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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 疱工巧解牛 知识 ?巧学 一、正弦函数、余弦函数的图象 1.利用单位圆中正弦线表示正弦值的方法，作出点(， sin )，0，2 . 由单位圆中的正弦线,可知只要能作出角， 就能利用几何法作出对应的正弦值sin .如图 1-4-1，当 02时，在单位圆中对任意的角，它的弧度数恰好等于角所对的弧长AP， 我们可设想把单位圆的圆周拉直到x 轴上，使 A 点与原点重合， 这时点 P 就落到 x 轴上的 (， 0)点，由于sin =MP，所以平移MP 至此，就可得到一点(， sin ).也就是说，要画出点P(， sin )
2、，只需把角的正弦线MP 向右平移，使M 点与 x 轴上表示数的点 M1重合，得到线段 M1P1，由于点 P 和 P1的纵坐标相同，都等于sin，所以点 P1(， sin )是以弧 AP 的长为横坐 标，正弦线MP 的数量为纵坐标的点. 图 1-4-1 2.正弦函数y=sinx，x 0，2的图象 (1)利用单位圆中的正弦线作y=sinx，x 0，2的图象.如图 1-4-2，在直角坐标系的x 轴 的负半轴上任取一点O1，以 O1为圆心作单位圆，从圆O1与 x 轴的交点A 起把圆弧分成12 等份，过圆O1上各分点分别作x 轴的垂线，得到对应于角0， 6 ， 3 ， 2 ， 2等分点 的正弦线 .相应
3、地，再把 x 轴上从 0 到 2这一段分成 12 等份 ,再把角 x 所对应的正弦线向右平 移， 使它的起点与x 轴上表示数x 的点重合，最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来， 就得到了函数y=sinx ，x 0，2的图象. 图 1-4-2 (2)正弦曲线 根据诱导公式一，终边相同的角的三角函数值相等,可知对于长度为2的函数 y=sinx，x 2k， 2(k+1)，kZ 且 k0 的图象，与函数y=sinx，x 0，2的图象的形状完全 一致，只是位置不同.我们只需把y=sinx，x 0， 2的图象左、右平移 (每次 2个单位)， 就可得到正弦函数y=sinx，x R 的图象 (如图 1-4
4、-3). 图 1-4-3 正弦函数的图象叫做正弦曲线. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)余弦曲线 根据诱导公式y=cosx=sin(x+ 2 )， 可知 y=cosx 与 y=sin(x+ 2 )是同一函数， 而 y=sin(x+ 2 ) 的图象可由y=sinx 的图象向左平移 2 个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象 向左平移 2 个单位而得到的.如图 1-4-4. 图 1-4-4 余弦函数的图象叫做余弦曲线. 事实上， y=cosx=sin(x- 2 3 )，可知余弦函数y=cosx，xR 与函数 y=sin(x- 2 3 )也是同一 函数，余弦函数的图象也可以通
5、过将正弦曲线向右平移 2 3 个单位而得到. 学法一得作图象时，函数的自变量要用弧度制，只有自变量与函数值均为实数(即 x 轴、 y 轴上的单位统一)，作出的图象才正规，且利于应用. 利用正弦线为端点连线作函数图象时，份数越多，图象越精确，取6 的倍数最为适宜， 它既保证了点的个数足够多，又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点. 由 y=sinx 的图象变换得到y=cosx 的图象，平移的量是不唯一的，平移的方向也是可左 可右的 . 二、 “五点法”作草图 通过正弦曲线、 余弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间，-4， -2， -2， 0 ， 0，2， 2， 4，分段，这些闭区间的长
6、度都等于2个单位长度，并且在每一个闭区 间上曲线的形状完全一致.因此，要研究曲线的形状，只需选一个闭区间，在这里，我们不 妨选择 0，2，显然，有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用.对于正弦曲线， 它们是 (0，0)，( 2 ，1)，(， 0)，( 2 3 ，-1)，(2， 0)；对于余弦曲线，它们是(0，1)，( 2 ， 0)，(， -1)，( 2 3 ，0)，(2， 1).因此，在精确度要求不太高时，可先找出这五个关键点，再 用光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点法”. 学法一得“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交 点
7、. 典题 ?热题 知识点一“五点法”作图 例 1 用“五点法”画出下列函数在区间0，2上的简图 . (1)y=2sinx；(2)y=1-sinx；(3)y=cosx-1. 思路分析： 在区间 0，2上按五个关键点列表、描点、连线，并用光滑的曲线将它们连 接起来 . 解： (1)按五个关键点列表： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x 0 2 2 3 2 sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图 1-4-5). 图 1-4-5 方法归纳函数 y=2sinx 的图象是把y=sinx 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的二倍而得到
8、的. (2)按五个关键点列表： x 0 2 2 3 2 cosx 1 0 -1 0 1 cosx-1 0 -1 -2 -1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图 1-4-6). 图 1-4-6 方法归纳y=f(x)y=f(x)+a(a0)，y=f(x)y=f(x)-a(a 0)，记 忆的口诀是“上加下减”. 知识点二图象的应用 例 2 方程 sinx=lgx 的实根的个数有( ) A.1 个B.2 个C.3 个D.无穷多个 思路分析： 如图 1-4-7，在同一直角坐标系中作函数y=sinx 与 y=lgx 的图象 . 图 1-4-7 由图中看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中 x
9、i(1，10)(i=1，2，3)是方程 sinx=lgx 的解， 此方程再无别的解. 答案： C 方法归纳像这种含有三角式、指数式、 对数式的方程叫做超越方程，用初等解方程的方法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 不能求它的解,通常把这类方程分解成两个函数，把求方程的解转化为求两个函数的交点问 题. 例 3 写出使 sinx 2 1 (xR)成立的 x 的取值集合 . 思路分析： 可借助于单位圆或正弦曲线求解. 图 1-4-8 解： 如图 1-4-8，在 0x2中满足 sinx 2 1 的角 x 的集合为 x| 6 x 6 5 ；当 xR 时 集合为 x|2k + 6 x2k + 6
10、5 ,kZ. 巧解提示： 由 y=sinx 在 0, 2 ,( 2 , )两区间中取值为正且分别是单调增与单调减函数. 又 sinx 2 1 ，则有 sinxsin 6 或 sinxsin 6 5 ，所有在 0,2中，满足 sinx 2 1 的角的集 合为 x| 6 x 2 x| 2 x 6 5 =x| 6 x 6 5 .以下同解 . 方法归纳利于单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时，可先在长度为0,2的区间上找 到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域上去. 问题 ?探究 思想方法探究 问题三角函数最重要的特征之一就是它的周期性，推广到一般的情况，对于函数y=f(x) ， 如果存在一个不为零的
11、常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x) 都成立，那 么就把函数y=f(x) 叫做周期函数， 不为零的常数T 叫做这个函数的周期.那么是否所有周期函 数都有最小正周期？对于周期函数的学习还应该注意什么问题？ 探究过程： 首先， 周期函数的定义是对定义域中的每一个x 值来说的， 只有个别的x 值满足 f(x+T)=f(x) 或 只 差 个 别 的x 值 不 满 足f(x+T)=f(x) 都 不 能 说T是f(x) 的 周 期 .例 如 sin( 4 + 2 )=sin 4 ，但是 sin( 3 + 2 ) sin 3 .就是说， 2 不能对 x 在定义域内的每一个值都 有
12、 sin(x+ 2 )=sinx，因此 2 不是 sinx 的周期 . 其次，从等式f(x+T)=f(x) 来看，应强调的是给自变量x 本身加的常数才是周期，如 f(2x+T)=f(2x) ，T 不是周期，而应写成f(2x+T)=f 2(x+ 2 T )=f(2x) ，则 2 T 是 f(x)的周期 . 第三， 对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正 周期 .但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数f(x)=x(C 为常数 )，xR，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有 积一时之跬步臻千里之遥程
13、马鸣风萧萧整理 f(x+T)=C ，因此 f(x)是周期函数，由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小 者，所以f(x)没有最小正周期. 对于周期函数还应当注意，“f(x+T)=f(x) ”是定义域内的恒等式，即它对定义域内的每 一个值都成立， T 是非零常数， 周期 T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值； 周期函数 的周期不止一个，若T 是周期，则kT(k N *)一定也是周期；在周期函数 y=f(x) 中， T 是周 期，若 x 是定义域内的一个值，则x+kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是 无限集 . 探究结论： 周期函数并不都有最小正周期；周期函数的定义域一定无上界或无下界.