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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时跟踪检测（二）导数的几何意义 层级一学业水平达标 1下面说法正确的是( ) A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处没有切线 B若曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在 C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线斜率不存在 D若曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在 解析：选 C f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处切线的斜率，当切线垂直 于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线 2曲线y 1 x在点 1 2，
2、 2 的切线的斜率为 ( ) A 2 B 2 C4 D 4 解析：选 D 因为y lim x0 y x lim x0 1 xx 1 x x lim x0 1 x2xx 1 x2. 所以曲线在点 1 2，2 的切线斜率为ky|x 1 2 4. 3曲线y 1 3x 32 在点 1， 5 3 处切线的倾斜角为( ) A 1 B. 4 C. 5 4 D 4 解析：选 B y lim x 0 1 3 xx 32 1 3x 3 2 x lim x0 x2xx 1 3 x 2 x2， 切线的斜率ky|x 11. 切线的倾斜角为 4，故应选 B. 4曲线yax2在点 (1，a)处的切线与直线2xy60 平行，
3、则a等于 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 1 B. 1 2 C 1 2 D 1 解析：选 A y|x 1 lim x0 a1x 2a 12 x lim x0 2axax 2 x lim x0 (2aax)2a， 2a2，a1. 5过正弦曲线ysin x上的点 2，1 的切线与 ysin x的图象的交点个数为( ) A 0个B1 个 C2 个D无数个 解析：选 D 由题意，yf(x)sin x， 则f 2 lim x 0 sin 2 xsin 2 x lim x0 cos x1 x . 当 x0 时， cos x1， f 2 0. 曲线ysin x的切线方程为y1，且与ys
4、in x的图象有无数个交点 6已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y 1 2 x2，则f(1)f(1) _. 解析：由导数的几何意义得f(1) 1 2，由点 M在切线上得f(1) 1 2 12 5 2，所以 f(1) f(1)3. 答案： 3 7已知曲线f(x)x，g(x) 1 x过两曲线交点作两条曲线的切线， 则曲线f(x)在交点处的 切线方程为 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：由 yx y 1 x ，得 x1， y1， 两曲线的交点坐标为(1,1) 由f(x)x， 得f (x) lim x0 1x1 x lim x 0 1 1x 1 1 2， yf
5、(x)在点 (1,1)处的切线方程为y1 1 2(x1) 即x2y1 0， 答案：x2y1 0 8曲线yx2 3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为_ 解析：设f(x)yx23x，切点坐标为 (x0，y0)， f(x0) lim x0 x0x 23 x0xx203x0 x lim x0 2x0x3xx 2 x 2x031，故x02， y0x203x046 2，故切点坐标为(2， 2) 答案： (2， 2) 9已知抛物线yx2，直线xy2 0，求抛物线上的点到直线的最短距离 解：根据题意可知与直线xy20 平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线x y2 0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20
6、)，则y|xx0 lim x0 x0x 2x2 0 x 2x01， 所以x0 1 2 ，所以切点坐标为 1 2， 1 4 ， 切点到直线xy20 的距离d 1 2 1 42 2 72 8 ，所以抛物线上的点到直线xy2 0 的最短距离为 72 8 . 10已知直线l：y4xa和曲线C：yx32x23 相切，求a的值及切点的坐标 解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y x x0x 32 x0x 23 x30 2x203 x (x)2(3x02)x3x204x0. 当x0 时， y x3 x204x0， 即f (x0)3x2 04x0， 由导数
7、的几何意义，得3x204x04， 解得x0 2 3或 x02. 切点的坐标为 2 3， 49 27 或(2,3)， 当切点为 2 3 ， 49 27 时， 有 49 274 2 3 a， a 121 27 ， 当切点为 (2,3)时，有 3 42a， a 5， 当a 121 27 时，切点为 2 3， 49 27 ； a 5 时，切点为 (2,3) 层级二应试能力达标 1.已知yf(x)的图象如图， 则f (xA)与f(xB)的大小关系是 ( ) Af(xA)f(xB) Bf(xA)0，对于任意实数x，有f(x) 0，则 f1 f0 的最小值为 _ 解析：由导数的定义，得f(0) lim x
8、0 fxf0 x 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 lim x0 ax 2 bxcc x lim x0 (axb)b. 又因为对于任意实数x，有f(x)0， 则 b 24ac 0， a0， 所以ac b2 4 ，所以c0. 所以 f1 f0 abc b b 2ac b 2b b 2. 答案： 2 7求曲线y 1 x和 yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积 解：联立两曲线方程，得 y 1 x， yx2， 解得 x1， y1， 即交点坐标为 (1,1) 曲线y 1 x在点 (1,1)处的切线的斜率为 f(1) lim x0 1 1x 1 1 x lim x 0 1 1x
9、1， 所以曲线y 1 x在点 (1,1)的切线方程为 y1 1(x1)，即yx2. 同理，曲线yx2在点 (1,1)处的切线的斜率为 f(1) lim x0 1x 2 1 x lim x0 2xx 2 x lim x0 (2x)2. 所以曲线yx2在点 (1,1)的切线方程为y12(x1)，即y 2x1，两条切线yx 2 和y2x1 与x轴所围成的图形如图所示所以S 1 21 2 1 2 3 4 .故三角形的面积为 3 4 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8过点P(1,0)作抛物线yx2x1 的切线，求切线方程 解：设切线过抛物线上的点Q(x0，x20x0 1)，则y|xx0 lim x 0 fx0xfx0 x lim x0 (2x0x 1)2x01，因为切线过点P( 1,0)和点Q(x0，x20x01)，其斜率满足 x 2 0x01 x01 2x0 1，所以x202x00，解得x00 或x0 2，所以点 (0,1)，(2,3)是抛物线上 的点 因此在点 (0,1)的切线方程为y1x，即xy10；在点 (2,3)的切线方程为y3 3(x2)，即 3xy30.所以所求切线方程为xy10 和 3xy30.