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1、备考高考数学模拟题（5） 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时 间 120 分钟 . 第 I 卷（选择题） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1设复数)2)(1 (imi是纯虚数，则m=（） A1mB1mC 2mD 2 1 m 2已知命题:p“若ba， 则|ba” ， 则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中， 正确命题的个数是（） A1 个B2 个C3 个D4 个 3要完成下列两项调查：从某社区125 户高收入家庭、200 户中等收入家庭、95 户低收 入家庭中选出
2、100 户，调查社会购买能力的某项指标；从某中学的5 名艺术特长生 中选出 3 名调查学习负担情况宜采用的方法依次为（） A简单随机抽样调查，系统抽样B分层抽样，简单随机抽样 C系统抽样，分层抽样D都用分层抽样 4如图，一个几何体的三视图都是边长为1 的正方形，那么这个几何体的体积为（） A 3 2 B 3 1 C 3 2 D1 a a a 5关于函数函数)(xf1)sin3(coscos2xxx， 以下结论正确的是（） A)(xf的最小正周期是， 在区间），（ 12 5 12 是增函数 B)(xf的最小正周期是2， 最大值是2 C)(xf的最小正周期是， 最大值是3 D)(xf的最小正周期是
3、， 在区间），（ 612 是增函数 6某人欲购铅笔和圆珠笔共若干只，已知铅笔1 元一只，圆珠笔 2 元一只要求铅笔不 超 过 2 只，圆珠笔不超过2 只，但铅笔和圆珠笔总数不少于2 只，则支出最少和最多的钱 数 分别是（） A2 元，6 元B2 元，5 元C 3 元，6 元D 3 元，5 元 7已知F1 、F2分别是双曲线1 b y a x 2 2 2 2 （a0,b0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一 点， 若90 21PF F,且 21PF F的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（） A2 B3 C4 D 5 8函数 x xx y sin2 sin3cos4 2 的最大值是（） A 3
4、7 B3C 3 7 D1 第卷非选择题(共 110分) 二、填空题： 本大题共7 小题，考生作答6小题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（912 题） 9 已 知 集 合0| )(myxyxA，集 合 1|)( 22 yxyxB，若BA， 则实数m的取 值范围是 _ 10 关于函数 11cos 41 )( xx xx xf ， ， 的流程图如下，现 输入区间ba， 则输出的区间是_ 11函数3)12( 2 xaaxy在区间 2 3 ， 2 上的最大值是3， 则实数 a =_ 12设平面上n个圆周最多把平面分成)(nf片（平面区域） ， 则)2(f_，)(nf_ （1n，n是自然数
5、） （二）选做题（1315 题，考生只能从中选做两题） 开始 输入)(xf 输入区间ba， ?0)(xf ?0)(xf 输出区间ba， 结束 N N Y Y 13. ( 坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为 ( , sin41 cos4 y ax 是参数， 0a） ， 若曲线 C 与直线0543yx只有一个交点，则实数a的值是 _ 14. ( 不等式选讲选做题）设函数2)(axxf， 若不 等 式)(xf 1的 解)4,2()0,2(x，则 实 数 a =_ 15. ( 几何证明选讲选做题）如右图，已知PB是O的 切线，A是切点，D是弧AC上一点， 若70BAC， 则_ADC 三、解答
6、题：本大题共6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13 分）如图所示，正在亚丁湾执行护航任务的某导弹护卫舰，突然收到 一艘商船的求救信号，紧急前往相关海域到达相关海域O处后发现，在南偏西 20、5 海里外的洋面M处有一条 海盗船， 它正以每小时20 海里的速度向南偏东 40的方向逃窜 某 导弹护卫舰当即施放载有突击队员的快艇进行拦截，快艇 以每小时30 海里 的速度向 南偏东 的方向 全速追击 请问：快艇能否 追上海盗船？如果能追上， 请求出)40sin(的值； 如果未能追上，请说明理由 （假设海面上风平浪静、海盗船逃窜的航向不变、快艇运转正 常
7、无故障等 ） O N M 17. （本小题满分12 分）某商品 ,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 P0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为200 元；分 2 期或 3 期付款，其利 润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为300 元表示经销一件该商品的利润，事件 A为“ 购买该商品的3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款 ” O BP C A D ( ) 求事件A的概率()P A； ( ) 求的分布列及期望E 18. （本小题满分13 分）如图，已知直四棱柱ABCD- 1111 DCBA的底面
8、是边长为2、 Q O D1 C1 B1 A1 P D C B A ADC=120 的菱形，Q是侧棱 1 DD（ 1 DD 2 2 ）延长线上的一点，过点Q、 1 A、 1 C 作菱形截面Q 1 AP 1 C交侧棱 1 BB于点P设截面Q 1 AP 1 C的面积为 1 S，四面体 PCAB 111 的三侧面 111 CAB、 11PC B、PAB 11 面积的和为 2 S， 21 SSS () 证明：QPAC； ( ) 当S取得最小值时，求cos 11QC A的值 19. （本小题满分14 分）在直角坐标平面内，定点)0 ,1(F、)0, 1( F,动点 M,满足条件 22| MFMF. ( )
9、 求动点 M 的轨迹 C 的方程； ( ) 过点 F 的直线交曲线C 交于 A,B 两点，求以 AB 为直径的圆的方程，并判定这 个圆与直线2x的位置关系 20. （本小题满分14 分） 已知数列 n a的前 n 项和,3 ,2, 1,4232naS n nn ( ) 求数列 n a的通项公式； ( ) 设 n T为数列4 n S的前 n 项和，求 n T 21.（本小题满分14 分） 理科函数 32 6fxxx 的定义域为2,t ， 设2,fm f t n ， )(xf是)(xf的导数 ( ) 求证：nm； ( ) 确定 t 的范围使函数fx在2,t 上是单调函数； ( ) 求证：对于任意的
10、2t， 总存在 0 2,xt ， 满足 0 2 nm fx t ；并确定这样 的 0 x 的个数 【答案及详细解析】 一、选择题：本大题理科共8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1C解析：immimi)21(2)2)(1(，2m 2B解析：原命题正确，所以，逆否命题也正确；逆命题不正确，所以，否命题也 不正确 3B解析：按照抽样方法的概念即可选B 4A解析： 这个几何体由过正方体两底面对角线与正方体的两个对应顶点截去两个三棱锥 而得，体积为 3 2 2 6 1 1 a a a 5D解析：) 6 2sin(2)(xxf， 最小正周期是
11、， 在），（ 612 是增函数 6 A解析： 设购买铅笔x只， 购买圆珠笔y只， 则yx,满足 2 2 2 yx y x ， 则yx2为 支出的钱数，易知，答案是 A 7D解析：设 |PF1|=m, |PF2|=n， 不妨设 P 在第一象限，则由已知得 2m2cn (2c)nm 2anm 222 5a2-6ac+c 2=0 e 2-6e+5=0， 解得 e=5 或 e=1（舍去）， 选 D 8C解析： 设txsin， 则1 2 1 21 2 1 2 2 t t t ty；令tu2， u uv 1 ， 则1 2 vyy是关于v的二次函数，其图象关于直线0v对称；但v 是关于u的增函数，而 11t
12、 ， 从而vu, 310， 所以y是关于v的的增函数，于 是3u时， 3 7 1 3 1 3 2 max y 第卷非选择题(共 110分) 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题 5分，满分 30 分. （一）必做题（912 题） 92m解析 ：如图，0|)(myxyxA，表示 直线0myx及其下方区域， 1|)( 22 yxyxB， 表 示 圆1 22 yx及 内 部 ，要 使BA，则 直 线 0myx在圆1 22 yx的下方，即 2 00m 1， 故 2m. 1010 ，解析 ：依题意知，当11x时，)(xf0；此时若0sin)( xxf， 则10x 111a或6a 解析
13、：若a 0，则函数图象对称轴是 a x 2 1 1，最大值是 332)12(2 2 aa，1a；若a0，最大值是33 2 3 )12() 2 3 ( 2 aa， 6a 12)2(f4，2)( 2 nnnf解析 ：易知 2 个圆周最多把平面分成4 片；n个圆周 已把平面分成)(nf片， 再放入第1n个圆周，为使得到尽可能多的片，第1n个应与 前面n个都相交且交点均不同，有条公共弦，其端点把第1n个圆周分成n2段，每段 都 把 已 知 的 某 一 片 划 分 成2片 ，即nnfnf2)()1(（ 1n ），所 以 )1()1 ()(nnfnf， 而2)1 (f， 从而2)( 2 nnnf （二）选
14、做题（1315 题，考生只能从中选做两题） 13. 7a 解析 ：曲线C 是圆，即4)1()( 22 yax，圆心是)1 ,(a，所以 4 5 |543| a ， 又0a， 所以7a 14.1a解析 ：12ax1， 1ax3，1ax且ax3由 ax 1 或 ax 1有xa1 或xa1；由ax3 有a-3 xa+3；而 )(xf1 的解)4,2(x， 1a 15.110 解 析 ： ACDDAB ， 70CADDABBAC ，从 而 70CADACD， 11070180ADC 三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13 分） 解：
15、 假设经过t小时在 N 处 追上海盗船 在OMN中，OM=5，MN=20t，ON=30t， OMN=120 -4分 由余弦定理有ttttt10025400120cos205225400900 222 ，-7 分 化简得01420 2 tt， 解之得 10 61 t0， 快艇能 追上海盗船 -10 分 由正弦定理有 120sin)40sin( ONMN ， )40sin( 3 3 2 3 30 20 t t -13 分 17.（本小题满分12 分） 解： ( ) 由A表示事件 “ 购买该商品的3 位顾客中至少有1 位采用 1 期付款 ” ， 知A表示事件 “ 购买该商品的3 位顾客中无人采用1
16、期付款 ” 2 ()(10.4)0.216P A，()1()10.2160.784P AP A 4 分 ( )的可能取值为200元，250元，300元 (200)(1)0.4PP，(250)(2)(3)0.20.20.4PPP， (300)1(200)(250)10.40.40.2PPP 的分布列为 200250300 P0.40.40.2 10 分 2000.42500.43000.2E240（元） 12 分 18.（本小题满分13 分） 解： ( ) 连AC、BD， 则BDAC； ABCDPB底面， 则BPAC， QPBDAC平面 而QPBDQP平面， QPAC-4分 ( )设O是 1 A
17、 1 C与QP的交点，xQD1 、yQO， 则 22 1yx， 21 SSS =xyxy2332)2 2 1 232 2 1 (32 2 1 2 3)1(3(2 2 xx-8分 令 xxm)1(3 2 ， 则 2)13() 1( 3( 22222 xxxxm， 当13 2 xx即 2 2 x时，S取得最小值-11分 此时， 2 23 11 QAQC， 由余弦定理有cos 11QC A 3 1 2 11 1 2 1 2 1 2 1 QAQC CAQAQC -13分 19.（本小题满分14 分） 解： ( ) 易知 M 的轨迹是椭圆，1,2,1bac， 方程为1 2 2 2 y x -3 分 (
18、) 当斜率存在时，设)1(:xkyl，由 ) 1( 1 2 2 2 xky y x ，消去 y 整理得 0224)21( 2222 kxkxk；-5 分 设),(),( 2211yxByxA ， 则有 2 2 21 2 2 21 21 22 21 4 k k xx k k xx -6 分 以AB为直径的圆的方程为0)()( 2121 yyyyxxxx， 即 0)()( 21212121 22 yyxxyyyxxxyx；-7 分 由得kxxkxkxkyy2)()1() 1( 212121 2 21 2 k k ， 2 2 2121 2 11 2 21 21 1)()1)(1( k k xxxxk
19、xxkyy；-8 分 将代入化简得0 21 2 21 2 21 4 2 2 22 2 22 k k y k k x k k yx， 即 2 2 2 2 2 2 2 2 21 )1(2 ) 21 () 21 2 ( k k k k y k k x-10 分 对 任意的 Rk ，圆 心) 21 , 21 2 ( 22 2 k k k k 到直线2x的距 离是 2 2 2 2 21 22 21 2 2 k k k k d，0 21 )1)(22( 21 )1(2 21 22 2 2 2 2 2 2 k k k k k k Rd， 即 Rd， 所以圆于直线相离-12 分 当斜率不存在时，易得半径为 2
20、 1 ， 圆的方程是 2 1 )1( 22 yx， 与直线2x 也相离-14 分 21.（本小题满分14 分） 解： ( ) 设h tnm， 则 h t 223 )4)(2(326tttt0， 所以nm 2 分 ( ) 2 312fxx， 令0fx， 得 12 0,4xx 3 分 当2,0t时，2,xt 时， 0fx，fx 是递增函数； 当0t时， 显然 fx 在2,0 也是递增函数4 分 0x 是 fx 的一个极值点，当 0t 时， 函数 fx 在2,t 上不是单调函数 当2,0t时，函数fx在2,t 上是单调函数5 分 ( ) 由（ 1） ， 知 2 (2)(4)nmtt， 2 4 2 n
21、m t t 6 分 又 2 312fxx，我 们 只 要 证 明 方 程 2 2 31240xxt在2,t内 有 解 即 可 7 分 记 2 2 3124g xxxt， 则 2 2364210gttt， 2 2 3124224g tttttt， 22 2 23640,31240gtg tttt， 2 222410gg tttt 9 分 当2,410,t时， 2 2224100gg tttt，方程在 2,t 内有且只有一解；10 分 当 4,10t 时 ， 22100gtt ， 2240g ttt ，又 2 21240gt， 方程在2,2 , 2,t 内分别各有一解，方程在2,t内 两解；11
22、分 当4t时，方程 2 3120g xxx在2,4内有且只有一解0x； 12 分 当10t时，方程 2 312363260g xxxxx在2,10 内有且只有一 解 6x 13 分 综上，对于任意的2t， 总存在 0 2,xt ， 满足 0 2 nm fx t 当2,410,t时， 满足 0 2 nm fx t ， 0 2,x t 的 0 x 有且只有一个； 当4,10t时，满足 0 2 nm fx t ， 0 2,x t 的 0 x 恰有两个14 分 20. （本小题满分14 分） 解： ( )22 111 aSa， 2 1 a-2 分 当2n时， 1nnnSSa， 1 1 232 n nn
23、 aa，于是 2 3 22 1 1 n n n n aa ；-4 分 令 n n n a b 2 ， 则数列 n b是首项1 1 b、公差为 2 3 的等差数列， 2 13n bn ； )13(22 1 nba n n n n -6 分 ( ) 2 223)43(24 nnn n nnS ， )222(4)22212(3 22nn n nT，-8 分 记nW n n 22212 2 ，则nW n n 132 222122 ， -10 分 - 有2)1(222212 112 nnW nnn n ， 2)1(2 1 nW n n -12 分 故 14)73(2 21 )21 (2 42) 1(23 11 nnT n n n n -14 分