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1、1 高考数学小题集训 计数原理与概率（一） 一、选择题 1.用 1， 2， 3， 4， 5 组成不含重复数字的五位数，要求数字 4 不出现在首位和末位，数 字 1， 3， 5 中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（） A48 B. 60 C. 72 D.120 2.6 名同学安排到3 个社区 A、 B、C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同 学必须到 A 社区， 乙和丙同学均不能到C 社区， 则不同的安排方法种数为（） A5 B 6 C9 D12 3.郑州绿博园花展期间，安排 6 位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安 排一个人，剩下两个展区各安排两个
2、人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案 共有（） A168 种B156种C172 种D180 种 4.将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则 每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（） A150 种B180种C.240 种D540 种 5.某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班， 该班劳动委员把班级同学分为5 个劳动小组， 该校共有A、B、C、D 四个区域要清扫，其中 A、B、C 三个区域各安排一个小组，D 区 域安排 2 个小组，则不同的安排方法共有（） A240 种 B.150 种C.120 种 D.60 种 6.一只小青蛙位于数轴上的原点处
3、，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者 两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5 次跳动后，停在数轴上 实数 2 位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A.105 B.95 C.85 D.75 7. 9 2 0 1 cos 2 ax dxax ax ，则展开式中 3 x项的系数为 A 21 2 B 63 8 C 63 8 D 63 16 2 8.某班级要从4 名男生 2 名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4 人中至少有一 名女生的选法为（） A14 B8 C6 D4 9.用数字 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数
4、为（） A24 B48 C60 D72 10.已知三棱锥的6 条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放 在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。 现用编号为1,2,3 的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2 种， 那么安全存放的不 同方法种数为（） A.12 B.24 C.36 D.48 11. 若 对 任 意 实 数x ，有 52 012 (2)(2)xaaxax 5 5( 2)ax，则 024 aaa（） A121 B122 C242 D244 12.2018 年平昌冬奥会期间，5 名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排
5、甲或 乙， 最右端不能排甲，则不同的排法种数为（） A21 B36 C42 D84 13.记者要为5名志愿者和他们帮助的2 位老人拍照 ,要求排成一排, 2 位老人相邻但不排在 两端 ,不同的排法共有( ) A.1440 种B.960 种C.720 种D.480 种 14.将 7 个座位连成一排，安排 4 个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（） A. 240 B. 480 C. 720 D. 960 15.若等式 2018 2018 2 210 2018 )12(xaxaxaax对于一切实数x 都成立，则 2018210 2019 1 3 1 2 1 aaaa（） A 4038 1 B 2
6、019 1 C 2019 2 D0 3 16. 3 ) 3 )( 1 ( x x x x的展开式中的常数项为（） A 6 B6 C12 D18 17.有 4 位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游 览， 则每个景点都有人去游览的概率为( ） A 3 4 B 9 16 C. 8 9 D 4 9 18.九章算术中有如下问题：“ 今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ” 其 大意： “ 已知直角三角形两直角边分别为5步和 12 步， 问其内切圆的直径为多少步？” 现若 向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A 2 15 B 3 20 C 2
7、 1 15 D 3 1 20 19.已知随机变量服从正态分布(1,1)N,若(3)0.9772P， 则( 13)P（） A0.6827 B0.8522 C0.9544 D0.9772 20.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和 完善的算法 .所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是 刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正 六边形内的概率为（） A 3 3 2 B 3 3 2 C 3 2 2 D 3 2 21.若 1 (5,) 5 XB， 则（） 4 A()1E X且 4 () 5 D XB
8、 1 () 5 E X且()1D X C()1E X且 1 () 5 D XD 4 () 5 E X且()1D X 22.在区间 0,1上任意取两个实数a,b,则函数 31 ( ) 2 f xxaxb 在区间 1,1 上有且仅有一个零点的概率为（） A. 1 8 B. 1 4 C. 3 4 D. 7 8 23.已知复数z = x+yi(x,yR)满足 |z| 1 ， 则 y x+1 的概率为 A 31 42 B 31 42 C 11 42 D 11 42 24.在区间 0, 上随机地取两个数x、y,则事件 “ sinyx ” 发生的概率为 A. 1 B. 2 C. 2 1 D. 2 2 25.
9、一只蚂蚁在边长为4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区 域内的概率为（） A 3 1 6 B 3 4 C 3 6 D 1 4 26.根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为 5 4 ， 连续 2 天有客人入 住的概率为 5 3 ,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（） A 3 1 B 2 1 C. 5 3 D 4 3 27.从装有形状大小相同的3个黑球和2 个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3 次， 若第 二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（） A. 5 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2 1 28.甲乙二人争夺一场
10、围棋比赛的冠军.若比赛为 “ 三局两胜 ” 制， 甲在每局比赛中获胜的概 5 率均为 2 3 ,且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了3 局的概率为 （ ） A 1 3 B 2 5 C 2 3 D 4 5 29.下列说法正确的是（） A一枚骰子掷一次得到2 点的概率为 6 1 ， 这说明一枚骰子掷6次会出现一次2点 B某地气象台预报说，明天本地降水的概率为70%， 这说明明天本地有70%的区域下 雨， 30%的区域不下雨 C某中学高二年级有12 个班， 要从中选2个班参加活动，由于某种原因，一班必须参 加， 另外再从二至十二班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两枚骰子得到的
11、点数是 几， 就选几班，这是很公平的方法 D在一场乒乓球赛前，裁判一般用掷硬币猜正反面来决定谁先打球，这应该说是公平的 30. 设集合3,2, 1,2 ,1BA， 分别从集合A 和 B 中随机取一个数a 和 b， 确定平面 上的一个点baP,， 记点baP,落在直线 nyx 上 ” 为事件 n CNnn, 52， 若事件 nC的概率最大，则 n 的所有可能值为（） A 3 B4 C2 和 5 D3和 4 二、填空题 31.已知整数系数多项式 5432 12345 fxxa xa xa xa xa， 若 320f，130ff则1f . 32.要从甲、乙等8 人中选 4 人在座谈会上发言，若甲、乙
12、都被选中，且他们发言中间恰 好间隔 人， 那么不同的发言顺序共有种（用数字作答）. 33. 将 A， B， C， D， E 五个字母排成一排，且 A， B 均在 C 的同侧，则不同的排法共 有 种(结果用数值作答). 34.已知 012233* 2222729() nn nnnnn CCCCCnNL， 则 123n nnnn CCCCL 的值为 . 6 35.在报名的3 名男教师和5 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男女教师都有， 则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示). 36.若 33 n x x 的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024， 则展开式中常数项是 _. 37.
13、已知 42 )1)(xxxa的展开式中含 3 x项的系数为14， 则 2 0 22 dxxa . 38.中国诗词大会节目组决定把将进酒、山居秋暝、望岳、送杜少府之 任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求将进酒与望岳相邻，且将 进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻，且均不排在 最后， 则后六场开场诗词的排法有种.（用数字作答） 39.要对如图所示的四个部分进行着色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，现有五种不 同的颜色可供选择，则共有种不同的着色方法.（用数字作答） 40.2018 年 6 月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的 8 名同学符合
14、招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2 名.若将这 8 名同学分成甲乙两个小组,每组 4 名同学 ,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组 的 4 名同学中恰有2 名同学是来自于同一年级的分组方式共有种 41.某校有高级教师26人， 中级教师104 人其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入 情况， 若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56 人进行调查，已知从其他教师中共抽取 了 16 人， 则该校共有教师人 42.从如图所示的由9 个单位小方格组成的3 3方格表的16 个顶点中任取三个顶点，则这 三个点构成直角三角形的概率为 . 7 43.一枚骰子连续投掷四次，从第
15、二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率 为 44.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为 2 3 ,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总 局数为 + () i x iN的概率为 i p,这里要求 1( ) iI xxiN,则 1 ii i Sx p 45.将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数随即填入3 3 的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所 填的数各不相同，则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为_ . 46.从 1,2, ,10 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差 2 1s的概率 = 47.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“ 三节棍体 ” ， 那
16、么从长方体八个顶点中任取 四个顶点，则这四个顶点是“ 三节棍体 ” 的四个顶点的概率为_. 48.抛掷两个骰子，至少有一个4 点或 5 点出现时，就说这次试验成功，则在 8 次试验 中， 成功次数 的期望是 . 49.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准 时收到帐篷是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率是 . 50.已知随机变量(36,)Bp， 且( )12E， 则(43)D 8 51.已知某线路公交车从6：30 首发，每 5 分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学 校， 若甲每天到起点站的时间是在6：30-7：00 任意时刻随机到达
17、，乙每天到起点站的 时间是在6： 45-7：15 任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是 _ 9 参考答案 1.A 数字出现在第位时， 数字中相邻的数字出现在第位或者位， 共有个 数字出现在第位时， 同理也有个 数字出现在第位时， 数字中相邻的数字出现在第位或者位， 共有个 故满足条件的不同的五位数的个数是个 故选 2.C 3.B 分类：（ 1）小李和小王去甲、乙，共种（ 2）小王，小李一人去甲、乙，共 种， （3）小王， 小李均没有去甲、乙，共种， 总共 N种， 选 B. 4.A 先将个人分成三组, 或,分组方法有中 ,再将三组全排列有 种,故总的方法数有种. 5.D 根据
18、题意，分 2 步分析： ， 先在 5 个劳动小组中任选2 个， 安排到 D 区域， 有 C52=10 种选法， ， 将剩下的3 个小组全排列，安排到 A、 B、C 三个区域， 有 A33 =6 种情况， 则有 10 6=60 种不同的安排方法， 6.A 根据题意，分 4 种情况讨论： ， 小青蛙向左跳一次2个单位， 向右跳 4次， 每次1个单位， 有C51=5 种情况， ， 小青蛙向左跳2 次， 每次 2 个单位，向右跳 3 次， 每次 2 个单位， 有 C 52=10 种情 况， ， 小青蛙向左跳2 次， 一次 2 个单位，一次 1 个单位， 向右跳 3次， 2 次 2 个单位， 1 1 0
19、 次1个单位， 有 C52A33 =60 种情况， ， 小青蛙向左跳2 次， 每次 1 个单位，向右跳 3 次， 1 次 2 个单位， 2 次 1 个单位， 有 C52C32 =30 种情况， 则一共有5+10+60+30=105 种情况，即有 105 种不同的跳动方式 7.A 8.A 9.D 10.D 设种产品分别为，画出图像如下图所示，根据题意，安全的分组方法有 ， ， 共 种， 每一种分组方法安排到3 个仓库，有种方法，故总的方 法种数有种， 故选 D. 11.B ， 且， . 故选： B. 12.C 根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论： 最左边排甲，则剩下 4 人进行全排列
20、， 有种安排方法； 最左边排乙，则先在剩下的除最右边的 3个位置选一个安排甲，有 3 种情况， 再将剩下的3 人全排列，有种情况，此时有种安排方法， 则不同的排法种数为 种. 故选： C. 1 1 13.A 14.B 15.B 16.B 17.D 18.C 19.C 20.A 设圆的半径为r， 则圆的面积 2 1 Sr， 正六边形的面积 22 2 13 3 6sin 232 Srr， 所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的 概率 2 2 2 1 3 3 3 3 2 2 r S P Sr ， 故选 A. 21.A 根据二项分布的期望与方差的公式， 即可得， 故选 A 22.D 23.C
21、( , )x y在单位圆上动，故概率为 11 11 42 42 24.D 25.A 画出正三角形，以其每个顶点为圆心作半径为2 的圆弧与正三角形相交，蚂蚁爬行的区域 不能在 3 扇形内，故. 26.D 1 2 27.D . 28.B 29.D 30.D 事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5 时的基本事件个数即可。 当 n=2 时， 落在直线上的点为（ 1， 1）； 当 n=3 时， 落在直线上的点为（ 1,2）、（ 2,1）； 当 n=4 时， 落在直线上的点为（ 1,3）、（ 2,2）； 当 n=5 时， 落在直线上的点为（ 2,3）； 显然当 n=3,4 时， 事件的概率最大为
22、。 31.24 32.120 33.80 按的位置分类，当在第三个位置时，共有种排法； 当在第四个位置时，共有种不同的排法； 当在第五高为位置时，共有种不同的排法， 所以当都在的左侧时，共有种不同的排法， 所以都在的同侧时，共有种不同的排法. 34.63 由二项式定理得， 所以， 解得， 所以， 所以 . 35.120 由题意得，可采用间接法：从男女组成的中， 选出人， 共有种不同的选法；其 中 人中全是女教师的有种选法，故共有种选法 36.-90 1 3 3 3 n x x 令 1x ， 得 5n ， 展开式常数项为 332 5( 1) 3 90C 37.32 3 4 根 据 乘 法 分 配
23、 律 得， ，.， 表示圆心在原点，半径为的圆 的上半部分 .当时， 故. 38.36 根据题意，分 2 步分析： 将将进酒与望岳捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排 法， 再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在3 个空里（最后一个空不排），有 种排法， 则后六场的排法有=36（种） . 39.180 40. 24 41.182 42. 9 35 43. 7 72 44. 18 5 45. 1 14 46. 1 15 48. 9 40 49. 4 1 50.128 51. 1 12 47. 12 35 从 8 个顶点任取4个有 4 8 70C种， 构成三节棍体的三棱锥有一个面在长方体的面上，所 以有 13 64 2 24 2 C C 种.