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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时作业 8 等差数列的性质及简单应用 | 基础巩固 |(25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1在等差数列an 中，a1030，a2050，则a40等于 ( ) A 40 B70 C80 D 90 解析： 法一：因为a20a10 10d，所以 503010d，所以d2，a40a20 20d50 20 290. 法二：因为2a20a10a30，所以25030a30，所以a3070，又因为2a30a20a40， 所以 2 7050a40，所以a4090. 答案： D 2在等差数列an 中，a13a8a15120，则 3
2、a9a11的值为 ( ) A 6 B12 C24 D 48 解析： a1a152a8，a13a8a155a8，5a8 120，a824.而 3a9a11 3(a8d) (a8 3d)2a8 48.故选 D. 答案： D 3在等差数列5，3 1 2， 2， 1 2，的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的 等差数列，则新的数列的通项为( ) Aan 3 4n 23 4 Ban 5 3 2(n1) Can 5 3 4(n1) D a n 5 4n 23n 解析： 新数列的公差 d 1 2 3 1 25 3 4， an 5 (n1) 3 4 3 4n 23 4 .故选 A. 答案： A 4 九章算术
3、 “竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数 列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4升，则第5 节的容积为 ( ) A 1升B. 67 66升 C. 47 44 升D. 37 33升 解析： 设自上而下9 节竹子各节的容积构成等差数列an，其首项为a1，公差为d，由 条件得a1a2a3a43 a7a8a94 ，即4a16d3 3a121d4 解得 a1 13 22 d 7 66 ，所以a5a14d 67 66. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： B 5下面是关于公差d0 的等差数列 an的四个说法 p1：数列 an是递增数列； p2：数列 na
4、n 是递增数列； p3：数列 an n 是递增数列； p4：数列 an 3nd 是递增数列 其中正确的是( ) Ap1，p2Bp3，p4 Cp2，p3Dp1，p4 解析： 因为ana1 (n 1)d，d0， 所以anan 1d0，命题p1正确 nanna1n(n1)d， 所以nan(n1)an1a12(n1)d与 0 的大小和a1的取值情况有关 故数列 nan 不一定递增，命题p2不正确 对于p3： an n a1 n n1 n d， 所以 an n an 1 n 1 a1d nn1 ， 当da10，即da1时，数列 an n 递增， 但da1不一定成立，则p3不正确 对于p4：设bnan3n
5、d， 则bn 1bnan 1an3d4d0. 所以数列 an3nd 是递增数列，p4正确 综上，正确的命题为p1，p4. 答案： D 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6已知 an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20_. 解析： 本题考查等差数列的性质及通项公式a1a3a53a3105，a335.a2 a4a63a4 99，a433，公差da4a3 2.a20a416d3316( 2) 1. 答案： 1 7已知 an为等差数列，a5a74，a6a8 2，则该数列的正数项共有_项 解析： a5a72a6 4，a6a82a7 2， a62，a7 1，da7a6 3
6、， ana6(n6)d2(n6)( 3) 3n20. 令an0，解得n 20 3 ，即n1,2,3， 6，故该数列的正数项共有6 项 答案： 6 8假设某市2017 年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住 房面积均比上一年增加50 万平方米那么该市在_年新建住房的面积开始大于820 万平方米 解析： 设从 2017年年底开始，n年后该市每年新建住房的面积为an万平方米由题意， 得an是等差数列，首项a1450，公差d 50，所以ana1(n1)d40050n.令 400 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 50n820，解得n 42 5 .由于nN *，则 n 9
7、.所以该市在2026 年新建住房的面积开始大于820 万平方米 答案： 2026 三、解答题 (每小题 10 分，共 20分) 9(1)已知 an 是等差数列，且a1a4a8a12a152，求a3a13的值； (2)已知在等差数列an中，若a4980，a59100，求a79. 解析： (1)因为 an是等差数列， 所以a1a15a4a12a3a132a8. 又因为a1a4a8a12a152， 所以a82，即a3a132a8224. (2)因为 an 是等差数列，可设公差为d. 由a59a4910d，知 10d 10080，解得d2. 又因为a79a5920d，所以a79 10020 2140.
8、 10首项为a1，公差d为正整数的等差数列an满足下列两个条件： (1)a3a5a7 93； (2)满足an100 的n的最小值是15. 试求公差d和首项a1的值 解析： 因为a3a5a793， 所以 3a593，所以a531， 所以ana5(n5)d100，所以n 69 d 5. 因为n的最小值是15，所以 14 69 d 50， 由a1a2a3a4a5120， a3a4a57a1a2， 得5a110d120， 3a19d72a1d， 解得a12.故选 C. 答案： C 12已知数列 an满足a 2 n1a 2 n4，且 a11，an 0，则an_. 解析： 由已知a 2 n1a 2 n4，
9、 所以 a 2 n 是等差数列，且首项 a 2 11，公差d4， 所以a2 n1(n1)4 4n3. 又an0，所以an4n 3. 答案：4n3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13若关于x的方程x2xm0 和x2xn0(m，nR 且mn)的四个根组成首项 为 1 4的等差数列，求 mn的值 解析： 设x2xm0 的两根为x1，x2， x 2 xn0 的两根为x3，x4， 则x1x2x3x41. 不妨设数列的首项为x1，则数列的第4 项为x2， 所以x1 1 4， x2 3 4 ，公差d 3 4 1 4 3 1 6. 所以中间两项分别是 5 12， 7 12. 所以x1x2 3 16 ，x3x4 5 12 7 12. 所以mn 3 16 5 12 7 12 31 72. 14一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这 两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项 解析： 首项是8，公差是3 的等差数列的通项公式为an3n 5；首项是12，公差是4 的等差数列的通项公式为bm4m8. 根据公共项的意义，就是两项相等，令anbm， 即n 4m 3 1，该方程有正整数解时，m 3k，k为正整数，令k 1，得m3，则n 5. 因此这两个数列有最小的公共项为20，分别是第一个数列的第5 项，第二个数列的第3 项