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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 平面直角坐标系 对应学生用书P1 自主学习 1平面直角坐标系与曲线方程 (1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对 是一一对应的 (2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系： 曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系： 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0 的解； 以方程f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线C上 那么，方程f(x，y)0 叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)0 的曲线 (3)一些常见曲线的方
2、程： 直线的方程：axbyc0； 圆的方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的方程为(xa)2 (yb)2r2； 椭圆的方程：中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆方程为 x 2 a 2 y 2 b21； 双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线方 程为 x2 a 2 y2 b2 1； 抛物线的方程：顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为 p 2 的抛 物线方程为y22px. 2平面直角坐标系中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度， 将会对图形产生影 响 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整
3、理 合作探究 1如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 提示：如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； 如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； 使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上； 如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程 2平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？ 提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小 对应学生用书P1 平面直角坐标系中曲线方程的确定与应用 例 1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 3 2 ，且G上一点 到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程 (2)在边长为2 的正ABC中，若P为A
4、BC内一点，且 |PA| 2 | PB| 2| PC| 2，求点 P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线 思路点拨 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合 思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等解答此题中(1)需要根据已知 条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解， 再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线 精解详析 (1)由已知设椭圆方程为 x2 a 2 y2 b2 1(a b0)， 则 2a12，知a6.又离心率e c a 3 2 ，故c33. b2a 2 c 236279. 椭圆的标准方程为 x2 36 y2
5、 9 1. (2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC| 2，B(1,0)，C(1,0)，则A(0，3)； |PA| 2| PB| 2| PC| 2， x2(y3)2(x1) 2 y2(x1)2y 2. 化简得x2(y3)24. 又P在ABC内，y0. P点的轨迹方程为x2(y3)24(y0) 其曲线如上图所示为以(0，3)为圆心，半径为2 的圆在x轴上半部分圆孤 1求曲线方程的方法： (1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法； (2)求动点轨迹方程常用的方法有： 直接
6、法： 如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接 求曲线的方程，步骤如下： a建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； b写出适合条件P的点M的集合PM|P(M)； c用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)0； d化简方程f(x，y)0； e检验或证明d 中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的， 则 e 可以省略 定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程 代入法 (相关点法 )：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已 知曲线上，则可先列出关于x，y，
7、x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 知曲线方程即为所求 参数法：动点P(x，y)的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其 轨迹方程 2根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线， 但要注意是曲线的全部还是局部 1在ABC中，底边BC12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为 30，建立 适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程 解：以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，过原点且与BC垂直的直线为y轴建立 平面直角坐标系， 则B(6,0)，C(6,0)，|BD| |CE| 3
8、0， 可知 |GB| |GC| 2 3(| BD| |CE|) 20， 重心G的轨迹是以 (6,0)，(6,0)为焦点， 2a20 的椭圆， 且y0，其轨迹方程为： x2 100 y 2 641(x 10) 利用坐标法解决平面几何问题 例 2 如图， 以 RtABC的两条直角边AB，BC向三角形外作正方形ABDE和正方形 BCFG，连接EC，AF，且EC，AF交于点M，连接BM.求证：BMAC. 思路点拨 本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题中 的应用， 解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线的方 程，求出kBM，kAC，证明kBMkAC
9、 1，即可 精解详析 如图， 以两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角坐 标系设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 B(0,0)，C(b,0)，E(a，a)，F(b，b) 直线AF： yb ab xb 0b， 即(ab)xbyab0； 直线EC：y 0 a0 xb ab， 即ax(ab)yab0. 解方程组 abxbyab0， axabyab0， 得 x a2b a2abb2， y ab 2 a 2 abb2. 即M点的坐标为 a 2b a 2ab b2， ab 2 a 2 abb2 . 故kBM b a .又kAC
10、0a b0 a b， kBMkAC 1， BMAC. 坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题 中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第 三步，把代数运算结果翻译成几何结论 2已知正ABC的边长为a，在平面上求一点P，使 |PA| 2| PB| 2| PC| 2 最小，并求 出此最小值 解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标 系， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则A0， 3 2 a，B a 2，0 ， C a 2，0 . 设P(x，y)， 则|PA| 2| PB| 2|
11、 PC| 2 x2y 3 2 a 2 x a 2 2 y2x a 2 2 y2 3x23y23ay 5a 2 4 3x23y 3 6 a 2 a 2a2， 当且仅当x0，y 3 6 a时，等号成立， 所求最小值为a 2，此时 P点坐标为P0， 3 6 a，它是正ABC的中心 平面直角坐标系中的伸缩变换 例 3 在下列平面直角坐标系中，分别作出 x2 25 y2 9 1 的图形 (1)x轴与y轴具有相同的单位长度； (2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2 倍； (3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 1 2倍 思路点拨 本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想，解 决此
12、题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x轴、y轴单位长度的变化情况，再作出图形 即可 精解详析 (1)建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，则 x2 25 y 2 9 1 的 图形如图 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的 1 2，则 x2 25 y2 9 1 的 图形如图 . (3)如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度缩小为原来的 1 2，则 x2 25 y2 91 的图形 如图 . 一般地，在平面直角坐标系xOy中： (1)使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k0)，则当k1 时，x轴与y轴具有
13、 相同的单位长度；即为 xx， yy 的伸缩变换，当k1 时，相当于x轴上的单位长度保持 不变，y轴上的单位长度缩小为原来的 1 k，即为 xx， y 1 ky 的伸缩变换，当00，点A的坐标为 (1,1)，点B在抛物线yx2上运动，点Q满 足 BQ uuu r QA uur ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满 足 QM uuu u r MP uuu r ，求点P的轨迹方程 命题立意 本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、性 质与运算、 动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全 面考核综合数学素养 自主尝试 由 QM uuuu r MP uuu
14、 r 知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上， 故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)， 则x2y0(yx2)，即 y0 (1)x2 y. 再设B(x1，y1)，由 BQ uuu r QA uur ， 即(xx1，y0y1)(1x,1y0)， 解得 x11 x， y11 y0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 将式代入式，消去y0，得 x11 x， y11 2x2 1 y. 又点B在抛物线yx2上，所以y1x2 1， 再将式代入y1x21， 得(1)2x2(1)y(1)x2， (1)2x2(1)y(1)2x2 2(1)x 2， 2(1)x(1)y(1)0. 因0，两边
15、同除以(1)，得 2xy10. 故所求点P的轨迹方程为y2x1. 对应学生用书P4 一、选择题 1方程x2xy0 的曲线是 ( ) A一个点B一条直线 C两条直线D一个点和一条直线 解析：选C 方程变形为x(xy)0，x 0 或xy0，而方程x0，xy0 表示 的是直线， C 正确 2 已知ABC的底边BC长为 12， 且底边固定， 顶点A是动点，且 sin Bsin C 1 2sin A， 若以底边BC为x轴、 底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是( ) A.x 2 9 y2 27 1 B.x 2 9 y2 27 1(x 3) C.x 2 27 y2 9 1 D. x2
16、 27 y2 9 1(x 3) 解析：选 B 由题意知，B(6,0)，C(6,0) 由 sin Bsin C 1 2 sin A得bc 1 2 a6， 即|AC| |AB| 6. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以点A的轨迹是以B( 6,0)，C(6,0)为焦点， 2a6 的双曲线的左支且y0.其方程为 x2 9 y2 27 1(xac，b，a，c成等差数列时，顶点A的轨迹方程 (2)在x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 1 2倍的平面直角坐标系中 作出 (1)中轨迹 解： (1)b，a，c成等差数列， bc2a22 4. 即|AB| |AC| 4|BC| 2 符合椭圆定义条件 动
17、点A(x，y)的轨迹是椭圆，且 2a4， 2c2， a2， c1， A点的轨迹方程是 x2 4 y2 3 1. 由于bc，即 |AC|AB| ，可知A点轨迹是椭圆左半部分，还必须除去点(0，3)， (0，3) A，B，C构成三角形，必须除去点(2,0) 所求轨迹方程为 x2 4 y 2 3 1 (2b0，a，b为常数 )，动圆C1： x2y2t 2 1，bt1a.点 A1，A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相 交于A，B，C，D四点 (1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程； (2)设动圆C2：x2y2t22与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2. 若矩形ABCD与矩
18、形ABCD的面积相等，证明：t21t22为定值 解：(1)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y y1 x1a (xa)， 直线A2B的方程为y y1 x1a (xa) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由得y2 y21 x2 1a 2(x 2 a 2) 由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故 x 2 1 a 2 y 2 1 b21.从而 y21b21 x21 a 2，代入得 x 2 a2 y 2 b21(x a， y0) (2)设A(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得4|x1|y1| 4|x2|y2| ， 故x21y21x22y22. 因为点A，A均在椭圆上，所以 b2x211 x2 1 a 2 b2x221 x2 2 a 2 . 由t1t2，知x1x2，所以x21x22a 2.从而 y21y22b2， 因此t21t22a 2 b2为定值