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1、初三几何教案 第七章：圆 第 34课时：正多边形的有关计算(一) 教学目的： 1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有 关的计算问题转化为解直角三角形的问题 2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力； 3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力； 教学重点： 化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用 教学难点： 正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用 几何知识准确计算 教学过程： 一、新课引入： 前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的 有关计算 大家知道正多
2、边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形 计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的 课题 二、新课讲解： 哪位同学回答，什么叫正多边形( 安排中下生回答：各边相等，各角相等的 多边形 ) 什么是正多形的边心距、半径？( 安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫 做边心距正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径) 正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角 都相等 ) 什么叫正多边形的中心角？( 安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形 外接圆的圆心角) 正 n 边形的中心角度数如何计算？( 安排中下生回答：中心角的度数 正
3、 n 边形的一个外角度数如何计算？( 安排中下生回答：一个外角度 哪位同学有所发现？( 安排举手学生： 正 n 边形的中心角度数=正 n 边形的一个 外角度数 ) 哪位同学记得n 边形的内角和公式？( 请回忆起来的学生回答) 哪位同学能根据n 边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n 边形一个内角 度数的公式？( 安排中下生回答：正n 边形每个内角度数 正 n 边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？( 安排中下生回答： 互补 ) 根据正 n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n 边形每个外 角度数公式，正n 边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中 ( 幻灯展示练习题，学生
4、思考，回答) 1正五边形的中心角度数是_；每个内角的度数是_； 2一个正n 边形的一个外角度数是360，则它的边数n=_，每个内角 度数是 _； 3一个正n 边形的一个内角的度数是140，则它的边数n=_，中心角 度数是 _ 对于前 2 题安排中下生回答，对于第3 题不仅要回答题目的答案而且要求回答 思路 解此方程n=9 幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形如图7-138 ，让学生边观 察、边回答老师依次提出的问题、边思考 1观察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？( 安排 中下生回答：等腰三角形) 2观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？( 安排中等生回
5、答： 全等，依据 (SSS)或(S AS) 3将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说 说自己的想法( 安排中上生回答： 正 n 边形的 n 条半径分正n 边形为 n 个全等的等腰 三角形 ) 套上幻灯片的复合片：作出各等腰三角形底边上的高，如图7-139 ，安排学生 观察、思考并回答以下问题： 1这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形， 这两个直角三角形全等吗？为什么？( 安排中下生回答) 2这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？(安排中下生回答：边心 距) 3正 n 边形的 n 条半径、 n 条边心距将正n 边形分割成全等直角三角形的个
6、数 是多少？ ( 安排中等生回答：2n 个) 给出定理： 正 n 边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形 再套幻灯片的复合片，如图7-140 ，安排学生观察每个直角三角形都由正多边 形的哪些元素组成 安排中下生回答：直角三角形的斜边是正多边形的半径R、一条直角边是正多 边形的边心距 另一直角边是正多边形边长的一半( 在此安排中等生回答：为什么？ ) 半径与边心距的夹角是正多边形一个中心角的一半( 安排中等生回答 “为什么？” ) 讲解：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有 关半径、边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决 幻灯给出
7、正多边形抽象的计算图7-141 ，教师讲解： 由于正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要 画出这个直角三角形就可以了，其余就不画或略画图中R表示半径， rn表示正 n 边形的边心距，an表示正 n 边形的边长，an表示正 n 边形的中心角 提问：对于给定具体边数的正n 边形，你首先可以求出直角三角形 ( 教师讲解 ) ：直角三角形中一锐角已知，所以只要再给直角三角形的R、rn、 an其中一项赋值就可求出其它元素例如：(幻灯展示题目) 例 1 已知：如图7-142，正 ABC的边心距r3=2 求： R、a3 问：要解此题，首先要做什么？( 找中等生回答：画出基本计算图)
8、 最后要做什么工作：( 找中上生回答：选择三角函数) 解： n=3 又 完成下列各题：( 幻灯展示题目) 1已知，正方形ABCD 的边长 a4=2 求： R，r4 2已知：正六边形ABCDEF 的半径 R=2， 求： r6，a6 ( 对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，教师重点辅导需要 帮助的学生 ) 再回到例1，问：你会求这个正三角形的周长P3吗？怎么求？为什么这样求？ ( 安排中等生回答：边长3，因为正三角形三边相等) 再问：你会求这个正三角形的面积S3吗？怎么求？为什么这样求？( 安排中等 生回答：直角AOC的面积 6，由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2 倍 或者，
9、等腰 AOB 的面积 3， 由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同) 请同学们分别计算上述二题的周长和面积( 计算快而准的学生让其自拟题目再 练习 ) ( 幻灯给出例2) ： 已知正六边形ABCDEF 的半径为R， 求这个正六边形的边长a6、 周长 P6和面积 S6 ( 提问 )：1首先要作什么？( 安排中下生回答：画基本计算图)2 然 么？ ( 安排中下生回答：选择三角函数) P6=9R 通过上面计算，你得出正六边形的半径与边长有什么数量关系？( 安排中下生 回答：相等 ) 希望大家记住这个结论：a6=R，因为它不仅有利于计算而且是尺规画正 六边形的依据 三、课堂小结： 哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？( 安排中等生归纳) 1化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，2运用正多 角计算 四、布置作业 教材 P.163 中 1、2；P.165 中 2 学有余力者布置下题：已知正n 边形的半径为R，求 an、Pn、rn、Sn