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1、方程与方程组 1.有四个关于 x的方程 x-2=-1 (x-2) (x-1)=-l(x-1) x=0 x-2 1 1 x =1 1 1 x 其中同解的两个方程是( ) (A) 与 (B) 与 (C) 与 (D) 与 解：A 2.关于 x的方程 2a (x+5)=3x+1 无解，则 a= 解：方程可以转化为(23)1010axa，则 a=1.5时，方程无解。 3.关于 x 的方程43mxxn，分别求m，n为何值时，原方程： （ 1）有唯一解。（ 2） 有无数多解。（3）无解 解：方程可以转化为 4 3 n x m ；则3,mn为任意值时，方程有唯一解； 当3,4mn时，方程有无数解；当3,4mn
2、时，无解。 4.a 为何值时，方程 3 x a= 2 x 6 1 （x12）有无数多个解 ?无解? 解 ：化简原方程，运用方程ax=b 各种解的情况所应满足的条件建立a 的关系式 2,a无数解；2a，无解 5.已知关于x的方程332 (1)xa x无解，试求a的值。 解：原方程可化为，(23)32axa，要使之无解， 则必有(23)0, 320aa， 解得， a=3/2 6.已知关于x 的方程3 (2)(21)5a xbx有无数多个解，求a与b的值。 解：a=5/6；b=7/4。 7.已知关于x 的方程 m(x1)=2001 n(x 2) 有无穷多个解， 那么 m2003n 2003 =_ 解
3、 ：0 8.已知关于x 的方程2 (1)(5)3a xa xb有无数多解，试求a，b 的值。 解：移项合并得(35)32axba，由于原方程有无数多解，则必有3a-5=0；3b+2a=0； 得 a=5/3；b=-10/9 9.关于 x、y的两个方程组 72 22 yx byax 和 113 953 yx byax 有相同的解，则 a= ，b= 解：由 x， y 同时满足两个方程组，即可由 311 27 xy xy 得到4,1xy。将其代入 22 359 axby axby 得到 422 1259 ab ab ，解之得到2,3ab。 10. 已知关于 x， y的二元一次方程(a-1) x+(a+
4、2) y+5-2a=0 ， 当a每取一个值时就有一个方程， 而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立 吗？ 解 ：分析 1：将已知方程按a整理得 (x+y-2)a=x-2y-5 ，要使这些方程有一个公共解，说明这 个解与 a的取值无关，所以只须a的系数 x+y-2=0 即可。 解法 1：将方程按 a整理得： (x+y-2)a=x-2y-5 ， 这个关于 a的方程有无穷多个解，所以有 1 3 052 02 y x yx yx ，解得 由于 x、y的值与 a的取值无关，所以对于任何的a值，方程组有公共解 1 3 y x 分析 2：分别取 a=1和- 2得方程 3
5、y+3=0和- 3x+9=0，因 a取不同的值，所得方程有一个公 共解，所以这个公共解就是方程组 093 033 x y 的解。 解法 2：令 a=1，得： 3y+3=0 令a= - 2，得： - 3x+9=0 解方程组 093 033 x y 得 1 3 y x ，则 1 3 y x 就是所求的公共解。 将x=3，y= -1代入 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0 得： 3 (a-1) - (a+2) +5-2a=0 整理得 0?a=0，说明无论 a取什么值，方程总是成立。 评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a的形式，通过解与a无关，得出 关于 x、y的方程组， 从而
6、求出公共解。第二种是先探求公共解，再证明这个解与 a无关。这两种解法的思路正好相反。 11. 关于 x，y 的方程()()0mn xnm ymn，当 m，n 每取一对值时，就有一个 方程，而所有这些方程有一组公共解，试求出这一组公共解。 解：法一，原方程化简为，(1)(1)0m xyn xy，有 x-y+1=0 ，x+y+1=0 ；解得 x=-1， y=0。 法二，特殊值代入。 12. 求方程 123x+57y=531 的全部正整数解 解 ：方程两边同除以3得： 41x+19y=177 所以 19 36 29 19 41177x x x y x、y是整数， 19 36x 也是整数，取 x=2得
7、 y=5 方程 123x+57y=531 的整数解为： )(k 415 192 为任意整数 ky kx 由 0 41 5 k 19 2 - 0415 0192 k k k 即得： 因此方程 123x+57y=531只有一组整数解 5 2 y x 评注： 本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出整数解，这是求不 定方程整数解的一般步骤。 13. 求不定方程 4x+y=3xy 的一切整数解 解 ：由原方程得： 43 4 1 43 3 3 43yy y x y y x，则 x是整数， 3y-4= 1， 2， 4，由此得 y= 0 3 2 1 3 8 2 3 5 ， 取整数解 y=2，1
8、， 0，对应的 x=1， -1，0 所以方程的整数解为 0 0 1 1 2 1 y x y x y x ， 评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。 14. （五羊杯）已知关于x 的方程9x3kx14有整数解，那么满足条件的所有整数 k=_. 解：由9x3kx14得到 17 9 x k ，则91,17, 1, 17k；即8, 8,10,26k。 15. 若 k 为整数，则使得方程 (k 1999)x=2001-2000x的解也是整数的k 值有 _个 (第 13 届“希望杯”邀请赛试题) 解：16 16. 已 知 关 于x的 方 程(3)81ab xb仅 有 正 整 数 解 ， 并 且 和
9、 关 于x的 方 程 (3)81ba xa是同解方程。若 22 0,0aab，请求出这个方程可能的解。 解：将两个方程组联立求解，得 1 4 2 x a 。正整数解为1，2， 3。 17. 某一次考试共需做20个小题，做对一个小题得8分，做错一个扣5分，不做的得 0分，某 学生共得 13分，问这个学生没做的题有多少个? (湖北省荆州市竞赛题) 解 ：7 18. （第 58 届，莫斯科数学奥林匹克）某人花了一枚硬币买了一块面包和一瓶克瓦斯（饮 料） 。当物价上涨20%后，这枚硬币只够买半块面包和一瓶克瓦斯，试问： 如果物价再上 涨 20%，那么，这枚硬币够不够光买一瓶克瓦斯？ 解：设一块面包和一
10、瓶克瓦斯各x，y 元； 根据已知条件列方程得到， 1 1 1.21.21 2 xy xy ；解之得到 12 , 33 xy。物价再上涨20%，则一瓶克瓦斯的价格为 22.88 1.21.21.441 33 y，这枚硬币够光买一瓶克瓦斯。 19. 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得 61分。问：小鸡至 少被套中几次？(第四届华杯赛初赛试题) 分析：设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。 解 ：设套中小鸡x次，套中小猴 y次，套中小狗 z次,根据题意得 10 61259 z
11、yx zyx 我们求这个方程组的正整数解。 消去 z得： 7x+3y=41 ，于是 3 741x y 则x 7 41 ，从而 x的值只能是 1，2，3，4，5 3 2 213 3 741x x x y 由于 y是整数，所以2-x必须是 3的倍数， x=2，5 当x=2时， y=9，z= -1不是正整数；当x=5时， y=2，z= 3是本题的解。 答：小鸡至少被套中5次。 20. （第 15 届，迎春杯训练题）甲、乙二人骑车在400 米环形跑道上进行万米比赛。同时 出发后，乙速大于甲速，在第15 分钟时甲加快速度，在第18 分钟时甲追上乙并开始超 过乙，在第23 分钟时，甲再次追上乙，而在第23 分 50 秒时，甲到达终点，那么乙到达 终点时所用的时间是_分钟。 解：设甲速为a，乙速为b，第 15 分钟甲速提高了x，则有方程组 (1815)()15() (2318)()400 5 15(2315)()10000 6 axbba axb aax ， 解 得a=384 ， b=400 ， 所 以 乙 到 终 点 的 时 间 为 10000/400=25 分钟