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1、专题 18 卫星的追及相遇问题 【专题概述】 天体运动一直是高考物理的重要考点之一。在天体运动类问题中，追及和相遇问题是重点和难点，在 最近几年的高考试题中常常出现。由于直线的追及和相遇问题本身就是一个难点，且天体运动中的追及和 相遇问题又不同于直线运动中的追及和相遇问题，学生处理起来往往会觉得比较困难。 两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星 在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问 题。 找同一中心天体运动的运行天体，由于 3 = GM r ，所以在同一轨道在不可能发生相遇，只有在不同轨
2、道上的运行天体才能发生追赶现象，相遇时是指运行天体相距最近的现象。例如： 两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为 a，b 卫星的角速度为b， 若某时刻两卫星正好同时通过地球同一点正上方，相距最近（如图甲所示） ， 当它们转过的角度之差， 即满足 ab tt时，两卫星第一次相距最远， 当它们转过的角度之差 2 ， 即满足2 ab tt时，两卫星第一次相距最近（如图乙所示） ， 两卫星相距最近的条件： 2(1 2 3 ab ttnn、） 两卫星相距最远的条件：2 +1(1 2 3 ab ttnn（）、） 【典例精讲】 追及问题 典例 1 如图所示 ,有 A、 B两颗行
3、星绕同一颗恒星M做圆周运动 , 旋转方向相同 ,A 行星的周期为,B 行 星周期为, 在某一时刻两行星相距最近, 则: (1) 何时两行星再次相距最近 (2) 何时两行星相距最远. 【答案】 (1) 经两行星再次相距最近 (2)经两行星相距最远 度, 即有 : 所以可得 : (2) 同理当两颗卫星经过时间两卫星相距最远时,A 卫星比 B卫星多转过弧度 ,即有 : 所以可得 : 名师点睛 : 两行星相距最近时, 两行星应该在同一半径方向上; 两行星相距最远时, 两行星应该在同一直径上;因为 A的轨道半径小 , 所以 A的角速度大 ,即 A转得较快 ; 当 A比 B多转一圈时两行星再次相距最近;
4、当 A比 B多转 半圈时两行星相距最远. 相遇问题 典例 2 设地球的质量为M ，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船，由静止开始自P 点在恒力F的 作用下，沿PD方向做匀加速直线运动. 若一年后飞船在D 点掠过地球上空，且再过两个月又在Q处掠过地 球上空，如图所示，根据以上条件，求地球与太阳间的万有引力的大小. （忽略飞船受地球和太阳的万有引 力作用的影响） 【答案】 2 13 18m FM 典例 4 （ 1）开普勒从1609 年 1619 年发表了著名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律为：所有 的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上第三定律：所有行星
5、 的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等实践证明，开普勒三定律也适用于其他中 心天体的卫星运动 （2）从地球表面向火星发射火星探测器设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道 半径为地球轨道半径的 15 倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地 球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的 人造行星第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速， 使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个 椭圆轨道正好射到火星上当
6、探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3 月 1 日零时测得探 测器与火星之间的角距离为60，如图所示，问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测 器恰好落在火星表面?( 时间计算仅需精确到日) ， 已知地球半径为：； 【答案】 4 月 7 日 【解析】 ( 题中信息：“从地面向火星发射火星探测器的两个步骤”，表明：为使探测器落到火星上，必须 椭圆轨道上运行周期： 因此，探测器从点火到到达火星所需时间： 火星公转周期： 火星绕太阳转动的角速度： 由于探测器运行至火星需255 天，在此期间火星绕太阳运行的角度： 即：探测器在椭圆轨道近日点点火时，火星在远日点的切点之前 【提升
7、总结】 在处理此类天体的追及和相遇的问题时，常用到的规律： 两卫星相距最近的条件： 2(1 2 3 ab ttnn、） 两卫星相距最远的条件： 2 +1(1 2 3 ab ttnn（）、） 也可以从周期的角度来理解： 当两天体相距最远是经历的时间符合 12 1 +(1 2 3 2 tt NN TT （）、） 当两天体相距最近是经历的时间符合 12 (1 2 3 tt N N TT 、） 天体中的追击与相遇问题，还是要联系到实际情况，既然是天体的运动，那么就离不开万有引力，也 要了解天体绕中心天体运动时的一些规律 【专练提升】 1. 开普勒从1609 年 1619 年发表了著名的开普勒行星运动三
8、定律第一定律：所有的行星分别在大 小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上；第二定律：太阳和行星的连线在相等 的时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相 等实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动如果人造地球卫星沿半径为r 的圆轨道绕地 球运动，当开启制动发动机后，卫星转移到与地球相切的椭圆形轨道，如图所示问在这之后，卫星多长 时间着陆？空气阻力不计，地球半径为R，地球表面重力加速度为g 【答案】 2 . 某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆. 每过 N年, 该行星会运行到日地连线的延长线上,如图 所示 . 该行星与
9、地球的公转半径之比为 【答案】 名师点睛 : 由图可以知道行星的轨道半径大, 那么由开普勒第三定律知其周期长, 其绕太阳转的慢. 每过N 年,该行 星会运行到日地连线的延长线上, 说明 N年地球比行星多转1 圈, 即行星转了圈, 从而再次在日地连 线的延长线上, 那么 , 可以求出行星的周期是年, 接着再由开普勒第三定律求解该行星与地球的公转 半径比 . 3. 如图所示 . 地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动. 地球的轨道半径为R,运转 周期为T. 地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角( 简称视角 ). 已 知该行星的最大视角为, 当行星处于
10、最大视角处时, 是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期. 若 某时刻该行星正处于最佳观察期, 问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间? 【答案】 【解析】根据题意可得行星的轨道半径 设行星绕太阳的转动周期为T 由开普勒第三定律有: 名师点睛 : 根据题意知道当行星处于最大视角处时, 地球和行星的连线应与行星轨道相切, 运用几何关系求解问 题. 地球与某行星围绕太阳做匀速圆周运动, 根据开普勒第三定律及角速度公式列出等式, 表示出周期 , 然 后去进行求解. 向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或要求解的物理量选取应用. 4. 地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动
11、. 地球的轨道半径为 , 运转周期为. 地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角 叫地球对该行星的观察视角( 简称视角 ), 如图甲或图乙所示. 当行星处于最大视角处时, 是地球上的天文爱 好者观察该行星的最佳时期. 已知某行星的最大视角为. 求该行星的轨道半径和运转周 期.最终计算结果保留两位有效数字) 【答案】 名师点睛 : 根据题意知道当行星处于最大视角处时, 地球和行星的连线应与行星轨道相切, 运用几何关系求解问题. 地球与某行星围绕太阳做匀速圆周运动, 根据万有引力提供向心力列出等式, 表示出周期 , 然后去进行求解. 向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或要求解的物理量选取应用.