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1、普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1已知集合， 则 ABCD 2 ABCD 3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小 长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视 图可以是 4若， 则 ABCD 5的展开式中的系数为 A10B20C40D80 6直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值 范围是 ABCD 7函数的图像大致为 |10Ax x012B， ，ABI 01
2、12，012， ， 1i2i 3i3i3i3i 1 sin 3 cos2 8 9 7 9 7 9 8 9 5 22 x x 4 x 20xy x yABP 2 2 22xyABP 26，48，23 2，2 23 2， 42 2yxx 8某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为， 各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10 位成员 中使用移动支付的人数， 则 A0.7B0.6C0.4D0.3 9的内角的对边分别为， 若的面积为， 则 ABCD 10设是同一个半径为4 的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为， 则三棱锥 体积的最大值为 ABCD 11设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点过作的一
3、条渐近线 的垂线，垂足为若， 则的离心率为 AB2CD 12设， 则 AB CD 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 pX 2.4DX46P XP Xp ABCABC，abcABC 222 4 abc C 2 3 4 6 ABCD，ABC93 DABC 12 318 324 354 3 12FF， 22 22 1 xy C ab ：00ab，O2FC P 1 6PFOPC 532 0.2 log0.3a 2 log 0.3b 0abab0abab 0abab0abab 13已知向量，若， 则_ 14曲线在点处的切线的斜率为， 则_ 15函数在的零点个数为 _ 16 已知
4、点和抛物线， 过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若， 则_ 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （ 12 分） 等比数列中， （1）求的通项公式； （2）记为的前项和若， 求 18 （ 12 分） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较 两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人 。第一组工人用第一种 生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任
5、务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎 叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数， 并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工 人数填入下面的列联表： 超过不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（ 2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：， = 1,2a= 2, 2b= 1,c2ca+ b 1 e x yax01， 2 a cos 3 6 fxx0， 1 1M， 2 4Cyx：CkC AB90AMB k n a 153 14aaa， n a n S n an63 m Sm m
6、mm mm 2 2 n adbc K abcdacbd 2 P Kk0.0500.0100.001 19 （ 12 分） 如图，边长为 2 的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点 （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值 20 （ 12 分） 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为 （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列， 并求该数列的公差 21 （ 12 分） 已知函数 （1）若， 证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做
7、，则按所做的第一题 计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） k3.8416.63510.828 ABCD ? CDM ? CDCD AMD BMC MABCMABMCD kl 22 1 43 xy C：ABAB10Mmm， 1 2 k FCPCFPFAFB0 uuu ruu u ruu u r FA uu u r FP uuu r FB uuu r 2 2ln 12fxxaxxx 0a10x0f x0x0f x 0xfxa 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）， 过点且倾斜角为 的直线与交于两点 （1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程 23选修 45：不等式选讲
8、（10 分） 设函数 （1）画出的图像； （2）当， 求的最小值 参考答案： 123456789101112 CDABCADBCBCB 13.14.15.16.2 17.(12 分) 解： （1）设的公比为， 由题设得. 由已知得， 解得（舍去），或. 故或. （2）若， 则.由得， 此方程没有正整数解. 若， 则.由得， 解得. 综上，. 18.（12 分） 解： （1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用 第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟 .因此
9、第二种生产方式的效率更 高. （ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 分钟，用第二种生产 方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 分钟 .因此第二种生产方式的效率更高. xOyO cos sin x y ， 02， lOAB， ABP 211f xxx yfx 0x，fxaxbab 1 2 33 n aq 1n n aq 42 4qq0q2q2q 1 ( 2) n na 1 2 n na 1 ( 2) n n a 1( 2) 3 n n S63 m S( 2)188 m 1 2 n n a21 n n S63 m S264 m 6m 6m
10、 （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产方式 的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎 8 大致 呈对称分布； 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分 布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成 生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4 种
11、理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 超过不超过 第一种生产方式15 5 第二种生产方式5 15 （3）由于， 所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.（12 分） 解： （1）由题设知 ,平面 CMD 平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所以 BC平面 CMD ,故 BC DM. 因为 M 为上异于 C， D 的点 ,且 DC 为直径，所以DMCM. 又 BCCM=C,所以 DM 平面 BMC. 而 DM平面 AMD ,故平面 AMD 平面 BMC. （2）以 D 为坐标原点 ,的方向为x 轴正方
12、向 ,建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz. 当三棱锥M- ABC 体积最大时，M 为的中点 . 由题设得， 设是平面 MAB 的法向量 ,则 即 7981 80 2 m mm 2 240(15 155 5) 106.635 20202020 K ? CD I DA uuu r ? CD (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)DABCM ( 2,1,1),(0, 2,0),(2,0,0)AMABDA uu uu ruuu ru uu r ( , , )x y zn 0, 0. AM AB uu uu r uu u r n n 20, 20. xyz
13、y 可取. 是平面 MCD 的法向量 ,因此 ， ， 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是. 20.（12 分） 解： （1）设， 则. 两式相减，并由得 . 由题设知， 于是 . 由题设得， 故. （2）由题意得， 设， 则 . 由（ 1）及题设得. 又点 P 在 C 上，所以， 从而，. 于是 . (1,0,2)n DA uuu r 5 cos, 5| DA DA DA uu u r uuu r uuu r n n n 2 5 sin, 5 DA u uu r n 2 5 5 1221 (,),(,)AyxyxB 2222 1212 1,1 4343 yxyx 1 2 2 1
14、 y x y k x 1122 0 43 yxy k x 1212 1, 22 xyxy m 3 4 k m 3 0 2 m 1 2 k (1,0)F33(,)P xy 331122 (1,)(1,)(1,)(0,0)yxxyxy 332121 3()1,()20yyxxyxm 3 4 m 3 (1,) 2 P 3 | 2 FP u uu r 2 222 1 11 11 |(1)(1)3(1)2 42 xx FAxxy uu u r 同理. 所以. 故， 即成等差数列 . 设该数列的公差为d， 则 . 将代入得. 所以 l 的方程为， 代入 C 的方程，并整理得. 故， 代入解得. 所以该数列
15、的公差为或. 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 【解析】（1）的直角坐标方程为 当时，与交于两点 当时， 记， 则的方程为 与交于两点当且仅当， 解得 或， 即或 综上，的取值范围是 （2）的参数方程为为参数， 设，对应的参数分别为， 则， 且，满足 于是，又点的坐标满足 2 | 2 2 x FB u uu r 12 1 | 4()3 2 FAFBxx u uu ruuu r 2 | |FPFAFB u uu ruu u ru uu r |,|,|FAFPFB u uu ruuu ruuu r 112 2 212 11 2| |()4 22 FBFAxxxxx xd u uu ru
16、 uu r 3 4 m1k 7 4 yx 2 1 7140 4 xx 1212 1 2, 28 xxx x 3 21 | 28 d 3 21 28 3 21 28 Oe 22 1xy 2 l Oe 2 tankl2ykxlOe 2 2 | 1 1k 1k1k(,) 4 2 (,) 24 (,) 44 l cos, ( 2sin xt t yt44 ) ABPA t B t P t 2 AB P tt tAtBt 2 2 2 sin10tt 2 2sin AB tt2sin P tP ( , )x y cos, 2sin. P P xt yt 所以点的轨迹的参数方程是为参数， 23选修 45：不
17、等式选讲（10 分） 【解析】（1）的图像如图所示 （2）由（ 1）知，的图像与轴交点的纵坐标为， 且各部分所在直线斜率的最大值为， 故当且仅 当且时，在成立，因此的最小值为 21.(12 分) 解： （1）当时，. 设函数， 则. 当时，；当时，.故当时， 且仅当 时， 从而， 且仅当时，. 所以在单调递增 . P 2 sin 2 , 2 22 cos2 22 x y ( 44 ) 1 3 , 2 1 ( )2,1, 2 3 ,1. x x f xxx x x ( )yf x ( )yf xy 23 3a2b ( )f xaxb0,) ab5 0a( )(2)ln(1)2f xxxx( )l
18、n(1) 1 x fxx x ( )( )ln(1) 1 x g xfxx x 2 ( ) (1) x g x x 10x( )0g x0x( )0g x1x( )(0)0g xg0x ( )0g x( )0fx0x( )0fx ( )f x( 1,) 又， 故当时，；当时，. （2） （i）若， 由 （1） 知， 当时， 这与是 的极大值点矛盾. （ii ）若， 设函数. 由于当时， 故与符号相同 . 又， 故是的极大值点当且仅当是的极大值点 . . 如果， 则当， 且时， 故不是的极大 值点 . 如果， 则存在根， 故当， 且时， ， 所以不是的极大值点 . 如 果，则 .则 当时 ，；
19、当时 ， .所以是的极大值点，从而是的极大值点 综上，. (0)0f10x( )0f x0x( )0f x 0a0x( )(2)ln(1)20(0)f xxxxf0x( )f x 0a 22 ( )2 ( )ln(1) 22 f xx h xx xaxxax 1 | min1, | | x a 2 20xax( )h x( )f x (0)(0)0hf0x( )f x0x( )h x 2222 2222 12(2)2 (12)(461) ( ) 1(2)(1)(2) xaxxaxxa xaxa h x xxaxxaxx 610a 61 0 4 a x a 1 | min1, | | x a ( )0h x0x( )h x 610a 22 4610a xaxa 1 0x 1 (,0)xx 1 | min1, | | x a ( )0h x0x( )h x 610a 3 22 (24) ( ) (1)(612) xx h x xxx ( 1,0)x( )0h x(0,1)x ( )0h x0x( )h x0x( )f x 1 6 a