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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 15.1 & 1.5.2 曲边梯形的面积定积分 对应学生用书P24 曲边梯形的面积 如图，阴影部分是由直线x1，x2，y0 和函数f(x)x2所围成的图形， 问题 1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？ 提示：不能 问题 2：若把区间 1,2分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能 近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？ 提示：可以把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解 问题 3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能 更精确地求出阴影部分的面积呢？ 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确 1曲边梯形
2、的面积 将已知区间 a，b等分成n个小区间，当分点非常多(n很大 )时，可以认为f(x)在小区间 上几乎没有变化(或变化非常小 )，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小 矩形一边的长于是，可用f(xi)x来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)xf(x2) xf(xn)x表示了曲边梯形面积的近似值 2求曲边梯形的面积的步骤 求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 分割 以直代曲 作和 逼近 定积分 设函数f(x)在区间 a，b上有定义，将区间a，b等分成n个小区间，每个小区间长度为 xx ba n ，在每个小区间上取一点
3、，依次为x1，x2，xi，xn，作和Snf(x1)x f(x2)xf(xi)xf(xn)x. 如果当x0(亦即n )时，SnS(常数 )，那么称常数S为函数f(x)在区间 a，b上的 定积分记为S b af(x)dx. 其中，f(x)称为被积函数，a，b称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限 定积分的几何意义 问题 1：试利用定积分的定义计算 0 1 xdx的值 提示：将区间0,1等分成n个小区间，则第i个小区间为 i1 n ， i n ，第i个小区间的面 积为 Sif i n 1 n i n 1 n， 所以Sn i 1 n Si i 1 n i n 1 n 1 n2(12 3 n) 1
4、 n2 nn1 2 1 2 1 2n， 当n时，Sn 1 2，所以 0 1 xdx 1 2. 问题 2： 直线x0，x1，y0 和函数f(x)x围成的图形的面积是多少？ 提示：如图，S 1 21 1 1 2. 问题 3：以上两个问题的结果一样吗？ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示：一样 问题 4：以上问题说明了什么道理？ 提示：定积分 a b f(x)dx(f(x)0)的值等于直线xa，xb，(ab)，y0 和曲线yf(x)所 围成的面积 一般地，定积分 a b f(x)dx的几何意义是，在区间a，b上曲线与x轴所围图形面积的代 数和 (即x轴上方的面积减去x轴下方的面积) 1
5、“分割” 的目的在于更精确地实施“以直代曲” ，例子中以 “矩形” 代替“曲边梯形” ， 分割越细，这种“代替”就越精确当n越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形 的面积” 2定积分 a b f(x)dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分 区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如 a b x2dx a b t2dt. 对应学生用书P26 利用定积分的定义求曲边梯形的面积 例 1 求由直线x1，x2 和y0 及曲线yx3围成的图形的面积 思路点拨 依据求曲边梯形面积的步骤求解 精解详析 (1)分割 如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形， 用分点 n1 n ，
6、 n2 n ， nn1 n 把区间 1,2等分成n个小区间：1， n1 n ， n1 n ， n2 n ， ni1 n ， ni n ， nn1 n ，2，每个小区间的长度为xn i n ni1 n 1 n， 过各分点作x轴的垂线，把曲 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 边梯形ABCD分割成n个小曲边梯 形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn. (2)以直代曲 取各小区间的左端点i，用 3 i为一边长， 以小区间长x 1 n为其邻边长的小矩形面积近似 代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为 Si 3 ix ni1 n 3 1 n(i1,2,3， n) (3)作和 因为每一个小矩形
7、的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形 面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即S i 1 n Si i 1 n ni1 n 31 n. (4)逼近 当分割无限变细，即x0 时，和式的值S. 因为 i 1 n ni1 n 31 n 1 n4 i1 n (ni1)3 1 n4 i 1 n (n1)3 3(n1)2i3(n1)i2i3 1 n4n(n 1) 33(n1)2n n1 2 3(n1) n 6 (n1)(2n1) 1 4n 2(n1)2， 当n时， S i1 n ni1 n 31 n 1 3 21 1 4 15 4 . 一点通 四边形面积的求解 (1)规则四
8、边形：利用四边形的面积公式 (2)曲边梯形 思想：以直代曲； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 步骤：分割以直代曲作和逼近； 关键：以直代曲； 结果：分割越细，面积越精确 1已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22t(单位： km/h) ，求它在 1 t2 这段时间行驶的路程是多少？ 解：将时间区间1,2等分成n个小区间， 则第i个小区间为1 i1 n ，1 i n ， 在第i个时间段的路程近似为Siv1 i n t 1 i n 22 1 i n 1 n， i1,2， n. 所以Sn i 1 n Si i 1 n 1 i n 22 1 i n 1 n 1 n3(n1) 2
9、(n2)2(n3)2 (2n)2 2 n2(n1)(n2) 2n 1 n3 2n2n14n1 6 n n12n1 6 2 n2 nn12n 2 1 3 2 1 n 4 1 n 1 6 1 1 n 2 1 n 3 1 n， n时， 1 3 2 1 n 4 1 n 1 6 1 1 n 2 1 n 3 1 n S. 则当n时， 1 3 2 1 n 4 1 n 1 6 1 1 n 2 1 n 3 1 n 2 3. 由此可知，S 2 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以这段时间行驶的路程为 2 3 km. 利用定积分的几何意义求定积分 例 2 利用定积分的几何意义，求： (1) 33 9
10、x2dx； (2) 0 3 (2x1)dx. 思路点拨 a b f(x)dx的几何意义：介于xa，xb之间，x轴上、下相应曲边平面图 形面积的代数和 精解详析 (1)在平面上y9x2表示的几何图形为以原点为圆心以3 为半径的上半 圆(如图 (1)所示 ) 其面积为S 1 2 3 2 9 2 . 由定积分的几何意义知 33 9x2dx 9 2 . (2)在平面上，f(x)2x1 为一条直线 0 3 (2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3 围成的直角梯形OABC的面积 (如图 (2) 所示 ) 其面积为S 1 2(17)312. 根据定积分的几何意义知 0 3 (2x1)dx12. 一点
11、通 (1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间， 正确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，注意分割点的确定 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法： 由三条直线xa、xb(a0)，求实数a的值 解：由定积分的几何意义知： 0 a xdx 1 2 aa 1(a0)， 则有a2. 7计算定积分 0 5 (3x6)dx. 解：如图， 计算可得A的面积为 27 2 ，B的面积为6，从而 0 5 (3x6)dx 27 2 6 15 2 . 8利用定积分的几何意义求： 0 1 1x2dx. 解：被积函数为y1x2，其表示的曲线为以原点为圆心，1 为半径的四分之一圆， 由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面积， 所以 1 0 1x2dx 41 2 4.