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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 柱体、锥体、台体的表面积与体积 提出问题 南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门” 火炬承 载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神“幸福之门”火炬外形是细长的圆 台形式，燃料为丙烷 问题 1： 能否计算出“幸福之门” 火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？ 提示：可以，即计算圆台的表面积 问题 2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？ 提示：可以，即计算其容积 导入新知 1几种几何体的表面积公式 图形表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也 就是展开图的面积 旋 转 体 圆 柱 底面
2、积：S底r2 侧面积：S侧2rl 表面积：S2rl2r2 圆 锥 底面积：S底r2 侧面积：S侧rl 表面积：Srlr2 圆 台 上底面面积：S上底r 2 下底面面积：S下底r2 侧面积：S侧l(rr) 表面积：S (r 2 r2rlrl) 2柱体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高 )； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 锥体的体积公式V 1 3Sh (S为底面面积，h为高 )； 台体的体积公式V 1 3(S SSS)h. 化解疑难 对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同 (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等
3、高的圆柱的 体积是圆锥的体积的3 倍 (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 柱体、锥体、台体的表面积 例 1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A180 B200 C220 D240 答案 D 类题通法 1求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体 的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其 展开图的面积进而得表面积 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三 视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，
4、再结合表面积公式 求解 活学活用 圆台的上、下底面半径分别是10 cm和 20 cm， 它的侧面展开图的扇环的圆心角是180， 求圆台的表面积 解：如图所示，设圆台的上底面周长为ccm，由于扇环的圆心角是180，则cSA 2 10，解得SA20(cm) 同理可得SB40(cm)， 所以ABSBSA20(cm) 所以S表S侧S上S下 (1020)20 102 202 1 100 (cm2). 柱体、锥体、台体的体积 例 2 (天津高考 )已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单 位： m)，则该四棱锥的体积为_m3. 答案 2 类题通法 求几何体的体积时，要注意利用好几何体
5、的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何 体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 体、锥体、台体的体积计算问题 活学活用 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和 30 cm 的正三角形， 侧面是全等的 等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积 解：如图所示， 在三棱台ABC-ABC中，O，O分别为上、 下底面的中心，D，D 分别是BC，BC的中心，则DD是等腰梯形BCCB的高， 所以S侧3 1 2(2030) DD 75DD. 又AB 20 cm，AB30 cm，则上、下
6、底面面积之和为S上S下 3 4 (202302) 3253(cm2) 由S侧S上S下，得 75DD 3253， 所以DD 13 3 3(cm) 又OD 3 6 20 103 3 (cm)， OD 3 6 3053(cm)， 棱台的高hOODD 2 ODOD 2 133 3 2 5 3 103 3 24 3(cm)， 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V h 3(S 上S下 S上S下) 43 3 (3253 3 4 2030) 1 900(cm 3). 简单组合体的表面积和体积 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 3 已知ABC的三边长分别是AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴
7、，将此 三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积 解 如图，在ABC中，过C作CDAB，垂足为D. 由AC3，BC4，AB5， 知AC2BC2AB 2，则 ACBC. BCACABCD， CD 12 5 ，记为r 12 5 ，那么ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆 锥，且底半径r 12 5 ，母线长分别是AC3，BC4， 所以S表面积r(ACBC) 12 5 (34) 84 5 ， V 1 3 r2(ADBD) 1 3 r2AB 1 3 12 5 25 48 5 . 所以，所求旋转体的表面积是 84 5 ，体积是 48 5 . 类题通法 求组合体的表面积与体积的关键是弄清组
8、合体中各简单几何体的结构特征及组合形式， 对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再 分别代入公式求解 活学活用 一个几何体的三视图如图所示(单位： m)，则该几何体的体积为_m 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 20 3 4.求几何体表面积、体积考虑不全面 典例 把长、宽分别为4,2 的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积 解 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h. 当 2r4，l2 时，r 2 ，hl2， 所以V圆柱r2h 8 . 当 2r2，l4 时，r 1 ，hl4， 所以V 圆柱r 2h4 . 综上所述，这个圆柱的体
9、积为 8 或 4 . 易错防范 把矩形卷成圆柱时，可以以4 为底， 2 为高；也可以以2 为底， 4 为高容易漏掉一种情 况，解决此类问题一定要考虑全面 成功破障 如图，从底面半径为2a，高为3a的圆柱中，挖去一个底 面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体 的表面积S2之比 解：由题意知，S12 2a3a2 (2a)2(438)a2，S2S1a(2a)a 2 (4 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 9)a 2. S1S2(438)(43 9) 随堂即时演练 1(全国甲卷 )如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( ) A20
10、B24C 28D 32 答案： C 2若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A1 2 B13 C15 D.32 答案： C 3(天津高考 )一个几何体的三视图如图所示(单位： m)，则该几何体的体积为_m 3. 答案： 8 3 4 圆台的上、 下底面半径和高的比为144， 母线长为10， 则圆台的侧面积为_ 答案： 100 5一个正三棱柱的三视图如图所示(单位： cm)，求这个正三棱柱 的表面积与体积 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解：表面积： (2483) cm2，体积： 83 cm3. 课时达标检测 一、选择题 1.如图，ABC-ABC是体积为1 的棱柱，则
11、四棱锥C-AABB 的体积是 ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 答案： C 2如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于( ) AB2 C4D8 答案： B 3如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体 的体积为 ( ) A6 B9 C12 D18 答案： B 4(全国卷 )一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去 部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A. 1 8 B. 1 7 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C. 1 6 D. 1 5 答案： D 5.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面
12、是正方形，其正视图如图所示，则 该四棱锥的侧面积和体积分别是( ) A45，8 B45， 8 3 C4(5 1)， 8 3 D8,8 答案： B 二、填空题 6一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱 锥的侧面积为_ 答案： 12 7 (浙江高考 )某几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 则该几何体的表面积是_cm 2， 体积是 _cm 3. 答案： 72 32 8 一个正四棱台， 其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和 18 cm，侧棱长为13 cm， 则其表面积为_ cm2. 答案： 1 012 三、解答题 9如图是某几何体的三视图，请你指出这
13、个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体 积 (单位： cm) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解：由三视图知该几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面 的大小与长方体的上底面大小一致长方体的长、宽、高分别是8,4,6，圆柱的高是8，底面半 径是 2， 表面积为S8428624 62 1 22 2 1 22 28 17620 (cm 2)， 体积为V846 1 2 2 28192 16 (cm3)， 故该几何体的表面积为(176 20 )cm2，体积为 (19216 )cm3. 10已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA4，AC 23，求该 三棱锥的表面积 解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示， 且VAVBVC4， ABBCAC23. 取BC的中点D，连接VD， 则VDBC， 有VDVB2BD24 2 3 2 13， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则SVBC 1 2 VDBC 1 2 132339， SABC 1 2 (2 3)2 3 2 33， 所以，三棱锥V-ABC的表面积为 3SVBCSABC339333(393)