全国高考数学卷文科卷1及解析.pdf

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1、试卷第 1 页， 总 5 页 全国高考数学卷文科卷1 一、选择题 1 已 知 集 合32,6,8,10,12,14Ax xnnNB, 则 集 合 ABI中的元素个数为( ) （ A） 5 （B）4 （C） 3 （D）2 2已知点(0,1),(3,2)AB, 向量( 4,3)AC uuu r , 则向量BC uuu r ( ) （ A）( 7,4)（B）(7, 4)（C）( 1,4)（D）(1,4) 3已知复数z满足(1)1zii, 则z（） （ A）2i（B ）2i（C）2i（D）2i 4如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长, 则称这 3 个数为 一组勾股数 , 从1,2,3,4

2、,5中任取 3 个不同的数 , 则这 3 个数构成一 组勾股数的概率为（） （ A） 3 10 （B） 1 5 （C） 1 10 （D） 1 20 5已知椭圆E 的中心为坐标原点, 离心率为 1 2 , E的右焦点与抛物 线 2 :8Cyx的焦点重合 , ,A B是 C 的准线与E 的两个交点 , 则 AB ( ) （ A）3（B）6（C）9（D）12 6 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题： “今有委米依垣内角, 下周八尺 , 高五尺 , 问：积及为米几 何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图, 米堆为一个圆锥的四分 之一） , 米堆底部的弧长为8 尺, 米堆的高

3、为5 尺, 米堆的体 积和堆放的米各为多少？”已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺 , 圆周率约 为 3, 估算出堆放的米有（） （A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛 7已知 n a是公差为1 的等差数列, n S为 n a的前n项和 , 若 84 4SS, 则 10 a（） （A） 17 2 （B） 19 2 （C）10（D）12 8函数( )cos()f xx的部分图像如图所示, 则( )f x的单调递减区 间为（） （A） 13 (,), 44 kkkZ （B） 13 (2,2), 44 kkkZ （C） 13 (,), 44 kkkZ 试卷第 2 页， 总 5 页 （ D

4、） 13 (2,2), 44 kkkZ 9执行右面的程序框图, 如果输入的0.01t, 则输出的n（） （ A）5（B）6（C）10（D）12 10 已知函数 1 2 22,1 ( ) log (1),1 x x f x xx , 且( )3f a, 则 (6)fa（） （ A） 7 4 （B） 5 4 （ C） 3 4 （D） 1 4 11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体, 该 几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示, 若该几何体的表面积为 1620, 则r( ) （ A）1（ B）2（C）4（D）8 12设函数( )yf x的图像与2 xa y的图像关于直线yx

5、对称 , 且 ( 2)( 4)1ff, 则a( ) （A）1（B）1（C）2（D）4 二、填空题 13数列 n a中 11 2,2, nnn aaa S为 n a的前n 项和 , 若126 n S, 则n . 14已知函数 3 1fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7, 则a . 15若 x,y 满足约束条件 20 210 220 xy xy xy , 则 z=3x+y 的最大值为 16已知F是双曲线 2 2 :1 8 y Cx的右焦点, P是 C 左支上一点, 0,66A , 当APF周长最小时 , 该三角形的面积为 三、解答题 17 （ 本 小 题 满 分12 分 ） 已 知,

6、,a b c分 别 是ABC内 角,A B C的 对 边 , 2 sin2sinsinBAC. （）若ab, 求cos ;B （）若90B o, 且2,a求ABC的面积 . 试卷第 3 页， 总 5 页 18 （本小题满分12 分）如图四边形ABCD为菱形 , G为 AC与 BD 交点 , BEABCD平面, （）证明：平面AEC平面BED； （）若120ABC o , ,AEEC三棱锥EACD的体积为 6 3 , 求该三棱锥的侧面积. 19（本小题满分12 分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费, 需 了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位： t ）和年利润z（单位：千 元）

7、的影响 , 对近 8 年的宣传费 i x和年销售量1,2,8 i y iL数据作了初 步处理 , 得到下面的散点图及一些统计量的值. x r y u r w u r 8 2 1 () i i xx 8 2 1 () i i ww 8 1 ()() ii i xxyy 8 1 ()( ii i wwy 46.656.36.8289.81.61469108.8 表中 i w= i x, w u r = 1 8 8 1 i i w （）根据散点图判断, yabx与ycdx, 哪一个适宜作 为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可, 不必说明 理由）； （）根据（）的判断结果及表中数

8、据, 建立 y 关于 x 的回归方程； （III） 已知这种产品的年利润z 与 x, y的关系为0.2zyx , 根 据（）的结果回答下列问题： （）当年宣传费90x时, 年销售量及年利润的预报值时多少？ （）当年宣传费 x为何值时 , 年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 11 (,)u v, 22 (,)uv, , (,) nn uv, 其回归线 vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 试卷第 4 页， 总 5 页 1 2 1 ()() = () n ii i n i i uu vv uu , =vu 20 （本小题满分12 分）已知过点1,0A且斜率为k 的直线l与圆C： 22 231

9、xy交于 M, N两点 . （）求k 的取值范围； （）12OM ON uuu u r u uu r , 其中 O为坐标原点 , 求MN. 21（本小题满分12 分）设函数 2 ln x fxeax. （）讨论fx的导函数fx的零点的个数；（）证明：当0a时 2 2lnfxaa a . 22（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲 如图 AB是直径 , AC是切线 , BC交与点 E. （）若D为 AC中点 , 求证： DE是切线； （）若3OACE , 求ACB的大小 . 23（本小题满分10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系xOy中 , 直 线 1: 2

10、Cx, 圆 22 2: 121Cxy, 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极 坐标系 . （）求 12 ,C C的极坐标方程 . （）若直线 3 C的极坐标方程为 R 4 , 设 23 ,CC的交点为 ,MN, 求 2 C MN的面积 . 24 （本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲 试卷第 5 页， 总 5 页 已知函数12,0fxxxa a . （）当1a时求不等式1fx 的解集；（）若fx图像与 x 轴围成的三角形面积大于6, 求 a 的取 值范围 . 答案第 1 页， 总 8 页 参考答案 1D 【解析】 试题分析：由条件知, 当n=2 时 , 3n+2=8, 当 n=4

11、时, 3n+2=14, 故 AB=8,14,故选 D. 考点：集合运算 2A 【解析】 试题分析：ABOBOA u uu ruuu ru uu r =（ 3,1 ）, BC uuu r ACAB uuu ruuu r =(-7,-4), 故选 A. 考点：向量运算 3C 【解析】 试 题 分 析 ： (1)1zii, z= 2 12(12 )() 2 iii i ii , 故选 C. 考点：复数运算 4C 【解析】 试题分析：从 1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取 3 个不同的数共有10 种不同的取法 , 其中的勾股数只有3,4,5, 故 3 个数构成一组勾股数的取法只有1 种, 故所

12、求概率为 1 10 , 故选 C. 考点：古典概型 5B 【解析】 试题分析：抛物线 2 :8Cyx的焦点为（ 2,0 ）, 准线方程为2x, 椭圆 E的右焦点为（2,0 ）, 椭 圆E 的 焦 点 在x轴 上 , 设 方 程 为 22 22 1(0) xy ab ab , c=2, 1 2 c e a , 4a, 222 12bac, 椭圆 E 方 程为 22 1 1612 xy , 将2x代入椭圆E的方程解得A （ -2,3 ） , B（-2, -3） , |AB|=6, 故选 B. 考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质 6B 【解析】 试题分析：设圆锥底面半径为r, 则 1 2 38 4

13、 r, 所以 16 3 r, 所以米堆的体积为 21116 3 ()5 433 = 320 9 , 故堆放的米约为 320 9 1.62 22, 故选 B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 7B 【解析】 试 题 分 析 ： 公 差1d, 84 4SS, 11 11 8874(443) 22 aa, 解 得 1 a= 1 2 , 101 119 99 22 aad, 故选 B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式 答案第 2 页， 总 8 页 8D 【解析】 试 题 分 析 ： 由 五 点 作 图 知 , 1 + 42 53 + 42 , 解 得=, = 4 , 所以( )cos() 4

14、 f xx, 令 22, 4 kxkkZ, 解 得 1 2 4 kx 3 2 4 k, kZ, 故单调减区间为（ 1 2 4 k, 3 2 4 k） , kZ, 故选 D. 考点：三角函数图像与性质 9C 【解析】 试题分析：执行第1次, t=0.01,S=1,n=0,m= 1 2 =0.5,S=S-m=0.5, 2 m m=0.25,n=1,S=0.5 t=0.01,是, 循环 , 执行第2 次 , S=S-m =0.25, 2 m m=0.125,n=2,S=0.25 t=0.01,是, 循环 , 执行第 3 次, S=S-m =0.125, 2 m m=0.0625,n=3,S=0.12

15、5 t=0.01,是, 循环 , 执行第4 次, S=S-m=0.0625, 2 m m=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01, 是, 循环 , 执行第5 次 , S=S-m =0.03125, 2 m m=0.015625,n=5,S=0.03125 t=0.01,是, 循环 , 执行第6 次, S=S-m=0.015625, 2 m m=0.0078125,n=6,S=0.015625 t=0.01,是, 循环 , 执行第7 次, S=S-m=0.0078125, 2 m m=0.00390625,n=7,S=0.0078125 t=0.01,否, 输出 n=7, 故选 C

16、. 考点：程序框图 10A 【解析】 试题分析：( )3f a, 当1a时, 1 ( )223 a f a, 则 1 21 a , 此等式显然不成立, 当1a时, 2 log (1)3a, 解得7a, (6)fa( 1)f= 1 1 7 22 4 , 故选 A. 考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质 11B 【解析】 试题分析： 由正视图和俯视图知, 该几何体是半球与半个圆柱的组合体, 圆柱的半径与球的半径都为r, 圆柱的高为2r, 其表面积为 221 4222 2 rrrrrr= 22 54rr=16 + 20 , 解得 r=2, 故选 B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积

17、公式；圆柱的测面积公式 12C 答案第 3 页， 总 8 页 【解析】 试题分析：设( , )x y是函数( )yf x的图像上任意一点, 它关于直线 yx对称为（,yx）, 由已知知（,yx）在函数2 xa y的图 像 上 , 2 ya x, 解 得 2 log ()yxa, 即 2 ( )log ()f xxa, 22 ( 2)( 4)log 2log 41ffaa, 解得2a, 故选 C. 考点：函数对称；对数的定义与运算 136 【解析】 试题分析： 11 2,2 nn aaa, 数列 n a是首项为2, 公比为 2 的等比数列 , 2(12 ) 126 12 n n S , 264

18、n , n=6. 考点：等比数列定义与前n项和公式 141 【解析】 试题分析： 2 ( )31fxax, (1)31fa, 即切线斜率 31ka, 又(1)2fa, 切点为（1, 2a） , 切线过（2,7 ） , 27 31 12 a a , 解得a1. 考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数； 154 【解析】 试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示, 作出直线 0 l：30xy, 平移直线 0 l, 当直线l:z=3x+y过点A 时, z取最大值 , 由 2=0 21=0 xy xy 解得 A（1,1 ）, z=3x+y 的最大值为4. 考点：简单线性规划解法 16126

19、 【解析】 试 题 分 析 ： 设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 1 F, 由 双 曲 线 定 义 知 , 1 | 2|PFaPF, APF的周长为 |PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ 1 2|aPF+|AF|=|PA|+ 1 |PF+|AF|+2a, 由于2|aAF是定值 , 要使 APF 的周长最小 , 则|PA|+ 1 |PF 答案第 4 页， 总 8 页 最小 , 即 P、A、 1 F共线 , 0,66A, 1 F（ 3,0 ） , 直线 1 AF的方程为1 36 6 xy , 即3 2 6 y x代 入 2 2 1 8 y x整 理 得 2 6 6960yy, 解 得 26y

20、或8 6y( 舍), 所以 P点的纵坐标为2 6, 11 APFAFFPFF SSS= 11 66 662 6 22 =126. 考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题 17 （） 1 4 （） 1 【解析】 试 题 分 析 ： （ ） 先 由 正 弦 定 理 将 2 sin2sinsinBAC化 为 变 得 关 系 , 结合条件ab, 用其中一边把另外两边表示出来, 再用余弦定理 即可求出角B 的余弦值；（）由（）知 2 2bac=, 根据勾股定理和 即可求出c, 从而求出ABC的面积 . 试题解析：（）由题设及正弦定理可得 2 2bac=. 又ab=, 可得2bc=,2ac=

21、, 由余弦定理可得 222 1 cos 24 acb B ac +- =. （）由 (1) 知 2 2bac=. 因为B =90 , 由勾股定理得 222 acb+=. 故 22 2acac+=, 得2ca=. 所以DABC的面积为1. 考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力 18 （）见解析（）3+25 【解析】 试题分析：（）由四边形ABCD为菱形知 ACBD, 由 BE平面 ABCD知 ACBE, 由线面垂直判定定理知AC平面 BED, 由面面垂直的判 定定理知平面AEC平面BED；（）设AB=x, 通过解直角三角形 将 AG 、GC 、GB 、GD用 x 表示出来 , 在RtDAEC中

22、, 用 x 表示 EG, 在RtDEBG中, 用 x 表示 EB, 根据条件三棱锥EACD的体积为 6 3 求出 x, 即可求出三棱锥EACD的侧面积 . 试题解析：（）因为四边形ABCD 为菱形 , 所以 ACBD, 因为 BE平面 ABCD, 所以 ACBE, 故 AC平面 BED. 又 AC平面 AEC, 所以平面 AEC平面 BED （）设AB=x, 在菱形ABCD中, 由DABC=120 , 可得 AG=GC= 3 2 x,GB=GD= 2 x . 答案第 5 页， 总 8 页 因为 AEEC, 所以在RtDAEC中, 可得 EG= 3 2 x. 由 BE平面 ABCD, 知DEBG

23、为直角三角形 , 可得 BE= 2 2 x. 由已知得, 三棱锥E-ACD的体积 31166 32243 EACD VAC GD BEx - =醋?=. 故x=2 从而可得AE=EC=ED=6. 所以DEAC的面积为3, DEAD的面积与DECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25. 考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计 算；逻辑推理能力；运算求解能力 19 （）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型 （） $ 100.668yx（） 46.24 【解析】 试题分析： （）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（） 令

24、wx, 先求出建立y关于w的线性回归方程, 即可y关于 x的回归方程； （） ( ) 利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报 值, 再根据年利率z 与 x、 y 的关系为 z=0.2y-x即可年利润z 的预报值； （）根据（）的结果知, 年利润 z 的预报值 , 列出关于 x的方 程, 利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费 用. 试题解析：（） 由散点图可以判断, ycdx适合作为年销售y关 于年宣传费用x的回归方程类型. （）令wx, 先建立y关于w的线性回归方程, 由于 $ 8 1 8 2 1 ()() () ii i i i wwyy d ww = 108.8

25、 =68 16 , $ cydw $ =563-68 6.8=100.6. y关于w的线性回归方程为 $ 100.668yw, y关于x的回归方程为 $ 100.668yx. （） ( ) 由（）知 , 当x=49 时, 年销售量y的预报值 $ 100.668 49y=576.6, 576.60.24966.32z $ . （）根据（）的结果知, 年利润 z 的预报值 0.2(100.6 68)13.620.12zxxxx $ , 当x= 13.6 =6.8 2 , 即46.24x时, z $取得最大值 . 故宣传费用为46.24 千元时 , 年利润的预报值最大. 12 分 考点：非线性拟合；

26、线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意 识 答案第 6 页， 总 8 页 20 （） 4747 , 33 骣 -+ 琪 琪 桫 （） 2 【解析】 试题分析：（） 设出直线 l 的方程 , 利用圆心到直线的距离小于半径列 出 关 于k的 不 等 式 , 即 可 求 出k的 取 值 范 围 ；（ ） 设 1122 (,),(,)M x yN xy, 将直线 l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二 次方程 , 利用韦达定理将 1212 ,x xy y用 k 表示出来 , 利用平面向量 数量积的坐标公式及12OM ON uu uu r uu u r 列出关于k 方程 , 解出 k, 即

27、 可求出 |MN|. 试题解析：（）由题设, 可知直线l 的方程为1ykx=+. 因为 l 与 C交于两点 , 所以 2 |23 1| 1 1 k k -+ 时 , ( )fx存在 唯一零点 . （）见解析 【解析】 试题分析：（）先求出导函数, 分0a 与0a 考虑fx的单调性 及性质 , 即可判断出零点个数； （）由（）可设( )fx 在 () 0 +￥，的 唯一零点为 0 x, 根据fx的正负 , 即可判定函数的图像与性质, 求出函数的最小值, 即可证明其最小值不小于 2 2lna a a +, 即证 明了所证不等式. 试题解析：（）( )f x的定义域为 () 0 +￥，, () 2

28、( )=20 xa fxex x -. 当0a 时,( )0fx , ( )fx 没有零点； 当0a 时, 因为 2x e单调递增 , a x -单调递增 , 所以( )fx 答案第 7 页， 总 8 页 在 () 0 +￥，单 调 递 增 . 又( )0fa , 当b 满 足0 4 a b时 , ( )fx 存在唯一零点. （）由（）, 可设( )fx 在 () 0 +￥，的唯一零点为 0 x, 当 () 0 0xx?，时, ( )0fx . 故( )fx在 () 0 0x，单调递减, 在 () 0+ x￥，单调递增, 所以当 0 xx=时, ( )f x取得最小值 , 最小值为 0 ()f

29、 x. 由于 02 0 2=0 xa e x -, 所以 00 0 22 ()=2ln2ln 2 a f xaxaaa xaa +?. 故当0a 时, 2 ( )2lnf xaa a ?. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与 性质；利用导数证明不等式；运算求解能力. 22 （）见解析（）60 【解析】 试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知, AEBC, AC AB, 由直角三角形中线性质知DE=DC, OE=OB, 利用等量代换 可证 DEC+ OEB=90 , 即OED=90 , 所以 DE是圆 O 的切线； （）设CE=1,由3OACE得, AB=2

30、 3, 设 AE=x, 由 勾 股 定 理 得 2 12BEx, 由 直 角 三 角 形 射 影 定 理 可 得 2 AECE BEg, 列出关于x的方程 , 解出x, 即可求出 ACB的大小 . 试题解析：（）连结AE, 由已知得 , AEBC, ACAB, 在 RtAEC中 , 由已知得 DE=DC, DEC= DCE, 连结 OE, OBE= OEB, ACB+ ABC=90 , DEC+ OEB=90 , OED=90 , DE是圆 O的切线 . （）设 CE=1, AE= x, 由已知得 AB=2 3, 2 12BEx, 由射影定理可得, 2 AECE BEg, 22 12xx, 解

31、得x=3, ACB=60. 考点 :圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 24 （） 2 |2 3 xx（）（2, +） 【解析】 试题分析：（）利用零点分析法将不等式f(x)1化为一元一次不等式组来 解； （） 将( )f x化为分段函数 , 求出( )f x与x轴围成三角形的顶点坐 答案第 8 页， 总 8 页 标 , 即可求出三角形的面积, 根据题意列出关于a的不等式, 即可解出a的取值范围 . 试题解析：（）当a=1 时, 不等式f(x)1化为 |x+1|-2|x-1|1, 等 价 于 1 1221 x xx 或 11 1221 x xx 或 1 1221 x xx ,

32、解得 2 2 3 x, 所以不等式f(x)1的解集为 2 |2 3 xx. （）由题设可得, 12 ,1 ( )312 , 1 12 , xa x f xxaxa xa xa , 所以函数( )f x的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为 21 (,0) 3 a A , (21,0)Ba, ( , +1)C a a, 所以 ABC的面积为 22 (1) 3 a. 由题设得 2 2 (1) 3 a6, 解得2a. 所以a的取值范围为（2, +） . 考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法 23 （）cos2, 2 2cos4sin40（） 1 2 【解析】 试题分析：（）用直角

33、坐标方程与极坐标互化公式即可求得 1 C, 2 C的 极坐标方程； （）将将= 4 代入 2 2cos4sin40即可求出 |MN|, 利用三角形面积公式即可求出 2 C MNV的面积 . 试题解析：（）因为cos ,sinxy, 1 C的 极 坐 标 方 程 为cos2, 2 C的 极 坐 标 方 程 为 2 2cos4sin40. 5 分 （ ） 将= 4 代 入 2 2cos4sin40, 得 2 3 240 , 解得 1=2 2, 2= 2, |MN|= 1 2= 2, 因为 2 C的半径为 1, 则 2 C MNV的面积 o 1 21 sin 45 2 = 1 2 . 考点 :直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系