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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 18 平面向量数量积习题课 时间： 45 分钟满分： 80分 班级 _ 姓名 _ 分数 _ 一、选择题：(每小题 5分，共 5630 分) 1已知平面向量a(1， 3)，b(4， 2)， ab与a垂直，则( ) A 1 B1 C 2 D2 答案： A 解析：a(1， 3)，b(4， 2)， ab(1， 3)(4， 2) ( 4， 32)， ab与a垂直，4(3)(32)0， 1，故选 A. 2设向量a，b均为单位向量，且|ab| 1，则a与b的夹角为 ( ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 3 4 答案： C 解析： |ab| 1， |a|
2、2 2a b |b| 21， cosa， b 1 2 ，ab 2 3 . 3已知向量a(3,4)，b(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ( ) A(8， ) B. 9 2，8 C. 9 2， D. 9 2，8 (8， ) 答案： D 解析： 由题意，得ab0，即 184t0，解得t 9 2.又当 t8 时，两向量同向，应去 掉，故选 D. 4如图，在四边形ABCD中，B120，C150，且AB3，BC1，CD 2， 则AD的长所在的区间为( ) A(2,3) B (3,4) C(4,5) D (5,6) 答案： C 解析： 由向量的性质，知AD AB BC CD ，其中AB
3、 与BC 的夹角为60，BC 与CD 的 夹角为 30，AB 与CD 的夹角为90，于是 |AD | 2| AB BC CD | 2| AB | 2| BC | 2| CD 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 | 22AB BC 2BC CD 2AB CD 9142 31 1 2212 3 2 01723 (16,25)，所以AD(4,5) 5在ABC中，ABBC4，ABC30，AD是边BC上的高，则AD AC 的值等 于( ) A 0 B4 C8 D 4 答案： B 解析：因为ABC 30，AD是边BC上的高， 所以BAD60，AD2，则AD AC AD (BC BA )AD BC A
4、D BA 24cos120 4，所以选B. 6已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足 (ac)(bc)0，则 |c| 的最大值是 ( ) A 1 B2 C.2 D. 2 2 答案： C 解析： 由(ac)(bc)0 得ab(ab)cc20，即c2(ab)c，故 |c| |c| |ab| |c| ，即 |c| |ab| 2，故选 C. 二、填空题：(每小题 5分，共 5315 分) 7已知向量a，b满足b(1，3)，b(ab)3，则向量a在b方向上的投影为 _ 答案： 1 2 解析：| | b 123 22 且由 b(ab) 3，解得ab1，所以a在b方向 上的投影为：| | a
5、 cos ab | | b 1 2. 8ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP OA 0，BP OB 0，则OB AB 的最小值为 _. 答案： 3 解析： AP OA (x 1，y)(1,0)x10，x1.x 1， BP OB (x，y 2)(0,2)2(y2)0，y2. OP AB (x，y)( 1,2)2yx3. 9已知向量a(1,1)，b (1,1)，设向量c满足 (2ac)(3bc)0，则|c|的最大值为 _. 答案：26 解析： 设c(x，y)，则由题意得 (2x)(3x) (2y)(3y)0，即(x 1 2) 2(y 5
6、 2) 2 13 2 ，所以 |c| 的最大值为直径26. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 三、解答题：(共 35 分， 111212) 10已知在四边形ABCD中，AB a，BC b，CD c，DA d，且abbccd da，判断四边形ABCD的形状 解析： 在四边形ABCD中，AB ，BC ，CD ，DA 四个向量顺次首尾相接，则其和向量为 零向量，故有abcd0， ab (cd)， (ab)2(cd)2， 即|a| 22a b|b| 2| c| 22cd| d| 2. 又abcd， |a| 2| b| 2| c| 2| d| 2. 同理有 |a| 2| d| 2| c| 2|
7、b| 2， 由可得 |a| |c| ，|b| |d| ，即此四边形两组对边分别相等 故四边形ABCD为平行四边形 另一方面，由abbc，有b(ac)0，由平行四边形ABCD得ac，代入上式 得b(2a)0，即ab0，故有ab，即ABBC. 综上，四边形ABCD是矩形 11已知在ABC中，AB (2,3)，AC (1，k)，且ABC是直角三角形，求实数k的 值 解析： (1)若BAC90，即ACAB，即AC AB 0， 从而 23k0，解得k 2 3； (2)若BCA90，即ACBC，即AC BC 0， 而BC AC AB (1，k3)， 故 1k(k3)0，解得k 313 2 ； (3)若AB
8、C90，即ABBC，即AB BC 0， 而BC (1，k3)， 故 2 3(k3)0，解得k 11 3 . 综合可知，k 2 3或 k 313 2 或k 11 3 . 12已知a(cos，sin)，b(cos，sin)，a与b满足 |kab| 3|akb| ，其中k0. (1)用k表示ab； (2)求ab的最小值，并求出此时a，b的夹角 解析： (1)将|kab| 3|akb| 两边平方，得 |kab| 2( 3|akb|) 2， k2a2b22kab3(a 2 k2b2 2kab)， 8kab(3k2)a2(3k21)b 2， ab 3k2a 2 3k21b 2 8k . a(cos，sin)，b(cos，sin)， a 21， b21， ab 3k23k21 8k k21 4k . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)k212k(当且仅当k 1时等号成立 )，即 k21 4k 2k 4k 1 2， ab的最小值为 1 2 . 设a，b的夹角为，则ab |a|b|cos. 又|a| |b| 1， 1 211cos ， 60，即当ab取最小值时，a与b的夹角为60.