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1、高三数学大联考试题 本试卷分为第卷 （选择题） 和第卷（非选择题） 两部分。满分 150 分。考 试用时 120 分钟。 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题： (本大题共12 小题，每小题 5 分共 60 分，在每小题的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A = 25 |0 2 x x x , B= 23 |lg0 3 x x x ,则 AB( ) A. ( 3, 2)B. 5 ( 3, 2)(0, 2 C. 5 (, 3,) 2 D. 5 (, 3),) 2 2.在锐角三角形ABC 中设 x = (1+sinA) (1+sinB) , y = (1+cosA) (1+c
2、osB) ,则 x 、y 大小 关系为（） A.xy B.x y 3.下列不具有 周期性的函数是 （） A.f (x) = 3 B.f (x) = lg sinx C.f (x) = sin x +cos x D.f (x) = (1)x (xz) 4.已知圆 C1: x 2 + y2 + 2x 2y + 1 = 0, 圆 C2: x2 + y24x2y +1 = 0. 圆心分别为 C1，C2， 两圆外公切线交于点P， 若 1 C P uu ur = 2 PC uuuu r 则等于（） A. 1 2 B. 1 2 C. 2 D. 2 5.在边长为1 的等边三角形ABC 中，设AB uu u r
3、 = a r ，BC uuu r = b r ，AC uuu r = c r ， 则 a r b r +b r c r +c r a r 等于（） A. 1 2 B. 1 2 C. 2 3 D. 2 3 6.根据科学测算，运载神舟六号飞船的长征系列火箭，在点火后一分钟上升的高度 为 1km， 以后每分钟上升的高度增加2km， 在达到离地面240km 高度时船箭分离， 则从点火到船箭分离大概需要的时间是 （） A.20 分钟B.16 分钟C.14 分钟D.10 分钟 7.函数 f (x) = lg (33 xx a)的值域是R， 则a的取值范围是（） A.2aB.2aC. 2aD. 2a 8.数
4、列 n a满足 1 1 20 2 1 211 2 nn n nn aa a aa 若 1 3 5 a则 2005 a的值为（） A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 9. （文）定义在 R 上的偶函数y = f (x ) 满足 f ( x+2 ) = f (x ) 对所有实数x 都成立， 且 在2， 0 上单调递增， 1 2 37 f ( ),f (),f (log8) 22 abc则下列成立的是（） A.abcB.bcaC. bacD. cab （理） x f(x)=3+a 4g的定义域为,2则实数a的取值范围是（） A. 3 ,) 16 B. 3 16 C. 3 (,)
5、16 D. 3 (, 16 10.若把一个函数y =f (x)的图像按(, 2) 3 a r 平移后得到函数y = cosx 的图像， 则 y = f (x) 的解析式是（） A.ycos()2 3 xB.ycos()2 3 x C.ycos()2 3 xD. cos()2 3 yx 11.直线y30axb与圆 22 y410xx切于点P( 1,2)，则ab的值为 （） A.3B.1 C.1D.3 12.实系数方程 2 20xaxb的两根为 1 x、 2 x， 且 12 012xx则 2 1 b a 的 取值范围是（） A. 1 (,1) 4 B. 1 (,1) 2 C. 1 1 (,) 2
6、4 D. 1 1 (,) 2 2 第卷（非选择题共 90 分） 数学试卷第1 页（共 4 页） 数学试卷第2 页（共 4 页） 个个 二、填空题： （本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分， 把答案填在题中的横线上） 13.函数 f (x) = 1 3 x 的定义域是 14.双曲线 2 4 x + 2 y k =1 的离心率e = 2 ， 则 k 的值为 15.设函数 y = f (x) 存在反函数且y = f ( x +3 )过点 A (1 , 2 ) , 则 y = f -1 (x+3) 的 反函数必经过的点的坐标是 16.设 PQ 是抛物线y2 = 2px （p0） 上过焦点F
7、的一条弦，L 是抛物线的准线，给 定下列命题： 以 PF为直径的圆与y 轴相切， 以 QF为直径的圆与y轴相切， 以 PQ 为直径的圆与准线L 相切，以 PF 为直径的圆与y 轴相离，以 QF 为直径的圆与y 轴相交，则其中所有正确命题的序号是： 三、解答题 . （本大题共6个小题，共 74 分， 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17.（本题 12 分）已知f (x ) = 2cos 2x +2 3sinx cosx + a (a 为常数 ) （1）求 f (x) 的最小正周期（2）求 f (x) 的单调递增区间 （3） 若 f (x) 在 6 , 6 上最大值与最小值之和为3，
8、求 a的值 . 18.（本题 12 分）在四棱锥PABCD 中,底面 ABCD 是 边长为 a 的正方形 , PA平面 ABCD ， 且 PA = 2AB. （1）求证：平面PAC平面 PBD （2）求二面角B PC D 的大小 19.（本题 12 分）设 a 为常数 f (x ) = 2 13 cos2(3 )cos 22 xaax, 如果对 任意 xR， 不等式 f (x ) + 4 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 20.（本题 12 分）刘先生购买了一部手机，欲使用中国移动的“智慧”卡或加入 中国联通网，经调查收费标准如下： 网络月租本地话费长途话费 甲：联通12 元0.3 元/
9、分钟0.6 元/分钟 乙：移动无0.5 元/分钟0.8 元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5 倍 （手机双向收费，接打话费相同） （1）设刘先生每月通话时间为x 分钟，求使用甲、乙两种入网方式所需话费的函 数 f (x), g (x). （ 2）请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择一种较为省钱的入网方式. 21.（本题 12 分） （文）已知函数f (x) = a bx的图像过点 A（1, 1 8 ）, B (2 , 1 4 ) (1 ) 求函数 f ( x ) 的解析式 . （2）设 2 log f(n) n a, nN+, Sn是数列 n a前 n 项和，求 S20. （3
10、）在 (2 )的条件下，若 1 () 2 n nn ba， 求数列 bn的前 n项和 Tn. （理）已知数列 n a中各项为： 12、1122、111222、111 n 1 4 2 4 3 222 n 14 2 4 3 （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和 Sn . 22.（本题 14 分） （文）已知A、B、D 三点不在一条直线上，且 A（ 2 ， 0） ， B（2 ， 0） ，|AD uuu r = 2 ， 1 () 2 AEABAD uuu ruuu ruuu r （1）求点 E的轨迹方程； （2）过点 A 作直线 L 交以 A、B 为焦点的椭
11、圆于M、N 两点。线段 MN 的中 点到 y 轴距离为 4 5 且直线 MN 与点 E 的轨迹相切，求椭圆的方程 . （理）在直角坐标平面中，ABC 的两个顶点为A（0， 1） ， B（ 0, 1）平面内 两点G、M 同时满足0GAGBGC uuu ruuu ruu u rr , |MA uuu r = |MB uuu r = |MC uu u u r GM uuuu r AB uuu r （1）求顶点C 的轨迹 E 的方程 （2） 设 P、 Q、 R、 N 都在曲线E 上 ， 定点 F 的坐标为 （2, 0） ， 已知PF uuu r FQ uuu r , RF uuu r FN uuu r
12、 且PF uuu r RF uuu r = 0.求四边形PRQN 面积 S 的最大值和最小值. 数学试卷第3 页（共 4 页） 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C B A B C C B D D A 二、填空 13.|log 3x x14. 12 15. (4 ,1) 16. 简析： 2. 2 ABQsinAcosB, sinBcosA yx 4.圆 C1:(x + 1) 2 + (y1)2 = 1 , 圆 C2:(x 2)2 + (y1)2 = 4, 两圆外切如图可知PC1 = C1C2 = 3 12 1 2 C PPC uuu ruuuu
13、 r 1 2 故选 B 7.令 t =3x+3-xa 则 tmin=2a0 a 2 9.（文）由f (x+2) = f (x) 有 f (x + 4) = f (x) T = 4 而 f (x) 在 R 上为偶函数又在2， 0上单调递增 ,所以 f (x) 在0， 2上单调递减 711 f()f ()f ( ) 222 b, 1 2 f(log8)f ( 3)f (1)c, 3 f ( ) 2 a 31 1. 22 Qbca故选 B 9.（理）由3 + a4 x 0 a4 x 3 当 a0 时定义域为R 不合条件a 60 时， g ( x ) f (x ) 刘先生采用联通网络较省钱。（8 分）
14、 当 0 x 60 时，g ( x ) f ( x ) 刘行生采用移动网络较省钱。（ 10 分） 当 x = 60 时 g (x ) = f ( x ) 刘先生任选其中一种均可 （12 分） 22.。解： （文）（1）设 E ( x , y ), 1 ()2 2 AEABADADAEAB uu u ru uu ru uu ruu u ruu u ruuu r 2(2,)(4,0)(2 ,2 )ADxyxy u uu r 又|2AD uuu r x2+ y2 = 1 (y0) (6 分) (2)设椭圆方程为： 22 22 1 xy ab , 直线 L： y = k (x + 2) 由于直线L 与
15、圆 E 相切， 2 |2 | 1 1 k k ， 3 3 k 直线 L：y = 3 3 ( x + 2 ) （8 分） 将y = 3 3 ( x + 2 ) 代 入b2 x2+ a2 y2 a 2 b2 = 0, 则 有 (3 b 2 + a2 ) x2 + 4 a 2 x + 4 a23 a2 b2 = 0 2 22 4 3 MN a xx ba 2 22 2 23 MN xxa x ba 中 2 22 24 | 35 a x ba 中5 a 2 = 6 b 2 + 2 a2 , a2 = 2 b 2 （12 分） 又 c 2 = 4 b2 = 4 , a2 = 8 椭圆方程为 22 1 8
16、4 xy (14 分 ) （理）（ 1）设C ( x , y )，Q2GAGBGO uu u vuu u vuuu v ,由知2GCGO uuu vuuu v ,G 为 ABC 的重心， G( 3 x , 3 y ) （2 分） 由知 M 是 ABC 的外心，M 在 x 轴上 由知 M（ 3 x ， 0） ， 由|MCMA uuu u ruuu r 得 222 ()1() 33 xx xy 化简整理得： 2 2 1 3 x y（ x0 ）(6 分 ) （2）F（2， 0 ）恰为 2 2 1 3 x y的右焦点 设 PQ 的斜率为k0 且 k 2 2 ， 则直线 PQ 的方程为y = k ( x
17、 2) 由 2222 22 (2) (31)6 2630 330 yk x kxk xk xy 设 P(x1 , y1) ， Q (x2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = 2 2 6 2 31 k k , x1x2 = 2 2 63 31 k k （8 分） -4- -6- 则| PQ | = 2 1k 2 1212 ()4xxx x = 2 1k 22 2 22 6 263 ()4 3131 kk kk = 2 2 2 3(1) 31 k k QRNPQ,把 k 换成 1 k 得 | RN | = 2 2 2 3(1) 3 k k （10 分) S = 1 2 | PQ | | RN |
18、= 22 22 6(1) (31)(3) k kk = 2 2 8 2 1 3()10k k ) 2 2 18 3()10 2 k kS 2 2 1 k k Q2 ， 8 2S 16 3 2 S 2 ，(当 k = 1 时取等号 ) （12 分） 又当 k 不存在或k = 0 时 S = 2 综上可得 3 2 S 2 Smax = 2 ，Smin = 3 2 (14 分) 21。解： (文)（1）因图像过点A（1， 1 8 ）, B（2, 1 4 ） 2 1 8 1 4 ab ab 解之得a = 1 16 , b = 2 (2 分) f (x) = 4 2 x (4 分) （2） 4 22 l
19、og f ( )log 24 n n ann n a是首项为 3 公差为 1 的等差数列（6 分） Sn = 3n+ (1) 2 n n = 1 2 n (n7) 20 S= 130 (8 分) （3） 11 ( )(4)() 22 nn nn ban Tn = 3 1 2 + (2) ( 1 2 )2+ + (n 4) ( 1 2 ) n 1 2 Tn = (3) ( 1 2 ) 2 + + (n5) ( 1 2 ) n + (n4 ) ( 1 2 ) n+1 得： 1 2 Tn = 3 1 2 + ( 1 2 )2 + + ( 1 2 )n(n4) ( 1 2 )n+1 Tn = 2 (n2) ( 1 2 )n(12 分) （理） （1） 12 (101) 10(101) 99 nnn n a(2 分 ) 1 (101) (102) 9 nn 101101 () (1) 33 nn (4 分 ) 记： A = 101 3 n , 则 A=333 n 142 4 3 为整数 个 -5- -7- n a= A (A+1) ，得证( 6 分) (2) 2 112 1010 999 nn n aQ(8 分) 2422112 (101010)(101010 ) 999 nn n Sn 221 1 (1011 10198210) 891 nn n(12 分)