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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 22课极坐标与参数方程（综合训练5） 一、学习要求 1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化； 2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来 解决。 3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用。能熟练地把它们的参数方程化为普通方程； 4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。 二、问题探究 合作探究 例1 在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为 （为参数） . （1）已知在极坐标系 （与直角坐标系取相同的长度单位且以原点为极点， 以轴正 半轴为极轴）中，点
2、的极坐标为，判断点与直线的位置关系； （2）设点是曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最小值。 解：（ 1）点的极坐标化为直角坐标是； 点的直角坐标是满足方程， 点在直线上。 （2）点在曲线上，设， 点到直线的距离为： 当时，取最小值， 点到直线的距离的最小值是。 三、问题过关 1. 设直线经过点，倾斜角为. （1）求直线的参数方程； （2）求直线和直线：的交点到的距离； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 （3）求直线和圆的两个交点，到点的距离的和与积； （4）求直线被圆截得的弦长。 解：（ 1）由直线的参数方程，得直线的参数方程为： （为参数），即（为参数） . （2）把直线的参数方
3、程中的，代入直线的方程， 得，解得， 直线和直线：的交点到的距离为： 。 （3）把直线的参数方程中的，代入圆方程，得 ， 化简，得，则 ， 两个交点，到点的距离的和为， 距离的积为。 （4）由（ 3）知， 直线被圆截得的弦长为： 。 2.已知点是圆上的动点 . （1）求的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围。 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解：（ 1）把圆方程配方，得，圆心，半径， 设圆的参数方程为（为参数） . 则， ， 的取值范围是。 （2）， 当时， 恒成立，即恒成立， ， 实数的取值范围。 1【 10 新课标（文23）】 （本小题满分10 分）已知直线 1 C： 1
4、cos sin xt yt （t为参数）， 2 C： cos sin x y （为参数）， （）当 3 时，求 1 C与 2 C的交点坐标； （）过坐标原点 O做 1 C的垂线，垂足为 A，P为OA中点，当 变化时，求 P点的轨迹的 参数方程，并指出它是什么曲线。 【解】（）当 3 时， 1 C的普通方程为3(1)yx， 2 C的普通方程为 22 1xy。 由 22 3(1) 1 yx xy ，解得 1 1 1 0 x y ， 2 2 1 2 3 2 x y ； 1 C与 2 C的交点为(1,0)， 13 (,) 22 。 （） 1 C的普通方程为：sincossin0xy。 OA与直线 1
5、C垂直，可得OA的方程为cossin0xy； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由 sincossin0 cossin0 xy xy 解得点 A的坐标为： 2 (sin,sincos)A； P为OA中点， 当变化时， P点的轨迹的参数方程为： 21 sin 2 1 sincos 2 x y （为参数）； P点的轨迹的普通方程为 22 11 () 416 xy。 P 点轨迹是圆心坐标为 1 (,0) 4 ，半径为 1 4 的圆。 2【 11 新课标（文23）】(本小题满分10 分) 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 22sin x y （为参数）。 M 是 1 C
6、上的动点， P点满足2OPOM uuu ruuuu r ，P点的轨迹为 曲线 2 C。 （）求 2 C的方程； （）在以 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 1 C的异于极点的交 点为 A，与2 C 的异于极点的交点为 B，求 |AB。 【解】（）设( , )P x y，则由条件知 (,) 2 2 x y M。 M点在 1 C上， 2cos 2 22sin 2 x y ，即 4cos 44sin x y ； 2 C的参数方程为： 4cos 44sin x y （为参数）。 （）曲线 1 C的极坐标方程为4sin；曲线 2 C的极坐标方程为8sin。 射线 3 与 1 C的
7、异于极点的交点为 A的极径为 1 4sin2 3 3 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 射线 3 与 2 C的异于极点的交点为 B的极径为 2 8sin4 3 3 。 21 | | 2 3AB。 【另解】曲线 1 C的普通方程为 22 (2)4xy； 曲线 2 C 的普通方程为 22 (4)16xy； 射线 3 的普通方程为3yx（ 0x ）。 解方程组 22 3 (2)4 yx xy ，得射线 3 与 1 C的异于极点的交点为(3,3)A； 解方程组 22 3 (4)16 yx xy ，得射线 3 与 2 C的异于极点的交点为(23,6)B。 22 |(2 33)(63)2 3A
8、B 。 3【12 新课标（文23）】(本小题满分10 分)已知曲线 1 C的参数方程是 2cos 3sin x y ，（为 参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 2 C的极坐标系方程是 2，正方形 ABCD的顶点都在2 C上，且 A ， B ，C， D 依逆时针次序排列，点 A 的极 坐标为(2, ) 3 。 （）求点 A，B，C，D的直角坐标； （）设 P为1 C上任意一点，求 2222 |PAPBPCPD的取值范围。 【解】（）点 A的极坐标为 (2,) 3 ，且正方形 ABCD的顶点A，B，C，D依逆时针 次序排列， 点 B，C，D的极坐标分别为： 5 (2,)
9、6 ， 4 (2,) 3 ， 11 (2,) 6 。 点 A，B，C，D的直角坐标分别为： (1, 3)，(3,1)，( 1,3)，(3,1)。 （）设 00 (,)P xy。 P点在曲线 1 C上， 0 0 2cos 3sin x y （为参数）。 22222 000000 |(1)(3)22 34PAxyxyxy ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 22222 000000 |(3)(1)2 324PBxyxyxy 22222 000000 |(1)(3)22 34PCxyxyxy 22222 000000 |(3)(1)2 324PDxyxyxy 2222 |PAPBPCPD
10、22 004416xy 2 20sin32， 2 0sin1， 2 3220sin3252， 2222 |PAPBPCPD的取值范围是32,52。 4【13 新课标（文23）】（本小题10 分）已知曲线 1 C 的参数方程为 45cos 55sin xt yt (t为 参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2sin。 （）把 1 C的参数方程化为极坐标方程； （）求 1 C与 2 C交点的极坐标（0，0 2）。 【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两 曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题。 【解】
11、（）将曲线 1 C的参数方程 45cos 55sin xt yt (t为参数）消去参数 t， 得曲线 1 C的普通方程为 22 810160xyxy； cos sin x y ， 22 (cos )(sin)8cos10sin160 即 2 8cos10sin160， 1 C的极坐标方程为： 2 8cos10sin160。 （）将 2 C的极坐标方程为2sin化为普通方程得： 22 20xyy； 由 22 22 810160 20 xyxy xyy ，解得 1 1 x y 或 0 2 x y ； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 C与 2 C交点的极坐标(2,) 4 ，(2, )
12、2 。 5【13 新课标（文23）】（本小题满分10 分）已知动点 P，Q都在曲线 C： 2cos 2sin xt yt （t为参数）上，对应参数分别为 t 与 2t （0 2 ）， M 为PQ的中点。 （）求 M 的轨迹的参数方程； （）将 M 到坐标原点的距离 d表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 【解】（）依题意有(2cos,2sin)P，(2cos 2 ,2sin 2 )Q， (coscos2 ,sinsin2 )M， M的轨迹的参数方程为： coscos2 sinsin2 x y （为参数，02）。 （） M 到坐标原点的距离： 22 22cosdxy ， 当时， 0
13、d ， M 的轨迹过坐标原点。 6【 14 新课标（文 23） 】 （本小题满分10 分） 已知曲线C： 22 1 49 xy ， 直线l： 2 22 xt yt (t 为参数）。 （）写出曲线 C的参数方程，直线l的普通方程； （）过曲线 C上任一点 P 作与l夹角为 0 30 的直线，交 l于点 A，求 |PA的最大值与最小 值。 【解】（）曲线 C的参数方程为： 2cos 3sin x y (为参数）， 直线l的普通方程为：260xy。 （）在曲线 C上任意取一点(2cos,3sin)P 到l的距离为： 5 | 4cos3sin6| 5 d ， 0 2 5 | sin()6 | sin3
14、05 d PA ，其中为锐角，且 4 tan 3 。 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当sin()1时，|PA取得最大值，最大值为 22 5 5 ； 当sin()1时，|PA取得最小值，最小值为 2 5 5 。 7【 14 新课标（文23）】 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程2cos ， 0, 2 。 （）求 C的参数方程； （）设点 D 在C上，C在 D处的切线与直线l ： 32yx 垂直，根据（）中你得到 的参数方程，确定 D 的坐标。 【解】（）半圆 C的极坐标方程为：2cos ， 0, 2 ， 半圆C的直角坐标方程
15、为： 22 (1)1xy（0, 2x，0,1y）。 令1cos 1,1x，siny，0,， 半圆C的参数方程为： 1cos sin x y （0,）。 （）曲线 C在D处的切线与直线l：32yx 垂直， 直线CD和直线l平行，直线 CD和直线l斜率相等； 设点 D的坐标为 (1cos,sin)， (1,0)C， sin0 3 (1cos)1 ， 解得 tan3 ，0,， 3 。 点 D的坐标为 33 (,) 22 。 8 【 15 新 课 标 （ 文23） 】 在 直 角 坐 标 系xOy中 ， 直 线 1 C： 2x， 圆2 C： 22 (1)(2)1xy ，以坐标原点为极点， x轴正半轴为
16、极轴建立极坐标系。 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 （）求 1 C， 2 C的极坐标方程。 （）若直线 3 C的极坐标方程为 4 （R），设 2 C， 3 C的交点为 M ，N，求 2 C MN 的面积。 【解】（）cosx，siny， 1 C的极坐标方程为：cos2； 2 C的极坐标方程为： 2 2cos4sin40。 （）由 2 4 2cos4sin40 ，解得 1 2 2， 2 2， 12 |2MN， 圆 2 C的半径为1， 2 C MN 的面积为： 2 011 2 1 sin45 22 C MN S。 9 【15新课标 （文 23）】在直角坐标系xOy中,曲线 1 C： co
17、s sin xt yt (t为参数， 且 0t ）， 其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 2 C：2sin， 3 C： 2 3 cos 。 （）求 2 C与 3 C交点的直角坐标； （）若 1 C与 2 C相交于点 A, 1 C与 3 C相交于点 B，求| |AB最大值。 【解】（）曲线 2 C的直角坐标方程为： 22 20xyy， 曲线 3 C的直角坐标方程为： 22 2 30xyx。 由 22 22 20 2 30 xyy xyx ，解得 0 0 x y 或 3 2 3 2 x y ， 2 C与 3 C交点的直角坐标为(0,0)， 3 3 (,) 22 。 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 （）曲线 1 C的极坐标方程为：（R，0），其中0； 点 A极坐标为 (2sin,)，点 B极坐标为(23 cos,)； | |2sin2 3cos| 4|sin()| 3 AB， 0， 2 333 ， 当 32 ，即 5 6 时，|AB取得最大值，最大值为 4。