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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时跟踪检测（九）双曲线的简单几何性质 层级一学业水平达标 1下列双曲线中离心率为 6 2 的是 ( ) A x2 2 y2 41 B x2 4 y2 2 1 C x2 4 y2 61 D x2 4 y2 101 解析：选 B 由e 6 2 得e 2 3 2， c2 a 2 3 2， 则 a 2 b2 a 2 3 2 ， b2 a 2 1 2，即 a 22b2因此可知 B 正确 2中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y120 上的等轴双曲线方程 是( ) Ax2y28 Bx2y24 Cy2x28 Dy2x24 解析：选 A 令y0 得，x
2、4， 等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0)， c4，a2 1 2c 21 2168，故选 A 3双曲线 x2 4 y2 k 1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是 ( ) A(10,0) B(12,0) C(3,0) D( 60， 12) 解析：选 B 由题意知k0，b0)，由题意知c 3，a 2 b29， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有 x21 a 2 y 2 1 b21， x22 a 2 y 2 2 b21， 两式作差得 y1y2 x1x2 b2x1x2 a2y1y1 12b2 15a 2 4b2 5a2， 又AB的斜率是 150 1231， 所以 4b25a 2，代入 a 2
3、 b 29 得 a 24， b 25， 所以双曲线标准方程是 x2 4 y2 5 1 5(2016浙江高考 )已知椭圆C1： x2 m 2y 21(m1)与双曲线 C2：x 2 n2 y21(n0)的焦点 重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( ) Amn且e1e2 1 Bmn且e1e21 Cmn且e1e2 1 Dmn且e1e21 解析：选A C1的焦点为 (m21，0)，C2的焦点为 (n21，0)，C1与C2的焦 点重合，m21n 21， m2n2 2，m2n2.m1，n0，mn. C1的离心率e1 m21 m ，C2的离心率e2 n21 n ， e1e2 m 21 m n 2 1
4、 n m 2 1 n 21 mn m 2 1 n 21 m2n 2 n21 2 n22n2 n42n21 n42n2 11. 6(全国卷 )已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y 1 2x，则该双曲线的标准 方程为 _ 解析：法一：双曲线的渐近线方程为y 1 2x， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 可设双曲线的方程为x24y2(0) 双曲线过点(4，3)，16 4(3) 24， 双曲线的标准方程为 x2 4 y21 法二：渐近线y 1 2x 过点 (4,2)，而30，b0) 由已知条件可得 b a 1 2， 16 a 2 3 b21， 解得 a 24， b21， 双曲线的标准方程
5、为 x 2 4 y21 答案： x2 4 y21 7双曲线 x2 a 2 y 2 b2 1(a 0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且 0，F1PF2的内切圆半径r2a，则双曲线的离心率e_. 解析：可设P为第一象限的点， 由双曲线的定义可得|PF1| |PF2| 2a， 0，可得PF1PF2， 由勾股定理可得|PF1| 2| PF2| 2| F1F2| 24c2， 2，可得 2| PF1| |PF2| 4c24a 24b2， 即有 |PF1| |PF2| 4c24b2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由三角形的面积公式可得 1 2 r(|PF1| |PF2|
6、 |F1F2|) 1 2| PF1| |PF2| ， 即为 2a(4c24b2 2c)2b2，整理得：c24ac5a 20，解得 c5a(ca舍去 )，即有 e c a 5. 答案： 5 8双曲线 x2 9 y2 161 的右顶点为 A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的 直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为 _ 解析：双曲线 x2 9 y2 161 的右顶点 A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y 4 3x 不妨设直线FB的方程为y 4 3(x5)，代入双曲线方程整理，得 x2(x5)29，解得x 17 5 ，y 32 15， 所以B 17 5 ， 32 15 所以SA
7、FB 1 2| AF|yB| 1 2(c a)|yB| 1 2 (5 3) 32 15 32 15 答案： 32 15 9 (全国卷 )已知F是双曲线C：x2 y2 8 1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66) 当 APF周长最小时，求该三角形的面积 解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2y 2 8 1 可知，a1，c3，故F(3，0)， F1(3,0) 当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF| |PF1| 2，所以 |PF| |PF1| 2，从而APF的周长 |AP| |PF| |AF| |AP| |PF1| 2|AF| 因为 |AF| 3266 2 15 为定值，所以
8、当 (|AP| |PF1|) 最小时，APF的周长 最小， 由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示 ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由题意可知直线AF1的方程为y26x66， 由 y26x66， x2 y 2 8 1， 得y 26 6y960， 解得y26或y 86(舍去 )， 所以SAPFSAF1FSPF1F 1 2 666 1 262 6126 10已知双曲线C： x2 a 2 y2 b21(a 0，b0)的离心率为3，且 a2 c 3 3 (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线xym0 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2 y25
9、上，求m的值 解： (1)由题意得 a 2 c 3 3 ， c a 3， 解得 a1， c3. 所以b2c2a 22 所以双曲线C的方程为x2 y2 21 (2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0) 由 xym0， x2 y 2 2 1， 得x22mxm220(判别式0) 所以x0 x1x2 2 m，y0x0m2m 因为点M(x0，y0)在圆x2y25 上， 所以m2 (2m)25 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故m 1 层级二应试能力达标 1双曲线 x2 4 y 2 121 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A 23 B2 C3
10、D1 解析：选A 不妨取焦点 (4,0)和渐近线y3x，则所求距离d |430| 31 23故 选 A 2若双曲线与椭圆 x2 16 y2 641 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 yx，则双曲 线的方程为 ( ) Ay2x296 By2x2160 Cy2x280 Dy2x224 解析：选 D 设双曲线方程为x2y2(0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦 点为 (0， 43)，所以0，b0)由题意，知过点(4， 2)的 渐近线方程为y b ax，所以 2 b a 4，即a2b设bk(k0)，则a 2k，c5k，所 以e c a 5k 2k 5 2 故选 D 4(全国甲卷 )已知F1，F2
11、是双曲线E：x 2 a2 y2 b21 的左、右焦点，点 M在E上，MF1与 x轴垂直， sinMF2F1 1 3，则 E的离心率为 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A2 B 3 2 C3 D2 解析：选 A 法一：作出示意图，如图，离心率e c a 2c 2a |F1F2| |MF2| |MF1| ， 由正弦定理得e |F1F2| |MF2| |MF1| sinF1MF2 sinMF1F2sinMF2F1 22 3 1 1 3 2故选 A 法二：因为MF1与x轴垂直，所以 |MF1| b2 a 又 sinMF2F1 1 3 ，所以 |MF1| |MF2| 1 3，即 | M
12、F2| 3|MF1| 由双曲线的定义得2a |MF2| |MF1| 2|MF1| 2b2 a ，所以b2a 2，所以 c2b2a 22a2，所以离心率 e c a 2 5已知双曲线 x2 a 2 y 2 b21(a 0，b0)的一个焦点为F(25，0)，且离心率为e 5 2 ，则双 曲线的标准方程为_ 解析：由焦点坐标，知c25，由e c a 5 2 ，可得a4，所以bc2a 22，则双 曲线的标准方程为 x2 16 y2 4 1 答案： x2 16 y2 4 1 6已知F1，F2分别是双曲线 x2 a2 y2 b21(a 0，b0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条 渐近线平行的直线交另一条
13、渐近线于点M，若F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围 是_ 解析：联立 y b ax y b a xc， 解得 x c 2 ， y bc 2a . M c 2， bc 2a ，F1(c,0)，F2(c,0)， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3c 2 ， bc 2a ， c 2， bc 2a ， 由题意可得0，即 b2c2 4a 2 3c2 4 0， 化简可得b23a 2，即 c2a 23 a 2， 故可得c24a2，c2a，可得e c a 2. 答案： (2， ) 7设双曲线 x2 a 2 y2 b21(0a，所以e 2 a 2 b2 a 2 1 b2 a 22，则 e 2
14、于是双曲线的离心率为2 8已知双曲线C：x2y21 及直线l：ykx1 (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB的面积是2，求实 数k的值 解： (1)由 ykx1， x2y21 消去y， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得(1k2)x22kx20 由直线l与双曲线C有两个不同的交点， 得 1k20， 4k281k20， 解得20 时，SAOB |SOADSOBD| 1 2 |x1x2| 2 综上可知， |x1x2| 22， 所以 (x1x2)2(x1x2)24x1x2(22)2， 即 2k 1k2 2 8 1k28，解得 k0 或k 6 2 由(1)，可知2k2且k 1，故k0 或k 6 2 都符合题意