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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2.2 单位圆与三角函数线 预习导航 课程目标学习脉络 1理解单位圆、有向线段的概念 2 理解三角函数线的定义并能运用三角函数线 解决相关的问题 1单位圆、正射影 (1)把半径为1 的圆叫做单位圆 (2)设角的顶点在圆心O，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点 P 作 PM 垂直 x 轴于 M，作 PN 垂直 y 轴于点 N，则点 M，N 分别是点P 在 x 轴， y 轴上的 正射影 (简称射影 )(如图所示 ) 要点解读： 在三角函数的定义中，巧妙地引入了单位圆，使三角函数这一代数问题几何化了，即有 了几何表示，从而也使问题由
2、抽象变得具体为深入细致研究三角函数提供了一种新途径， 开辟了一个新视野角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标 2三角函数线 (1)如图 (1)， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A (1,0)，而与y轴的交点分别为B(0,1)，B(0， 1) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由三角函数的定义可知，点P的坐标为 (cos_，sin_)，即P(cos_， sin_)其中 cos_ OM，sin_ON 这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标 如图 (2)，以A为原点建立y轴与y轴同向，y轴与的终边 (或其反
3、向延长线)相交于 点T(或T)，则 tan AT(或AT ) 我们把轴上向量OM，ON和AT(或AT)分别叫做的余弦线、正弦线和正切线 说明： (1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数线，它们分别是余弦函数、正弦函数、 正切函数的几何表示 (2)三角函数线是有向线段(带有方向 (即规定了起点和终点)的线段 )，在用字母表示这些 线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒也可用这样的规律：凡 含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公 共点为起点 (3)当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正 切线都变成了一点，
4、它们的数量为零，而余弦线OM1 或 1 当角的终边在y轴上时，正弦线MP1 或 1，余弦线变成了一点，它表示的数量为 零，正切线不存在 自主思考 1如何根据三角函数的方向确定三角函数值的符号？ 提示： 正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴 一致，向右为正，向左为负三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值 自主思考 2观察三角函数线的变化，试分析正弦线、余弦线、正切线的增减性和取值 范围？ 提示： 观察三角函数线的变化， 当角由 0 增加到 2时， sin 在一、四象限是增函数，在二、三象限是减函数； cos 在一、二象限是减函数，在三、四象限是增函数；
5、tan 在各个象限内分别是增函数 观察三角函数线的变化，还可以得出 R 时， sin ，cos 的值域为 1,1，tan 的值 域为 R 3三角函数线的作图步骤 作一个角的三角函数线的步骤： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)画单位圆，且设其与x轴正半轴交于点A (2)作角的终边， 且设其与单位圆的交点为P，作PMx轴于M，则有向线段MP，OM 分别是角的正弦线和余弦线 (3)过点A作x轴的垂线， 与角的终边 (或其反向延长线)交于点T，则有向线段AT是角 的正切线 自主思考 3 角x(rad)，且 0sin 6 又 1 2 3 6 6 ，所以 tan 6 6 从而可知， tan
6、 6 6 sin 6 证明： 如图所示， 0x M 为角 x 的正弦线， A 为角 x 的正切线，由于SOPAS扇形OPASOAT，且SOPA 1 2 OAMP 1 2 sin x，S扇形 OPA 1 2 xOA2 1 2 x，SOAT 1 2 OAAT 1 2 tan x，所以 1 2 sin x 1 2 x 1 2 tan x，即 sin xxtan x 所以若x0, 2 ，则必有sin xxtan x 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 自主思考 4如何利用单位圆解形如sin (或 )a，cos (或 )a(|a| 1)型不等式 提示： (1)利用单位圆解sin a，sin a(|
7、a| 1)型不等式的具体方法为： 如图甲，画出单位圆； 图甲 在y轴上截取OMa，过点 (0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P，P，作射线OP， OP； 写出射线OP与OP对应的角； 图中阴影部分即为满足sin a的角的范围，剩余部分即为满足sin a的角的范 围 (2)利用单位圆解cos a，cos a(|a| 1)型不等式的具体方法为： 如图乙，画出单位圆； 图乙 在x轴上截取OMa，过点 (a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P，P，作射线OP， OP； 写出射线OP与OP对应的角； 图中阴影部分即为满足cos a的角的范围，剩余部分为满足cos a的角的范 围 特别提示此类题型在写角的范围时，不要忘记加上2k (k Z)，因为与角终边相同的 角有无数个，它们相差2的整数倍