1)当所求直线的斜率存在时，设过A(3,4)的直线方程为y4k(x3)，即kxy4 3k0， 由 |2k143k| 1k2 1，得k 4 3. 所以切线方程为y4 4 3(x3)，即 4 x3y0. 当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x3，也符合题意 故所求直线方程为4x3y0 或x3. (2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 x a y a 1 或ykx， 于是由圆心 (2,1)到切线距离 为 1，得 |3 a| 2 1 或 |2k1| 1k2 1. 解得a32，k0 或k 4 3. 故所求切线方程为xy32或y0 或y 4 3x. 与圆有关的参数问题 例 2 已知直
4、线l：y 3 3 xm与圆x2y 21 在第一象限内有两个不同的交点，求 m 的取值范围 解 l：y 3 3 xm，圆x2y 21， l可变形为3x 3y3m0， 圆的圆心为 (0,0)，半径长r1. 当直线和该圆相切时，应满足d | 3m| 39 1，解得m 23 3 .在平面直角坐标系中作出 图象，如图所示， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 其中l2：y 3 3 x 23 3 ，l3：y 3 3 x 23 3 . 过原点作直线l0：y 3 3 x，m0：yx. 直线l的斜率k 3 3 ，直线AB的斜率k 1， 只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，
5、此时对应的直 线l1：y 3 3 x1.要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线 l2之间运动才可，此时相应的m 1， 23 3 . m的取值范围是1， 23 3 . 类题通法 解决与圆有关的参数问题，有时直接求解比较困难，可根据题意先画出图象，利用数形 结合的方法，可以很容易得出答案 活学活用 在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x2y2 4， 直线l： 12x5yc0(其中c为常数 ) 下 列有关直线l与圆O的命题： 当c0 时，圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1； 若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1，则 13c13； 若圆O上恰有三个不同的点到直线l
6、的距离为 1，则c13； 若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为 1，则 13c39； 当c 39 时，圆O上只有一个点到直线l的距离为1. 其中正确命题的序号是_ 答案： 直线与圆的综合问题 例 3 已知圆x2y2x6ym0 与直线x 2y30 相交于P，Q两点，O为原点， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 且OPOQ，求实数m的值 解 由 x2y 30 x2y 2x6ym0 消去y， 得 5x210x4m27 0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 100204m 270， x1x2 2， x1x2 4m 27 5 . 又OPOQ， kOPkOQ 1，即x1x2y1y2
7、 0. x1x2 1 2(3 x1) 1 2(3 x2)0， 整理得 5x1x23(x1x2)90， 5 4m27 5 3(2)9 0. 解得m 3满足 实数m的值为 3. 类题通法 此题设出P，Q两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化 过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握 活学活用 自原点O作圆 (x1)2y21 的不重合两弦OA，OB，若 |OA| |OB| k(定值 )，证明 不论A，B两点位置怎样，直线AB恒切于一个定圆，并求出定圆的方程 解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则|OA| |OB
8、| x21y21x22y22 x211x11 2 x221x21 2 4x1x2k. x1x2 k2 4 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 设直线AB的方程为ymxb， 代入已知圆的方程并整理，得 (1m2)x22(mb1)xb20， 由根与系数的关系，得x1x2 b2 1m2. b2 1m2 k2 4 . 原点O到直线mxyb 0的距离为 |b| 1m2 ， 所求定圆的半径r满足 r2 b2 1m2 k2 4 (定值 ) 直线AB恒切于定圆x2y2 k2 4 . 4.利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题 典例 设点P(x，y)在圆x2(y1)21 上，求x2 2 y2的最值 解
9、 x2 2 y2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离 因为圆心 (0,1)与定点的距离是2 0 2 0 1 2 5，圆的半径是1， 所以x2 2 y2的最小值是5 1，最大值是51. 多维探究 1化为求斜率问题 求 y2 x1的最小值 解：法一：令 y 2 x 1t ， 则方程组 y2tx1， x2y1 21 一定有解消去y，整理得 (1t 2)x22(t23t)x(t26t 8)0 有解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以4(t23t)2 4(1t 2)(t26t8)0， 即 6t80，解得t 4 3. 故 y2 x1 的最小值是 4 3. 法二：令 y2 x1 k， 则k
10、表示圆上任一点与点(1， 2)连线的斜率， kxyk20， 由 |0 1k2| k21 1，得k 4 3. y2 x1 的最小值为 4 3. 2化为求圆心到直线距离问题 求直线xy20 上的点到圆的距离的最值 解：圆心为 (0,1)，到直线xy20 的距离为 | 1 2| 2 32 2 ， 因此直线上的点和圆上的点的最大距离为 32 2 1，最小距离为 32 2 1. 3化为求圆心到直线距离问题 若圆上有且只有四个点到直线3x4yC 0的距离为 1 2 ，求C的取值范围 解：由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于 1 2即可， 则 | 4C| 3 2 42 1 2， 解得 3 2C 13 2
11、. 所以C的取值范围为 3 2， 13 2 . 方法感悟 解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义： (1)ky b xa 表示圆上的点(x，y)与定点 (a，b)连线的斜率，直线方程可与圆的方程联立得到 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 关于x的一元二次方程，利用0 求k的最值； 也可用圆心到直线的距离dr，求k的最值 (2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大值为dr，最小值为dr. 随堂即时演练 1直线x3y0 绕原点按顺时针方向旋转30所得直线与圆x2y24x10 的位置 关系是 ( ) A直线与圆相切 B直线与圆相交但不过圆心 C直线与圆相离 D直线过圆心 答案： A 2
12、若直线yxt被圆x2y28 截得的弦长大于等于 42 3 ，则t的取值范围是 ( ) A. 82 3 ， 82 3 B. ， 82 3 C. 82 3 ，D. 82 3 ， 82 3 答案： D 3如果实数x，y满足等式 (x 2)2y23，那么 y x的最大值是 _ 答案：3 4在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2 上至 少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 _ 答案： 4 3 5已知以点P为圆心的圆过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C， D，且 |CD| 410. (1)求直线CD的方程；
13、 (2)求圆P的方程 答案： (1)xy30 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)(x3)2 (y 6) 240或(x5)2(y2)240 课时达标检测 一、选择题 1若直线xym0 与圆x2y2m相切，则m的值为 ( ) A0 或 2 B0 或 4 C2 D4 答案： C 2过点 (1,1)的直线与圆 (x2)2(y3) 29 相交于 A，B两点，则 |AB| 的最小值为 ( ) A23 B4 C25 D5 答案： B 3若直线ykx与圆 (x 2) 2 y 21 的两个交点关于直线 2xyb0 对称， 则k，b的值 分别为 ( ) Ak 1 2，b 4 Bk 1 2， b 4
14、Ck 1 2， b4 Dk 1 2， b 4 答案： A 4已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10 对称， 则圆C2的方 程为 ( ) A(x2)2(y2)2 1 B(x2)2(y2)21 C(x2)2(y2)2 1 D(x2)2(y2)21 答案： B 5过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y 24分为两部分，使得这两部分的面积之 差最大，则该直线的方程为( ) Axy20 By1 0 Cxy0 Dx3y40 答案： A 二、填空题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 6(重庆高考 )已知直线xya0 与圆心为C的圆x2y22x4y40 相交于
15、A，B 两点，且ACBC，则实数a的值为 _ 答案： 0 或 6 7已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0 上任意一点，则ABC的面积最 小值是 _ 答案： 32 8已知圆的方程为x2y24x2y40，则x2y2的最大值为 _ 答案： 1465 三、解答题 9已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy 1m0. (1)求证：对任意mR，直线l与圆C总有两个不同的交点； (2)设l与圆C交于A，B两点，若 |AB| 17，求l的倾斜角； (3)求弦AB的中点M的轨迹方程 解： (1)证明：由已知直线l：y1m(x1)，知直线l恒过定点P(1,1) 1215，P点在圆C内， 所
16、以直线l与圆C总有两个不同的交点 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组 x2y1 25， mxy 1m0， 消去y得 (m21)x22m2xm250， x1，x2是一元二次方程的两个实根， |AB| 1m2|x1x2| ， 171m2 16m220 1m2 ，m23，m3， l的倾斜角为 3或 2 3 . (3)设M(x，y)，C(0,1)，P(1,1)，当M与P不重合时， |CM| 2| PM| 2 | CP| 2， x2(y1)2(x 1) 2(y1)21.整理得轨迹方程为 x 2 y 2 x2y10(x 1) 当M与P重合时，M(1,1)满足上式， 积一时之跬步臻千里
17、之遥程 马鸣风萧萧整理 故M的轨迹方程为x2y 2x2y10. 10已知O：x2y21 和定点A(2,1)，由O外一点P(a，b)向O引切线PQ，切点为 Q，且满足 |PQ| |PA|. (1)求实数a，b间满足的等量关系； (2)求线段PQ的最小值 解： (1)连接OP，Q为切点， PQOQ，由勾股定理有|PQ| 2| OP| 2| OQ| 2. 又 |PQ| |PA| ， |PQ| 2| PA| 2， 即a2b2 1(a2)2 (b 1) 2， 整理，得2ab30. (2)由 2ab30 得b 2a 3， |PQ| a2b21a 2 2a3 21 5a 212a 85a 6 5 2 4 5 ， 当a 6 5时， | PQ|min 25 5 ， 即线段PQ的最小值为 25 5 .