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1、专题 14 共顶点模型 破解策略 1等边 三角形共顶点 等边ABC与等边DCE，B、C、E三点共线 H G F E D C B A 连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则： （1）BCDACE； （2）AEBD； （3）AFBDFE 60； （4）FC平分BFE； （5）BFAFFC，EFDFFC； （6）CGH为等边三角形 证明（1）由已知条件可得 CACB ACEBCD ECDC ，则BCDACE （2）由（ 1）得AEBD； （3）由（ 1）得GAFGBC，而AGFBGC，所以DFEAFBACB60 （4） 方法一如图 1，过点C分别作BD、AE的
2、垂线，垂足分别为M、N 由（ 1）知SACESBCD，即 1 2 BDCM 1 2 AECN，所以CMCN，故FC平分BFE 图1 M N A B C D E F 方法二由CAFCBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以BFCBAC60 同理可得CFECDE60所以FC平分BFE （5）如图 2，作FCI60，交BD于点I，则CFI为等边三角形 易证BCIACF，所以BIAF，IFCIFC 从而BFBIIFAFCF同理可得EFDFFC 图1 M N A BC D E F （6）易证ACHBCG（ASA） 可得CGCH，而GCH 60，所以CGH为等边三角形 2等腰直角三角形共顶点 等腰 RtAB
3、C与等腰 RtDCE中，ACBDCE90 图1 A B C D E F J I 图2 A B C D E G H 如图 1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则： （1）BCDACE； （2）AEBD； （3）AEBD； （4）FC平分BFE； （5）AB 2 DE 2 AD 2 BE 2 （6）BFAF2FC，EFDF2FC； （7）如图 2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GCAD、ICBE（反之亦然）； （8）SACDSBCE 证明（ 1） （2） （3） （4）证明见“等边三角形共顶点”； （5）因为AEBD，由勾股定理可得AB 2 DE 2（ AF 2 BF 2）（ D
4、F 2 EF 2） ， AD 2 BE 2（ AF 2 DF 2）（ BF 2 EF 2） 所以AB 2 DE 2AD2 BE 2 （6）如图 3，过点C作CKFC，交BD于点K，则CFK为等腰直角三角形 易证BCKACF，所以BKAF从而BFBKKFAF2FC， 同理可得EFDF2FC K 图 3 A B C D E F （7）如图4，延长GC，交AD延长线于点H，延长CG至点K，使得GKGC，连结BK 易证KBGCEG，BKECCD 由题意可得ACDBCECBECEBBCE180， 所以ACDCBECEBCBGGBKCBK 可得ACDCBK（SAS） 则CADBCK， 所以ACHCAHAC
5、HBCK90，故GCAD K G H 图4 E D C B A 如图 5，CJBE，延长JC交AD于点T，分别过点A，D作IJ的垂线，垂足分别为M、N由已知可得 AMCCJB；DNCCJE， 所以AMDNCJ，故有AMIDNI，所以AIDI，即可证 J I N M A B C D E 图5 （8）在（ 7）中的证明过程中可得到SACDSBCE；也可以用下面的方法来证明 如图 6，过点D作DPAC于点P，过点E作EQBC，交BC延长线于点Q 易 证DPCEQC（AAS） 所以DPEQ，故 1 2 DPAC 1 2 EQBC，即SACDS BCE Q P 图6 E D C B A 3等腰三角形共顶
6、点 等腰ACB与等腰DCE中，ACBC，DCCE，且ACBDCE F E D CB A 连结BD，AE交于点F，则： （1）BCDACE； （2）AEBD； （3）AFBACB； （4）FC平分BFE 4相似三角形共顶点 ACB与ECD中， ACBC ECDC ， ACBECD G A B C D E F 连结BD，AE交于点F，则： （1）BCDACE； （2）AFBACB 证明 （1）由已知可得 BCAC DCEC BCDACE 所以ACEBCD （2）由（ 1）可得CAFCBF 设AC与BD的交点为G，则AGFBGC， 所以AFBACB 例题讲解 例 1 如图 1，在ABC中，BC4，以
7、线段AB为边作ABD，使得ADBD，连结DC，再以DC为边作 CDE，使得DCDE，CDEADB （1）如图 2，当CDE45且90时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系； （2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连结BF，AF 若90，依题意补全图3，求线段AF的长； 请直接写出线段AF的长（用含的式子表示） 解（1）ADDE4 （2）如图 4，连结AE交BC于点G，设DE与BC的交点为H 由“等腰直角三角形共顶点”可得 ADEBDC（SAS） 所以AEBC，EGCEDC90 因为线段CB沿着射线CE的方向平移， 得到线段EF 所以AEBCFE4，AEEF 所以AF2EF2
8、4 AF8sin 2 如图 5，连结AE交BC于点G 由“等腰直角三角形共顶点”可得FEBCAE AEFEGCEDC 过点E作EHAF于点H 则AEH 2 1 AEF 2 1 所以AF2AH2AEsin 2 8sin 2 例 2 如图 1，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，将ADE绕A点顺 时旋转一定角度，连结BD，CE，得到图2，然后将BD，CE分别延长至M、N，使DM 2 1 BD， EN 2 1 CE，连结AM，AN，MN，得到图 3 （1）若ABAC，请探究下列数量关系; 在图 2 中，BD与CE的数量关系是； 在图 3 中，猜想AM与AN的数量关系，MAN与BAC
9、的数量关系，丙证明你的猜 想： （2）若ABkAC（K1） ，按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM与AN的数 量关系；MAN与BAC的数量 关系 解（1）BDCE AMAN，MANBAC 证明如下： 由“等腰三角形共顶点”可得CAEBAD（SAS） 所以CEBD，ACNABM 所以BMCN 从而ABMACN（SAS） 所以AMAN，BAMCAN 即MANBAC （2）AMkAN，MANBAC 证明如下： 由“相似三角形共顶点”可得CAEBAD， 所以k AC AB CE BD ，ACNABM 所以 k AC AB CN BM 从而ABMACN 所以AMkAN，BAMCAN 即MANBAC
10、 进阶训练 1 在平行四边形ABCD中，ADBC，过点D作DEDF，且EDFABD，连结EF，EC， N、P分别为EC，BC的中点，连接诶NP （1）如图 1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探索线段NP与MN的数量关系及 ABD与MNP满足的等量关系； （2）如图 2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时， 你在（1）中得到的结论仍然成立？ 写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论 解 （1）NPNM，ABDMNP 180 （2）M是线段EF的中点 【提示】 （1）证DPBC，DCEF，根据直角三角形斜边中线定理可得NPNM 2 1 CE，ABD MNP2PDC2DCP180；或者
11、连结BE，CF（如图），由“等腰三角形共顶点”可 证得结论 （2）如图，连结BE，CF，取EF中点G 连结NG，由“等腰三角形共顶点”和中位线定理， 即可得到点M与点G重合时（ 1）中结论仍成立 2 如图 1，在ABC中，ACB 90，ACBC，EAC90，点M为射线AE上任意 一点（不与点A重合） ，连结CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直 线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D 2如图 1，在ABC中，ACB90，ACBC，EAC90，点M为射线AE上任意一点 （不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB 分别交直线CM、射线
12、AE于点F、D （1）直接写出NDE的度数； （2）如图 2、图 3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（ 1）中的结论是否发生变化？ 如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由； （3）如图 4，若EAC15，ACM60，直线CM与AB交于G，BD 62 2 ，其他 条件不变，求线段AM的长 解： （1）NDE90； （2） （1）中结论不变，证明略； （3） 6 【提示】 （ 2）由“共顶点模型”可得ACMBCN，所以BNCAMC ，从而得到MDN MCN90 （3）由题意可得，BAE30，AMG AGM75，而又（ 1）可得NDE90，所 以AB2BD62 如图，过点G
13、作GHBC于点H，则CH3GH3BH，从而AG 3BG，所以AG 3 3 AG62 ，解得AMAG6 H G F D N B AC E M 3 如图， ABC与DEF都是等腰三角形，AB，EF的中点均为O， 且顶角ACBEDF ，直线BF，CD交于点G，连结AG现将图中DEF绕点O旋转，请你确定AG取 最小值和最大值时点G的位置 E G F O B C A D 答案：以BC为直径作H，直线交于点G1，G2，则G1为AG取最小值时点G的位置，G2 为AG取最大值时点G的位置 G2 G1 H E G F O B C A D 【提示】如图， 连结CO，DO， 构建两个相似的“直角三角形共顶点”，从而得到BGC BOC90，从而点G在以BC为直 径的圆上 E G F O B C A D