《七年级数学下册14.3等腰三角形的性质和判定学案(无答案)沪教版五四制.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学下册14.3等腰三角形的性质和判定学案(无答案)沪教版五四制.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考，改变命运。凌风破浪击长空，擎天揽日跃龙门 等腰三角形 【知识精读】 （）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合。 推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为 对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是
2、今 后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的 性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，
3、也是把三 角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这 条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平 分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平 分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【热身练习】 1. 等腰三角形的腰长是底边的 4 3 ，底边等于12cm，则三角形的周长为 cm 2. 等腰三角形顶角为80，则一腰上的高与底边所夹的角的度数为_
4、度 3. 等腰三角形的底角是65, 顶角为 _. 4. 等腰三角形的一个内角为100, 则它的其余各角的度数分别为_. 5. P 为等边 ABC所在平面上一点, 且 PAB,PBC,PCA都是等腰三角形, 这样的点P有_个. 6. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4 倍时 , 则顶角为 _度 7. 已知如图， A、 D 、C在一条直线上AB BD CD, C40, 则 ABD _ 2 第 7题第 9 题第 10 题 8. 在等腰 ABC中, AB AC, ADBC于 D, 且 AB AC BC50cm, 而 AB BD AD40cm, 则 AD _cm. 9. 如图 , P25, 又 PA AB
5、 BC CD, 则 DCM _度. 10. 如图已知 ACB 90 , BD BC, AE AC, 则 DCE _度. 1. 30 2. 40 3. 50 4. 4040 5. 7 6. 120 7. 20 8. 15 9. 100 10. 45 【精解名题】 例 1. 如图，已知在等边三角形ABC中， D是 AC的中点， E为 BC延长线上一点，且CE CD ，DM BC ，垂 足为 M 。求证： M是 BE的中点。 A D 1 B M C E 分析：欲证M是 BE的中点，已知DM BC ，所以想到连结BD ，证 BDED 。因为 ABC是等边三角形， DBE 2 1 ABC ，而由 CE
6、CD ，又可证 E 2 1 ACB ，所以 1 E，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是 AC的中点 所以 1 2 1 ABC 又因为 CECD ，所以 CDE E 所以 ACB 2E 即 1 E 所以 BD BE ，又 DM BC ，垂足为M 所以 M是 BE的中点（等腰三角形三线合一定理） 例 2. 如图， 已知：ABC中，ACAB，D是 BC上一点， 且CADCDBAD，求BAC的度数。 A B C D 分析：题中所要求的BAC在ABC中，但仅靠ACAB是无法求出来的。 因此需要考虑DBAD 和CADC在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此
7、可利用等腰三角形 3 的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为ACAB，所以CB 因为DBAD，所以CDABB； 因为CDCA，所以CDACAD（等边对等角） 而DABBADC 所以BDACBADC22， 所以B3BAC 又因为180BACCB 即 180B3CB所以36B 即求得 108BAC 例 3. 已知：如图，ABC中，ABCDACAB，于 D。求证：DCB2BAC。 A 1 2 D B C E 3 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它 的一半，再证与DCB的关系。 证明：过点A作BCAE于 E，ACAB 所以BAC 2 1 2
8、1（等腰三角形的三线合一性质） 因为90B1 又ABCD，所以 90CDB 所以 90B3（直角三角形两锐角互余） 所以31（同角的余角相等） 即DCB2BAC 4、中考题型： 1.如图， ABC中， AB AC ， A36， BD 、CE分别为 ABC与 ACB的角平分线，且相交于点F，则图 中的等腰三角形有（） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 4 A 36 E D F B C 分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8 个，故选择C。 2.）已知：如图，在ABC中， AB AC ，D 是 BC的中点， DE AB ，DFAC ，E、F 分别
9、是垂足。求证：AE AF。 A E F B D C 证明：因为ACAB，所以CB 又因为ACDFABDE， 所以 90CFDBED 又 D是 BC的中点，所以DCDB 所以)AAS(CFDDEB 所以CFBE，所以AFAE 说明：证法二：连结AD ，通过AEDAFD证明即可 【备选例题】 例 1. 如图，ABC中， 100AACAB，BD平分ABC。 求证：BCBDAD。 A D 1 B 2 E F C 证明一：在BC上截取BDBFBABE，连结 DE 、DF 在ABD和EBD中，BDBD21BEBA， 80DEF100ABEDDEAD )SAS(EBDABD ， 又 100AACAB， 5
10、40)100180( 2 1 CABC 2040 2 1 21 而BFBD 80)20180( 2 1 )2180( 2 1 BDFBFD ADBDFCBFBC FCDFDEADFCDFCFDC 404080CDFEFDC 40C80DFE DFDE80DFEDEF ， 即BCBDAD 【巩固练习】 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（） A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或 8cm D. 以上都不对 2. 如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD，则1的度数是 _。 C A 1 D B 2 3 3. 求证：等腰三角形两腰中
11、线的交点在底边的垂直平分线上. 4. ABC中，120AACAB， ， AB的中垂线交AB于 D，交 CA延长线于E，求证：BC 2 1 DE。 A E D O B C 1 2 【试题答案】 1. B 2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为ABC是等边三角形 6 所以60ABCBCAB， 因为BCBD，所以BDAB 所以23 在ABD中，因为 60ABC90CBD， 所以 150ABD，所以152 所以 75ABC21 3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。 已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E分别为 AC 、 AB边
12、中点， BD 、CE交于 O点。求证：点O在 BC 的垂直平分线上。 分析：欲证本题结论，实际上就是证明OCOB。而 OB 、OC在ABC中，于是想到利用等腰三角形 的判定角等，那么问题就转化为证含有21 、的两个三角形全等。 证明：因为在ABC中，ACAB 所以ACBABC（等边对等角） 又因为 D、E分别为 AC、AB的中点，所以EBDC（中线定义） 在BCD和CBE中， )(CBBC )(EBCDCB )(EBDC 公共边 已证 已证 所以)SAS(CBEBCD 所以21（全等三角形对应角相等）。 所以OCOB（等角对等边）。 即点 O在 BC的垂直平分线上。 说明： （1）正确地理解题
13、意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB OC ”是关键的一点。 （2）实际上，本题也可改成开放题：“ABC中， AB AC ，D、E分别为 AC 、AB上的中点， BD 、CE交于 O。 连结 AO后，试判断AO与 BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。 4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑 取 BC的中点。 证明：过点A作 BC边的垂线AF，垂足为F。 7 E A 3 1 2 D B F C 在ABC中，120BACACAB， 所以 30CB 所以B
14、C 2 1 BF6021， （等腰三角形三线合一性质）。 所以 603（邻补角定义）。 所以31 又因为 ED垂直平分AB，所以 30E（直角三角形两锐角互余）。 AB 2 1 AD（线段垂直平分线定义）。 又因为AB 2 1 AF（直角三角形中角所对的边等于斜边的一半）。 所以AFAD 在ABFRt和AEDRt中， 90ADEAFB )(ADAF )(31 已证 已证 所以)ASA(AEDRtABFRt 所以BFED 即BC 2 1 ED。 说明： （1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功； （2）直角三角形中 30角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。
15、【自我测试】 1在等腰 ABC 中， AB=AC ，中线 BD将这个三角形的周长分为15 和 12 两个部分，则这个等腰三角形的底 边长为（C） A 7B 11 C 7 或 11 D7 或 10 2在 ABC中，已知AB=AC ，DE垂直平分AC ，A=50 ，则 DCB 的度数是（A） 1 3 8 A 15B 30C 50D65 3如图，在 ABC 中， ACB=100 ， AC=AE ， BC=BD ，则 DCE的度数为（ D ） A 20B 25C 30D40 4（2003?青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（C ） A 75B 15C 75或 15D30
16、5（2006?普陀区二模）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（A ） A顶角的一半B底角的一半 C90减去顶角的一半D90减去底角的一半 6在等腰 ABC中，AB=AC=9 ，BC=6 ， DE是 AC的垂直平分线， 交 AB 、 AC于点 D、 E， 则BDC的周长是 （D） A 6B 9C 12 D15 7如图， AB=AC ，C=70 ， AB垂直平分线EF交 AC于点 D，则 DBC的度数为（D ） 9 A 10B 15C 20D30 8如图，点D、E在ABC的 BC边上， AB=AC ，AD=AE ，则图中全等三角形共有（C ） A 0 对B 1 对C 2 对D3 对 9如图，在
17、 ABC 中， B=C，点F 为 AC上一点， FD BC 于 D，过 D点作 DE AB于 E若 AFD=158 ， 则EDF的度数为（C ） A 90B 80C 68D60 10已知 ABC 是等腰三角形，且 A=40 ，那么 ACB的外角的度数是（C ） A 110B 140C 110或 140D 以上都不对 11如图已知 BAC=100 ，AB=AC ，AB 、AC的垂直平分线分别交BC于 D、E ，则 DAE= （C ） A 40B 30C 20D10 12如图，在等腰 ABC 中， AB=AC ，点 D在 BC上，且 AD=AE （1）若 BAC=90 ， BAD=30 ，求 ED
18、C的度数？ （2）若 BAC=a （ a30）， BAD=30 ，求 EDC 的度数？ （3）猜想 EDC与BAD的数量关系？（不必证明） 10 考点 ： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质1184454 专题 ： 证明题 分析：（1）根据等腰三角形性质求出B的度数，根据三角形的外角性质求出ADC ，求出 DAC ，根据等腰三角 形性质求出 ADE 即可； （2）根据等腰三角形性质求出B的度数，根据三角形的外角性质求出ADC ，求出 DAC ，根据等腰三角 形性质求出 ADE 即可； （3）根据（ 1）（ 2）的结论猜出即可 解答：（1）解： BAC=90 ， AB=AC ，
19、 B=C=（180 BAC ）=45， ADC= B+BAD=45 +30=75， DAC= BAC BAD=90 30=60， AD=AE ， ADE= AED= （180 DAC ）=60， EDC= ADC ADE=75 60=15， 答： EDC的度数是15 （2）解：与（ 1）类似： B=C=（180 BAC ）=90， ADC= B+BAD=90 +30=120， DAC= BAC BAD=30， ADE= AED= （180 DAC ）=105， EDC= ADC ADE= （120）（ 105）=15， 答： EDC的度数是15 （3）EDC与BAD的数量关系是 EDC= BA
20、D 点评：本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目 比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律 13如图所示，在 ABC 中， AB=AC ，DE是 AB的垂直平分线， BCE 的周长为 24cm，且 BC=10cm ，求 AB的 长 11 考点 ： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质1184454 专题 ： 计算题 分析：关键已知能求出BE+CE的值，关键线段垂直平分线求出AE=BE ，求出 AC即可 解答：解：由已知得，BC+BE+CE=24 ， BC=10 ， BE+CE=14 ， DE垂直平分AB ， AE=BE ， A
21、E+CE=1 4， 即 AC=14 ， AB=AC ， AB=14 点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是根据题意求出BE=AE和求 出 AC的长，通过做此题培养了学生运用线段的垂直平分线定理进行推理的能力，题目较好，难度适中 14如图，在等腰 ABC 中， A=80 ，B和C 的平分线相交于点O （1）连接 OA ，求 OAC的度数； （2）求： BOC 考点 ：等腰三角形的性质1184454 分析：（1）连接 AO ，利用等腰三角形的对称性即可求得OAC的度数； （2）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求BOC与A的关系，再把A代入即可求 BOC 的度 数 解答：解：（ 1）连接 AO ， 在等腰 ABC中，B和C 的平分线相交于点O ， 等腰 ABC关于线段AO所在的直线对称， A=80 ， OAC=40 （2）BO 、 CO分别平分 ABC 和ACB ， OBC= ABC ，OCB= ACB ， BOC=180 （ OBC+ OCB ） =180（ABC+ ACB ） 12 =180（ABC+ ACB ） =180（180 A） =90+A 当 A=80 时， =130 点评：本题考查了等腰三角形的性质，也可以作辅助线，构造三角形的外角，利用三角形外角的性质求解