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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2.2 空间两条直线的位置关系 (建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、填空题 1下列说法正确的有_(填序号 ) 两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线； 两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线； 两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线； 两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线 【解析】只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；把两条直线 放到特定的两个平面内，也不具有任意性；从反面肯定了两直线的异面；中的两条直线 可能在同一平面内故填. 【答案】 2如图1 223，A是BCD所在平面外一点，M，N
2、分别是ABC和ACD的重 心，若MN6，则BD_. 图 1223 【解析】连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，则E，F分别为 BC，CD的中点，连结EF.由题意知， AM AE MN EF 2 3， EF 3 26 9， BD2EF18. 【答案】18 3如图 1224，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH， MN是异面直线的图形有_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 1224 【解析】中GHMN，中GMHN且GMHN，GH，MN必相交 【答案】 4 空间四 边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状 是 _. 【解析】易证四边
3、形EFGH为平行四边形，又E，F分别为AB，BC的中点， EFAC，又FGBD，EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所 成的角为90. EFG90，故四边形EFGH为矩形 【答案】矩形 5如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线有_条 【解析】l和n是异面直线， 则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线 和l，n都垂直 【答案】无数 6如图1225，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是梯形，ABCD，则所有与 A1AB相等的角是 _ 图 1225 【解析】因四棱柱ABCDA1B1C1D1中AA1DD1.又ABCD， 所以A1AB与D1DC 相等又由于侧面A1ABB
4、1，D1DCC1为平行四边形，所以A1AB与A1B1B，D1C1C也相 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 等 【答案】D1DC，D1C1C，A1B1B 7如图1 226，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC 的中点，则下列叙述正确的是_ 图 1226 CC1与B1E是异面直线； C1C与AE共面； AE，B1C1是异面直线； AE与B1C1所成的角为60 . 【解析】CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故错；AE与BC垂直，BCB1C1， AEB1C1，故错 【答案】 8如图 1 227，过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB
5、，AD， AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 _条 图 1227 【解析】连结AC1(图略 )，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别 作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等故 这样的直线l可以作 4条 【答案】4 二、解答题 9如图 1228，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点 求证： 四边形B1EDF是平行四边形 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 1228 【证明】如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.E是AA1的中点，EQ綊 A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊
6、B1C1， EQ綊B1C1(平行公理 )，四边形EQC1B1为平行四边形，B1E綊C1Q. 又Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，QD綊C1F，四边形DQC1F为平行四边 形，C1Q綊DF.又B1E綊C1Q，B1E綊DF，四边形B1EDF是平行四边形 10如图 1229所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB， VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角 . 图 1229 【解】因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BCDE，因此ABC是异面直线 DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以ABC是以 ACB为直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故
7、异面直线DE与AB所成的角为45. 能力提升 1一个正方体纸盒展开后如图1230，在原正方体纸盒中有下列结论： 图 1230 ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD. 以上结论中正确的是_(填序号 ) 【解析】把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN 是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【答案】 2如图 1231，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则 直线EF与直线D1C所成的角的大小是_ 图 1231 【解析】如图，连结BC1，A1B. BC1EF，A1B
8、CD1，则A1BC1即为EF与D1C所成的角 又A1BC1为 60， 直线EF与D1C所成的角为60. 【答案】60 3如图 1232所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC2，DAAC， DAAB， 若DA1， 且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为_ 图 1232 【解析】如图，取AC的中点F，连结EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC 的中点，EFCD， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角 (或其补角 ) 在 RtABC中，BC2，ABAC，ABAC1，在 RtEAB中，AB1，AE 1 2 AD 1 2，
9、BE 5 2 .在 RtAEF中，AF 1 2AC 1 2， AE 1 2 ，EF 2 2 . 在 RtABF中，AB 1，AF 1 2 ，BF 5 2 . 在等腰三角形EBF中， cosFEB 1 2EF BE 2 4 5 2 10 10 ， 异面直线BE与CD所成角的余弦值为 10 10 . 【答案】 10 10 4如图 1233 所示， ABC和ABC的对应顶点的连线AA，BB，CC 交于同一点O，且 OA OA OB OB OC OC 2 3. 图 1233 (1)求证：ABAB，ACAC，BCBC； (2)求 SABC SABC 的值 . 【解】(1)证明： AABBO，且 AO AO BO BO 2 3， ABAB，同理ACAC，BCBC. (2)ABAB，ACAC且边AB和AB，AC和AC方向都相反， BACBAC， 同理ABCABC，ACBACB， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABCABC且 AB AB AO OA 2 3， SABC SABC 2 3 24 9.