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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12.2 函数的和、差、积、商的导数 已知f(x)x，g(x) 1 x. 问题 1：f(x)、g(x)的导数分别是什么？ 提示：f (x)1，g(x) 1 x2. 问题 2：若Q(x)x 1 x，则 Q(x)的导数是什么？ 提示：y(xx) 1 xx x 1 x x x xxx ， y x1 1 xxx . 当x无限趋近于0 时， y x无限趋近于 1 1 x2， Q(x)1 1 x2. 问题 3：Q(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有什么关系？ 提示：Q(x)f(x)g(x) 导数的运算法则 设两个函数分别为f(x)和g(x)，则 (1)f(x
2、)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)Cf(x)Cf(x)(C为常数 )； (4)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (5) fx gx fxgxfxgx g 2 x (g(x)0) 1对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即f1(x)f2(x) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 fn(x)f1(x)f2 (x)fn(x) 2对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出 现f(x)g(x)f(x)g(x)以及 (5) fx gx fx gx 这样想当然的错误；其次还要特 别注意两个函
3、数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“”，商的导数法则 中分子上是“” 对应学生用书 P9 求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1)yx2log3x；(2)yx3e x； (3)y cos x x ； (4)yxtan x. 思路点拨 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导 精解详析 (1)y (x2log3x) (x2) (log3x) 2x 1 xln 3. (2)y (x3e x) (x3) exx3(ex) 3x2e x x3ex(3x2x3)e x. (3)y cos x x cos xxcos xx x2 x sin xcos x x2 xsin x
4、 cos x x2 . (4)y (xtan x) xsin x cos x xsin xcos xxsin xcos x cos2x 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 sin xxcos xcos xxsin 2x cos 2x sin xcos xx cos 2x . 一点通 (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求 导问题， 要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式， 还要注意挖掘知识的内在联 系及其规律 (2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变 形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数
5、指数幂，然后再求导， 使求导计算更加简化 1若f(x) 1 3x 32x1，则 f(1)_. 解析：f (x) 1 3x 32x1 1 3x 3 (2x) 1x22， 所以f(1)(1)223. 答案： 3 2函数yx(x21)的导数是 _ 解析：y x(x21) (x3x) 3x21. 答案： 3x21 3求下列函数的导数： (1)y ln x x12 x；(2)y sin xcos x 2cos x . 解： (1)y ln x x1 (2x) 1 x x1ln x x1 2 2 xln 2 1 1 xln x x 1 22 xln 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 xxln
6、x1 xx1 22 xln 2. (2)y sin xcos x 2cos x sin x 2cos x 1 2 sin x 2cos x 2cos 2x2sin2x 4cos 2x 1 2cos 2x. 导数运算法则的简单应用 例 2 设f(x)aexbln x，且f(1)e，f(1) 1 e，求 a，b的值 思路点拨 首先求f(x)，然后利用条件建立a，b的方程组求解 精解详析 f(x)(ae x) (bln x) aex b x， 由f (1)e，f( 1) 1 e ，得 aebe， a e b 1 e， 解得 a1， b0， 所以a，b的值分别为1,0. 一点通 利用导数值求解参数问题
7、，是高考的热点问题它比较全面地考查了导数的 应用，突出了导数的工具性作用而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是 解决此类问题的关键 4设f(x)ax 33x22，若 f( 1) 4，则a_. 解析：f(x)ax 33x22， f(x) 3ax 2 6x， f(1)3a6 4，即a 10 3 . 答案： 10 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5若函数f(x) e x x 在xc(c0)处的导数值与函数值互为相反数，求c的值 解：f(x) e x x ，f(c) e c c， 又f (x) e x x e x x2 exx1 x2 ，f (c) e c c1 c2 ， 依
8、题意知f(c)f(c)0， e c c e c c1 c 2 0， 2c1 0得c 1 2. 导数运算法则的综合应用 例 3 已知抛物线yax2bxc通过点P(1,1)，且在点Q(2， 1)处与直线yx 3 相切，求实数a、b、c的值 思路点拨 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组 来确定参数a、b、c的值 精解详析 曲线yax 2 bxc过P(1,1)点， abc1. y 2axb，当x2 时，y 4ab. 4ab 1. 又曲线过Q(2， 1)点， 4a2bc 1. 联立，解得a3，b 11，c9. 一点通 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数
9、，解题时要 充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解解答本题常见的失误是不注意运用点Q(2， 1) 在曲线上这一关键的隐含条件 6已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4， 2，过P，Q分 别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 _ 解析：易知抛物线y 1 2x 2 上的点P(4,8)，Q(2,2)， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 且yx，则过点P的切线方程为y4x8，过点Q的切线方程为y 2x2，联立 两个方程解得交点A(1， 4)，所以点A的纵坐标是4. 答案： 4 7已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1，求f(x)的解析式 解：由
10、f(x)为一次函数可知f(x)为二次函数 设f(x)ax 2 bxc(a0)， 则f (x)2axb. 把f(x)，f(x)代入方程x2f(x)(2x 1)f(x)1 中得： x2(2axb) (2x1)(ax 2 bxc)1， 即(ab)x2 (b2c)xc10. 要使方程对任意x恒成立， 则需有ab，b2c，c10， 解得a2，b2，c 1， 所以f(x)2x22x 1. 1应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前， 先利用代数、 三角恒等变形对函数进 行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避
11、免出错 2对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等 价性 对应课时跟踪训练(四) 一、填空题 1(广东高考 )曲线y 5e x3 在点 (0， 2) 处的切线方程为 _ 解析：由y 5e x3 得， y 5e x，所以切线的斜率 ky| x 0 5，所以切线方 程为y2 5(x0)，即 5xy20. 答案： 5xy2 0 2设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0 _. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：f (x)ln xx 1 xln x1. f(x0)2， 1ln x02， x0e. 答案： e 3函数f(x) e xcos x，x0,2
12、，且 f(x0)0，则x0_. 解析：f (x)e xcos xexsin x， 由f (x0)0，得 ex0cos x0ex0sin x00， cos x0 sin x0，即 tan x01. 又x00,2 ，x0 4或 5 4 . 答案： 4或 5 4 4(江西高考 )若曲线yx1(R)在点 (1,2)处的切线经过坐标原点，则_. 解析：由题意y x 1，在点 (1,2)处的切线的斜率为 k，又切线过坐标原点，所以 20 102. 答案： 2 5曲线y x 2x1在点 (1,1)处的切线方程为 _ 解析：y 1 2x1 2，当x1 时，y 1. 切线方程为y1 (x1)，即xy20. 答案
13、：xy20 二、解答题 6求下列函数的导数： (1)ysin x3x2x； (2)y(1cos x)(2x2e x) 解： (1)y (sin x3x2x) (sin x) (3x2)x cos x6x1. (2)y (1cos x)(2x2ex) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1cos x)(2x2ex)(1cos x)(2x2e x) sin x(2x2e x)(1cos x)(4xex) e x(1 cos xsin x) 2x2sin x4x(1cos x) 7设定义在 (0， )上的函数f(x)ax 1 ax b(a0) (1)求f(x)的最小值； (2)若曲线yf(x
14、)在点 (1，f(1)处的切线方程为y 3 2 x，求a，b的值 解： (1)法一：由题设和基本不等式可知， f(x)ax 1 ax b2b， 其中等号成立当且仅当ax1， 即当x 1 a 时，f(x)取最小值为2b. 法二：f(x)的导数f(x)a 1 ax 2 a2x21 ax 2 ， 当x 1 a时， f(x)0，f(x)在 1 a ，上单调递增； 当 0x 1 a 时，f(x)0，f(x)在 0， 1 a 上单调递减 所以当x 1 a时， f(x)取最小值为2b. (2)由题设知，f(x)a 1 ax 2，f(1)a 1 a 3 2， 解得a2 或a 1 2 (不合题意，舍去) 将a
15、2代入f(1)a 1 ab 3 2， 解得b 1.所以a2，b 1. 8已知函数f(x) 1 3x 32x2 ax(xR，aR)，在曲线yf(x)的所有切线中，有且仅有 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一条切线l与直线yx垂直求a的值和切线l的方程 解：f(x) 1 3x 32x2 ax， f(x)x2 4xa. 由题意可知，方程f (x)x24xa 1 有两个相等的实根 164(a1)0，a3. f(x)x2 4x3 1. 化为x24x40. 解得切点横坐标为x2， f(2) 1 382 423 2 3. 切线l的方程为y 2 3( 1)( x2)， 即 3x3y80. a3，切线l的方程为3x3y80.