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1、浅谈柯西不等式的证明及应用刘治和2柯西(Cauchy)不等式(a a2d ：；：； anbn)2 2 2 2 2 2w (ai +a2 + +an)(b +b? + + bn ) (ai,b R,i =1,2 ,n),当且仅当时等号成立。现将它的证明介绍如下：bib2bn证明1 (构造法)：构设二次函数2 2 2f (x) gx bO(a2X b2)(anX bn)2 2 2 2 2 2 2 =(a1a2江 爲an )x2 (a1b1a2b2爲-anbn)x(bib2爲:：bn),7 ai2 - a?2 爲爲an20, f (x) 一0 恒成立，. ： =4(aibi a?b2 -anbn)2
2、-4( a/+a22+an2)L(bi2+b22 -52) _ 0,即(aibipbzanbn)2哄aj+a22+an2)(bi2+b22bn2),当且仅当aix b 0(i = 1,2,n),即旦=生=色时等号成立.Db2bn证明2 (数学归纳法)：1)当n=1时,左式=(aib1 )2,右式二a/b2,显然左式=右式,当n = 2时，右式= (a12 a22)(t12 b22)=(a1b1)2 (a2b2)2 - a22t12 a12b22 -(a1b1)2 (a2b2)2 2a1a2b1b2=(a1b1 a2b)2=左式，仅当 a2b1=a1b2，即 旦二邑 时取等号, b1 b2故n=
3、1,2时不等式成立.2)假设n二k(kN ,k _2)时，不等式成立，即(aa?b2akbQ2-佝2a?2a/Xd2b?2bj),当且仅当 色二鱼八，玉时取符号。且设b1b2bk2 2 2 2 2 22=(C ak ibk i)A =aia?爲：ak , B = Db?爲爲bk , C = afy - a2b2 .ab,则(A + a2+)(B +b加=AB + Abf卡 + Bak +af卡bk AC2 +2Cak+bk +a2+bk2 2 2 2 2 2 2 2 2(aia2-akak /(bib?-bkbkJ (ab-a?b2ak.b d),当且仅当-口时取等号，即n = kT时不等式亦
4、成立bib2bkbk -i综合1)、2),可知不等式成立.柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它， 可使一些较困难的问题迎刃而解。这个不等式结构对称和谐、应用灵活广泛，深受人们的喜爱。不完全归纳，利用柯西 不等式处理数学问题，常见的两大类型有：(1)证明相关的数学命题例1 已知正数a,b,c满足a bc=1,证明：2.223.33 a b ca b c -3分析：为了吻合问题中的某些式子， 将因式拆项，这是柯西不等式应用中常用技巧之一。本题将a2、b2、c2分别拆项就能达到目的.证明：利用柯西不等式，3131313332 2 2 2 2 2 2 2(a +b c ) = (a2a2
5、 b2b2 c2c2)乞(a2) (b2)(c2) a b c=3332(a b c )(a b c) ( a b c = 1).又V a2 b2 c ab bc ca,在此不等式两边乘以2，a2 b2 c再加 a2 b2 c2,得(a b c)2 -3(a2 b2 c2),-(a3 b3 c3)ha2 b2 c2)，故 a3 b3 c3 -设 f (x) =lg1x 2x(n 1)x anxn若Ow a w 1, n N ,且 n 2,求证：f(2x) 2 f (x)(1990年高考题)分析：先把要证结论进行等价转化，使之出现柯西不等式的结构，再用它证明。证明：f (2x) 2f (x) =
6、.2x 2x2x2x.x xxx,12:：-( n-1) an12n T) anlg2lg22x 2x2 x2x1亠2 亠 亠(n -1)亠annx xxx-21 2 亠 亠(n -1) an I丄 2 x2 xf、2x2x1、. xxu n 1+2+“，+(n_1)+an &1+2十+2x2xYY(n -1) an只要证明式即可n个；n -121212, a a2,2x左边(12 +12 + +12) ,2x+22x + +(n 1)2x+(anx)2 1x 2x （n -1）x故原不等式得证anx2，即式成立例3.设 P是 AB（内一点,X、y、z是P到三边a、b、c的距离，雄厶AB（外卜
7、接圆半径.= = = 1证明：、* 旳 、z w证明：由柯西不等式得，.X 、y则Jax +by +czLJ2 +1 +11 a babcax by cz = 2S =2R2 b2c2.,x y z -.记S ABC勺面积, cabc2Rbc ca abc1ab bc ca (数学通报1993,6 问题 839)证明：根据已知条件，得sin2-：匚1 sin2 sin2y = 2,1119而要证不等式等价于一一 -.由柯西不等式有:sin a sin P sin ；21 1 1 1 2 2 ： 2 1 1 1 歹齐站匚的sin - sin业齐歹站）1 29-(1 1 1)2 .2 2故原不等式
8、成立.(2)求解有关数学问题例5.a b已知X、y、a、b R ，且1,则x+y的最小值是()x y(A)4jab ； ( B) .a b)；(C) 2 . 2ab ； ( D) 2.2ab分析:a构造两组实数xamin=1;bJ2这是11亠,c ,d 时，amax=2.363 已知(0,二)，且 cosx，COS -COS(-八)，试求：、：的值.2道常见题，若变换思考角度，开发人的侧向思维，从柯西不等式结构中得到启迪,卫，二 x、y、a、bR： a+b=1, yx yx+y =(、x)2(y)2仁 a)2 c，a Jb)2,仅当-=V x yy(xy)min.b)2，故选(B)。应用柯西不
9、等式可顺利解决某些有关含约束条件的多变量函数的最值问题，类似地可 做：1.设实数x、y满足3x2 2y6，求W =2x y勺最大值.(Wmax= 11)r2222.设实数a,b,c,d满足a b c d =3,a2b3c 6d =5，试求a的最大值与最小值.-1) (b e d)2，即2 3 6解：根据柯西不等式，有(2b2 3c2 6d2)(12 2 2 2 2 22b 3c 6d (b c d).由条件可得5 - a (3 - a)，解得1 a w 2，当且仅当6d，即2似时等号成立.代入得b*誇宀3时，6会使求解达到更好的效果。3解：由已知等式化为 sin : sin： (1cos ：)coscos：,将其两边平方再得：(号-cos )2 = sin ： sin鳥(1-cos ： )cos： w |sin2 ： (1_cos ：)2 (sin2 ：cos2 ： ) = 2(1 _cos ：),21JI二(2cos 0 1) w 0,则 2o BlQ= 即 cos0B w (0,兀)，二 0 =,代入已知23等式得，故3 3从这两类题解不难看出，能否成功地运用柯西不等式，关键是对照柯西不等式的标准形 式，构造出两组适当的数式。因此，我们在应用教学中努力引导学生观察、分析，开发他们 的创新思维，有效地运用柯西不等式解决相关的数学问题。