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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 21课极坐标与参数方程（综合训练4） 一、学习要求 1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化； 2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来 解决。 3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程； 4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。 二、问题探究 合作探究 例 1设，分别为椭圆：（为参数）的左、右焦点. （1）若椭圆上的点到，的距离之和为4，写出椭圆的方程和焦点坐 标； （2）设是（ 1）中椭圆的动点，求线段的中点的轨
2、迹参数方程，并写出它的普 通方程。 解：（ 1） 点到，的距离之和为4， ，即； 点在椭圆上， ，解得， ，； 椭圆的方程为；焦点坐标为，。 （ 2）由（ 1）知椭圆的参数方程为， 设，则 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 线段的中点的轨迹参数方程为； 由，得，两式两边平方相加，得 线段的中点的普通方程为。 三、问题过关 1. 已知动点 P ，Q都在曲线 C： 2cos 2sin xt yt （t为参数） 上，对应参数分别为 t 与 2t （0 2 ）， M 为PQ的中点。 （）求 M 的轨迹的参数方程； （）将 M 到坐标原点的距离 d表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标
3、原点。 【解】（）依题意有(2cos,2sin)P，(2cos 2 ,2sin 2 )Q， (coscos2 ,sinsin2 )M， M的轨迹的参数方程为： coscos2 sinsin2 x y （为参数， 02 ）。 （） M 到坐标原点的距离： 22 22cosdxy ， 当时， 0d ， M 的轨迹过坐标原点。 2.已知曲线 1 C的参数方程为 45cos 55sin xt yt (t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin。 （）把 1 C的参数方程化为极坐标方程； （）求 1 C与 2 C交点的极坐标（0，0 2）。 【解】
4、（）将曲线 1 C的参数方程 45cos 55sin xt yt (t为参数）消去参数t， 得曲线 1 C的普通方程为 22 810160xyxy ； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 cos sin x y ， 22 (cos )(sin)8cos10sin160 即 2 8cos10sin160， 1 C的极坐标方程为： 2 8cos10sin160。 （） 将 2 C的极坐标方程为2sin化为普通方程得： 22 20xyy； 由 22 22 810160 20 xyxy xyy ，解得 1 1 x y 或 0 2 x y ； 1 C与 2 C交点的极坐标(2,) 4 ，(2,) 2 。