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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 43 空间直角坐标系 空间直角坐标系的建立及坐标表示 提出问题 (1)如图数轴上A点，B点. (2)如图在平面直角坐标系中，P，Q点的位置 (3)如图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？ 问题 1：上述 (1)中如何确定A，B两点的位置？ 提示：利用A，B两点的坐标2 和 2. 问题 2：上述 (2)中如何确定P，Q两点的位置？ 提示：利用P，Q两点的坐标 (a，b)和(m，n) 问题 3：对于上述 (3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？ 提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示 导入新知 1空间直角坐标系及相关概念
2、 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、 y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面 2右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向， 如果中指 指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 3空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在 此空间直角坐标系中的
3、坐标，记作M(x，y，z)其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标， z叫点M的竖坐标 化解疑难 1空间直角坐标系的建立 建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使 尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系 2空间直角坐标系的画法 (1)x轴与y轴成 135(或 45)，x轴与z轴成 135(或 45) (2)y轴垂直于z轴、y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的 1 2. 3特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下 点的位置x轴y轴z轴xOy平面yOz平面xOz平面 坐标表示(x
4、,0,0)(0，y,0)(0,0，z)(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z) 空间两点间的距离公式 提出问题 (1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标 2. (2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n) 问题 1：如何求数轴上两点间的距离？ 提示： |AB| |x1x2| |x2x1|. 问题 2：如何求平面直角坐标系中P，Q两点间距离？ 提示：d|PQ| am 2 bn 2. 问题 3：若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求 |P1P2|? 提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 导入新知 1点P(x
5、，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离 |OP| x2y2z2. 2 任意 两 点P1(x1，y1，z1) ，P2(x2，y2，z2) 间 的距 离|P1P2| x1x2 2 y1y2 2 z1z2 2. 化解疑难 1空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标 的运算 2 空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则AB中点P x1x2 2 ， y1y2 2 ， z1z2 2 . 空间中点的坐标的确定 例 1 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF| |AB| 2|CE| ，|AB|
6、|AD| |AA1| 124.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标 解 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系， 如图所示 分别设 |AB| 1，|AD| 2，|AA1| 4， 则|CF| |AB| 1， |CE| 1 2| AB| 1 2， 所以 |BE| |BC| |CE| 2 1 2 3 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以点E的坐标为1， 3 2，0 ，点 F的坐标为 (1,2,1) 类题通法 空间中点P坐标的确定方法 (1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px、Py，Pz， 这三个点在x轴、y轴
7、、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是 (x，y，z) (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分 利用这一性质解题 活学活用 如图所示，V-ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点 已知 |AB| 2， |VO| 3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标 解：底面是边长为2 的正方形， |CE| |CF| 1. O点是坐标原点， C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1， 1,0)，A(1， 1，0)，D(1,1,0) V在z轴上， V(0,0,3) 空间中点的对称 例 2 (1)点A(1,2， 1)关于
8、坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是_ (2)已知点P(2,3，1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点 为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 _ 答案 (1)(1,2,1)，(1， 2,1) (2)(2， 3,1) 类题通法 1求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才 能准确求解对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下： (1)关于原点对称的点
9、的坐标是P1(x，y，z)； (2)关于x轴(横轴 )对称的点的坐标是P2(x，y，z)； (3)关于y轴(纵轴 )对称的点的坐标是P3(x，y，z)； (4)关于z轴(竖轴 )对称的点的坐标是P4(x，y，z)； (5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，z)； (6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(x，y，z)； (7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，y，z) 活学活用 1在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为( ) A(3,1,5) B(3， 1,5) C(3， 1， 5) D(3,1， 5) 答案： A 2 点P(3,2，
10、1)关于平面xOy的对称点是 _， 关于平面yOz的对称点是 _， 关于x轴的对称点是 _，关于y轴的对称点是_ 答案： (3,2,1) (3,2， 1) (3， 2,1) (3,2,1) 空间中两点间的距离 例 3 如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a，M为BD的中点，点N 在AC上，且 |AN| 3|NC| ，试求 |MN| 的长 解 由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系 因为正方体的棱长为a， 所以B(a，a,0)，A(a,0，a)，C (0，a，a)，D(0,0，a) 由于M为BD的中点，取AC的中点O， 所以M a 2， a 2， a 2 ，O a 2
11、， a 2 ，a. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因为 |AN| 3|NC| ，所以N为AC的四等分点，从而N为OC的中点，故 N a 4， 3 4a ，a. 根据空间两点间的距离公式，可得|MN| a 2 a 4 2 a 2 3a 4 2 a 2 a 2 6 4 a. 类题通法 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适 当的坐标系，确定两点的坐标确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到 平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定 活学活用 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D
12、1，A1C的中点E 到AB的中点F的距离为 ( ) A.2aB. 2 2 a CaD. 1 2a 答案： B 12.空间直角坐标系的应用误区 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 典例 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1底面ABC，建立适当 坐标系写出各顶点的坐标 解析 取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BOAC，分别以 OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系因为三 棱柱各棱长均为2， 所以OAOC 1，OB3， 可得A(0，1,0)，B(3， 0,0)，C(0,1,0)，A1(0， 1,2)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)
13、 易错防范 1解答此题不是以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 而是以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，进而错误地求出A(0,0,0)， B(2,0,0)，C(0,2,0) 2求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐标求解此类 问题的前提建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直，且符合右手法则 成功破障 如图，在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱 所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz. (1)若点P在线段BD1上，且满足 3|BP| |BD1| ， 试写出点P的坐标
14、， 并写出P关于y轴的对称点P的坐标； (2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标 解： (1)由题意知P的坐标为 2 3， 2 3， 1 3 ，P关于y轴的对称点P的坐标为 2 3， 2 3， 1 3 . (2)设线段C1D上一点M的坐标为 (0，m，m)， 则有 |MP| 2 3 2 m 2 3 2 m 1 3 2 2m2 2m1 2m 1 2 2 1 2. 当m 1 2时| MP| 取得最小值 2 2 ， 所以点M为 0， 1 2， 1 2 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 随堂即时演练 1在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3， 4， 5)
15、两点的位置关系是( ) A关于x轴对称B关于xOy平面对称 C关于坐标原点对称D以上都不对 答案： A 2在空间直角坐标系中，点P(2,1,4) 关于xOy平面的对称点的坐标是( ) A(2,1， 4) B(2， 1， 4) C(2， 1,4) D(2,1， 4) 答案： A 3已知点A(4,5,6)，B(5,0,10)，在z轴上有一点P，使 |PA| |PB| ，则点P的坐标是 _ 答案： (0,0,6) 4在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为 (3， 1,2)，其中心 M的坐标为 (0,1,2)，则该正方体的棱长为_ 答案： 239 3 5如图所示，直三棱柱
16、ABC-A1B1C1中， |C1C| |CB| |CA| 2，ACCB，D，E分别 是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度 答案： |DE| 5 |EF| 6 课时达标检测 一、选择题 1在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：点P(a，b，c)关于横轴 (x轴)的 对称点是P1(a，b，c)；点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，b，c)；点 P(a，b，c)关于纵轴 (y轴)的对称点是P3(a，b，c)；点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为 P4(a，b，c)其中正确叙述的个数为( ) A3 B2 C1 D0 积一时之跬步臻千里之遥程
17、 马鸣风萧萧整理 答案： C 2若点P(4， 2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f， d)，则c与e的和为 ( ) A7 B 7 C 1 D1 答案： D 3在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂 足，则Q的坐标为 ( ) A(0，2，0) B(0，2，3) C(1,0，3) D(1，2，0) 答案： D 4点A(1,2， 1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则 |BC| 的 值为 ( ) A25 B4 C22 D27 答案： B 5已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且 |AB|
18、26，则实数x的值是 ( ) A 3 或 4 B6 或 2 C3 或 4 D6 或 2 答案： D 二、填空题 6已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则ABC是_三角形 (填三角形的形状) 答案：等腰 7已知A(1t,1t，t)，B(2，t，t)，则 |AB| 的最小值为 _ 答案： 35 5 8在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且 |CG| 1 4| CD| ，E为C1G的中点，则EF的长为 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 41 8 三、解答题 9.如图，在空间直角坐标系中，BC2，原点O是BC的中点，
19、点D 在平面yOz内，且BDC90，DCB 30，求点D的坐标 解：过点D作DEBC，垂足为E. 在 RtBDC中，BDC90，DCB 30，BC 2，得 |BD| 1，|CD| 3， |DE| |CD|sin 30 3 2 ，|OE| |OB| |BE| |OB| |BD|cos 60 1 1 2 1 2 ， 点D的坐标为0， 1 2 ， 3 2 . 10如图所示， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB| |AD| 3，|AA1| 2，点M在A1C1 上， |MC1| 2|A1M| ，N在D1C上且为D1C中点，求M，N两点间的距离 解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系 由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0) ， |DD1| |CC1| |AA1| 2， C1(3,3,2)，D1(0,3,2) N为CD1的中点， N 3 2 ，3，1 . M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点， M(1,1,2) 由两点间距离公式，得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |MN| 3 21 2 31 2 12 2 21 2 .