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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一章 坐标系 复习课 整合网络构建 警示易错提醒 1关于伸缩变换的定义的易错点 对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式 x x（0）， y y（0）， 要区分 (x，y)与(x，y) 的意义在应用时必须注意：点(x，y)在原曲线上，点(x，y )在变换后的曲线上，因此点 (x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x，y)的坐标满足变换后的曲线方程 2关注直角坐标与极坐标互化的疑难点 由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限，才能确定的大小 3处理极坐标系问题中的两个易错点 (1)当极坐标方程中仅含(不含)时，常常忽略的正负导致判断错误 (2) 平 面
2、 直 角 坐 标 系 中 两 点A(x1，y1) ，B(x2，y2) 之 间 的 距 离 |AB| （x1x2） 2（ y1y2） 2，极坐标系中两点 P1(1，1)，P2(2，2)之间的距离|P1P2| 2 1 2 2212cos（12）.在应用时往往因记忆不清而导致计算错误 专题一平面上的伸缩变换 1.点P(x，y)变为点Q(x，y)的伸缩变换为： x x（0）， y y（0）. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2变换前的曲线方程、变换后的曲线方程、伸缩变换三者，若知道其中的两个，我们 可以求出第三个但在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新旧坐标，P(x，y)是变 换前的坐
3、标，Q(x， y)是变换后的坐标 例 1 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 x 2x， y 2y 后，曲线C变成曲线 (x 5)2(y 6)21，求曲线C的方程，并判断其形状 点拨：考查伸缩变换 x x（0）， y y（0）， 将新坐标代入到已知曲线中，即可得到原曲线 方程 解： 将 x 2x， y 2y 代入 (x 5)2(y 6) 21 中得： (2x5)2(2y6)21， 化简得曲线C的方程为x 5 2 2 (y3)2 1 4， 则该曲线是以 5 2， 3 为圆心， 1 2为半径的圆 归纳升华 函数yf( x)(xR)(其中0，且1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的横坐标 缩
4、短 (当1 时)或伸长 (当 00，且A1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A1 时)或缩短 (当 00）， y y（0）， 在使用时，需分清新旧坐标 变式训练 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换： x 3x， y 2y， 求曲线y22x经过 变换后所得的曲线方程 解： 设P(x，y)是直线l上任意一点 由伸缩变换： x 3x， y 2y， 得 x x 3 ， y 1 2 y， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 代入y22x，得 1 4y 22 3x， 即y 28 3x， 因此变换后曲线的方程为y 2 8 3 x. 专题二直线和圆的极坐标方程 直线和圆的极坐标方程的
5、求法和应用是一种常见的题型，一般思路是将曲线上的点满足 的几何条件用坐标表示出来，然后化简、整理 应掌握几种常见直线和圆的极坐标方程，如 2acos (a 0)，2asin (a0)，r(r0)及cos a，sin a，2acos()( 2k，kZ) 例 2 在直角坐标系Oxy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 3 1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点 (1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程 解： (1)由cos 3 1得1 2cos 3 2 sin 1， 所以曲线C的直角坐标方程为x3y
6、2， 当0 时，2，所以M(2，0)， 当 2时， 23 3 ，所以N 23 3 ， 2 . (2)点M的直角坐标为(2，0)， 点N的直角坐标为0， 23 3 ， 所以MN的中点P的直角坐标为1， 3 3 ， 所以点P的极坐标为 23 3 ， 6 ， 所以直线OP的极坐标方程为 6( R) 归纳升华 此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力，应掌握把极坐标方程化为直角 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 坐标方程的常用方法 变式训练 在极坐标系中，P是曲线12sin 上的动点，Q是曲线12cos 6 上 的动点，试求 |PQ| 的最大值 解： 因为12sin ，所以 212 s
7、in ， 所以x2y212y0， 即x2(y6)236. 又因为12cos 6 ， 所以 212cos cos 6sin sin 6 ， 所以x2y263x6y0， 所以 (x33)2(y3)236， 所以 |PQ|max6 6（ 33） 23218. 专题三极坐标与直角坐标互化 如图所示，互化公式为： xcos ，ysin 2 x2y2，tan y x（x0） 对于 tan y x中 值的确定，还要根据点(x，y)所在的象限，确定一个适合的角度 例 3 O1和O2的极坐标方程分别为 4cos ， 4sin . (1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过O1和O2交点的直线
8、的直角坐标方程 解： (1)xcos ，ysin ， 由4cos 得 24 cos ， 所以x2y24x， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即x2y24x0 为O1的直角坐标方程 同理x2y24y0 为O2的直角坐标方程 (2)由 x2y 2 4x0， x2y2 4y0， 解得 x10， y10， x22， y2 2. 即O1，O2交于点 (0，0)和(2， 2) 过交点的直线的直角坐标方程为yx. 归纳升华 极坐标和直角坐标互化时，要注意必须是极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合， 且两种坐标系取相同的单位长度 变式训练 (2016北京卷 )在极坐标中，直线cos 3sin 10
9、 与圆 2cos 交于A，B两点，则 |AB| _. 解析： 因为xcos ，ysin ， 所以直线的直角坐标方程为x3y 10. 因为 2cos ，所以 2(sin2 cos 2 )2cos ， 所以x2y22x. 所以圆的直角坐标方程为(x1)2y2 1. 因为圆心 (1，0)在直线x3y10 上， 所以AB为圆的直径，所以|AB| 2. 答案： 2 专题四数形结合思想 运用坐标方法研究曲线的形状与性质是典型的数形结合思想的体现坐标系的建立， 使 直观的几何图形问题得以用数量运算得以解决 例 4 在极坐标系中， 和极轴垂直且相交的直线l与圆 4相交于A，B两点，若|AB| 4，求直线l的极
10、坐标方程 解： 设直线l与极轴相交于点C.如图所示，在RtOAC中， |OC| |OA| 2| AC| 2 42 2 22 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 设直线l上的任意一点为M(，)， 则直线l的极坐标方程为cos 23. 归纳升华 求曲线的极坐标方程与求其直角坐标方程的方法类同，就是找出动点M的坐标与之 间的关系，然后列出方程f(，) 0，再化简并检验特殊点 变式训练 在极坐标系中，求半径为2，圆心为C2， 3 2 的圆的极坐标方程 解： 由题意知圆经过极点O，OA为圆的一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外 的任意一点，如图所求， 则|OA| 22，OMMA， 在 R
11、tOAM中， |OM| |OA| cosAOM， 即4cos 3 2 ，故 4sin . 经验证知点O(0， 0)，A4， 3 2 的坐标皆满足上式， 所以满足条件的圆的极坐标方程为 4sin . 专题五转化与化归思想 “化归” 是转化与归结的简称，是对数学知识的迁移与数学解题方法的形象概括，表现 为化此为彼，化难为易，化隐为显，具体地说，就是化抽象为具体，化未知为已知，化一般 为特殊等 转化有等价转化与非等价转化两种，非等价转化常用于证明题或不等式，等价转 化常用于解方程或不等式在0，02时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化也 属于等价转化，同时要注意以下两点： (1)互化条件：极点与原点
12、重合，极轴与x轴正半轴重合，单位长度相同 (2)互化公式： xcos ， ysin 或 2 x2y 2， tan y x（ x 0）， 由点 (x，y)所在的象限确定 例 5 已知极坐标方程C1： 10，C2：sin 3 6. (1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)求C1，C2交点间的距离 解： (1)由C1：10，得 2100， 所以x2y2100，所以C1为圆心在 (0，0)，半径等于10 的圆 由C2：sin 3 6， 得1 2 sin 3 2 cos 6， 所以y3x12，即3xy120，所以C2表示直线 (
13、2)由于圆心 (0，0)到直线3xy 120 的距离为 d 12 （3） 2（ 1）26 r10， 所以直线被圆截得的弦长，即C1，C2交点间的距离为 |C1C2| 2r2d22102 6 216. 归纳升华 将极坐标化为直角坐标，确定圆的直角坐标方程，再将圆的直角坐标方程化成圆的极坐 标方程 变式训练 在极坐标系中，求圆8sin 上的点到直线 3( R)距离的最大值 解： 圆8sin 化为直角坐标方程为x2y28y0，即x2 (y 4) 216，直线 3( R)化为直角坐标方程为y3x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直 线的距离再加上半径 圆心 (0，4)到直线y3x的距离为 4 （3） 2 12 2，又圆的半径 r4， 所以圆上的点到直线的最大距离为6.