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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12.1 正、余弦定理在实际中的应用 测量中的基本术语 提出问题 李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中 问题 1：李尧家在学校的哪个方向？ 提示：东南方向 问题 2：能否用角度再进一步确定其方位？ 提示：可以，南偏东45或东偏南45 . 导入新知 实际测量中的有关名称、术语 称定义图示 基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水 平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水 平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方 向线是指正北或正南或正东
2、或正西，方向角小 于 90) 南偏西 60(指以正南方向为始边， 转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过 的水平角 化解疑难 解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三 角形中哪些元素，需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 测量高度问题 例 1 如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一 是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200 米， 在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和 30，且CBD 30， 求塔高AB. 解 在 RtABC中，A
3、CB45，若设ABh，则BCh；在 RtABD中，ADB 30，则BD3h. 在BCD中，由余弦定理可得 CD2BC 2 BD22BCBDcosCBD， 即 200 2 h2(3h)2 2h3h 3 2 ， 所以h2200 2，解得 h200(h 200舍去 )， 即塔高AB为 200米 类题通法 测量高度问题的要求及注意事项 (1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上 所成的角 )，又有仰 (俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面 图形两个图，以对比分析求解 (2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是
4、哪一点的方 向角从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解 题意时将可能产生偏差 活学活用 (湖北高考 )如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一 山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向 上，仰角为30，则此山的高度CD _m. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：由题意，在ABC中，BAC30， ABC180 75 105，故ACB45. 又AB 600 m，故由正弦定理得 600 sin 45 BC sin 30 ， 解得BC3002 m. 在 RtBCD中，CDBCtan
5、30 3002 3 3 100 6(m) 答案： 1006 测量角度问题 例 2 如图， 在海岸A处，发现北偏东45方向， 距A处 (31)n mile 的B处有一艘走私船， 在A处北偏西75的方向， 距离A处 2 n mile 的C处的缉私船奉命以103 n mile/h 的速度追截走私船此时，走私 船正以 10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快 追上走私船？ 解 设缉私船用t h 在D处追上走私船， 则有CD103t，BD10t， 在ABC中，AB31，AC2，BAC120， 由余弦定理，得 BC 2 AB 2 AC22ABACcos BAC
6、 (31)2222(31)2 cos 120 6， BC6， 且 sin ABC AC BCsin BAC 2 6 3 2 2 2 . ABC45. BC与正北方向垂直 CBD90 30 120， 在BCD中，由正弦定理，得 sin BCD BDsin CBD CD 10tsin 120 103t 1 2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BCD30 . 即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船 类题通法 解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题； (2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或 余弦定理，就容易解决问题了； (3)最后把数学
7、问题还原到实际问题中去 活学活用 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我 海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45，距离为 10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105的方向，以10 海里 / 小 时的速度向前行驶，我海军护航舰 立即以 103 海里 / 小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间 解：设护航舰靠近货船所用时间为t小时在ABC中，根据余弦定理，有 AB2AC2BC 22AC BCcos 120， 可得 (103t)2102(10t)221010tcos 120， 整理得 2t2t10，解得t 1 或t 1 2(舍去 ) 所以护航舰靠
8、近货船需要1 小时 此时AB103，BC10， 又AC10，所以CAB30， 所以护航舰航行的方位角为75. 1.探究距离测量问题 测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不 可达 解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三 角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【角度一】两点间不相通的距离 例 1 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方 法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC 的长b，a，则可求出A，B两点间的距离 即ABa 2 b22abcos
9、 . 若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长度 解 在ABC中，由余弦定理得 AB2AC2BC 22AC BCcosACB， AB2400 260022 400600cos 60 280 000.AB200 7 m. 即A，B两点间的距离为2007 m. 【角度二】两点间可视但有一点不可到达 例 2 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达， 要测出A，B的距离，其方法为在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再 借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则
10、A，B两点间的距离为_m. 解析 ABC180 75 45 60， 所以由正弦定理得 AB sin C AC sin B ， AB ACsin C sin B 60sin 45 sin 60 206(m) 即A，B两点间的距离为206 m. 答案 206 【角度三】两点都不可到达 例 3 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离， 其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得 BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算 出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风
11、萧萧整理 若测得CD 3 2 km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A， B两点间的距离 解 ADCADBCDB 60，ACD 60， DAC60， ACDC 3 2 . 在BCD中，DBC45，由正弦定理，得 BC DC sinDBCsinBDC 3 2 sin 45 sin 30 6 4 . 在ABC中，由余弦定理，得 AB2AC2BC 22AC BCcos 45 3 4 3 82 3 2 6 4 2 2 3 8. AB 6 4 km. A，B两点间的距离为 6 4 km. 随堂即时演练 1若P在Q的北偏东4450方向上，则Q在P的( ) A东偏北4510方向上 B北偏东455
12、0方向上 C南偏西4450方向上 D西偏南45 50方向上 解析：选 C 如图所示，点Q在点P的南偏西4450的方向上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成 60的视角，从B岛 望C岛和A岛成 75的视角，则B，C间的距离是 ( ) A 103 海里B. 106 3 海里 C52 海里D56 海里 解析：选 D 如图，C180 60 75 45，AB10， 由正弦定理得 10 sin 45 BC sin 60 ， BC56(海里 )，故选 D. 3如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，ABBD，CDBD， 从甲楼顶部A处测得乙楼顶
13、部C处的仰角为30，测得乙楼底部D的 俯角60，已知甲楼高AB24 米，则乙楼高CD _米 解析：过A作AECD(图略 )，垂足为E，EDAB24 米，则AE ED tan 60 24 3 83(米) 在 RtACE中，CEAEtan 30 83 3 3 8(米)， CDCEED8 2432(米) 答案： 32 4.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得CAB 45，CBA75，AB120米，则河的宽度为_米 解析：ACB 180 45 75 60， 在ABC中， AB sinACB BC sinCAB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BC120 s
14、in 45 sin 60 1202 3 ， 河宽为BCsinCBA 1202 3 sin 75 20(33)米. 答案： 20(33) 5.如图， 位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南 偏西 30、相距 20 海里的C处的乙船， 现乙船朝北偏东的方向沿直线 CB前往B处救援，求cos 的值 解：如题中图所示，在ABC中， AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理知， BC 2 AB 2 AC22ABACcos 120 2 800?BC207. 由正弦定理，得 AB sinACB BC sinBAC? sinA
15、CB AB BCsin BAC 21 7 . 由BAC120，知ACB为锐角， 则 cosACB 27 7 . 由ACB30，得cos cos(ACB 30)cosACBcos 30 sinACBsin 30 21 14 . 课时达标检测 一、选择题 1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为 ( ) AB C90D180 解析：选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图 知，故应选B. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东 30，B在C 南偏东 60，则A，B之间的距离为 ( ) A.2a km
16、B.3a km Ca km D2a km 解析：选 A ABC中，ACBCa km，ACB90，AB2a km. 3有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长 坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长的长度(单位： m)是( ) A 5 B10 C102 D103 解析：选 C 如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30，在ABB中，利用正弦 定理可求得BB的长度 在ABB中，B 30， BAB 75 30 45，AB10 m， 由正弦定理，得 BB ABsin 45 sin 30 10 2 2 1 2 102 (m) 坡底延伸102 m 时，斜坡的倾斜角将变
17、为30. 4一船自西向东匀速航行，上午10 时到达一座灯塔P的南偏西75距塔 68海里的M 处，下午2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( ) A. 176 2 海里 / 小时 B346 海里 / 小时 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C. 172 2 海里 / 小时 D 342 海里 / 小时 解析：选 A 如图所示，在PMN中， PM sin 45 MN sin 120 ， MN 683 2 346，v MN 4 17 2 6 (海里 / 小时 ) 5.如图，甲船以每小时302 海里的速度向正北方向航行，乙船按固 定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位
18、于甲船的北偏西105 方向的B1处，此时两船相距20 海里；当甲船航行20 分钟到达A2处时， 乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102 海里， 则乙船每小时航行( ) A 102 海里B202 海里 C30 海里D302 海里 解析：选 D 如图，连接A1B2，在A1A2B2中， 易知A1A2B260， 又易求得A1A2302 1 310 2A2B2， A1A2B2为正三角形，A1B2102. 在A1B1B2中，易知B1A1B245， B1B22400200220102 2 2 200， B1B2102，乙船每小时航行302 海里 二、填空题 积一时之跬步臻千里之遥程 马
19、鸣风萧萧整理 6某人从A处出发，沿北偏东60行走 33 km 到B处，再沿正东方向行走2 km 到 C处，则A，C两地距离为 _km. 解析：如图所示，由题意可知AB33， BC2，ABC150. 由余弦定理，得 AC2 274 2332cos 150 49，AC7. 则A，C两地距离为7 km. 答案： 7 7(四川高考 )如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67， 30， 此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于 _m(用四舍五入法将结果精 确到个位参考数据：sin 67 0.92 ，cos 67 0.39 ，sin 37 0.60 ，cos 370.80，3 1
20、.73) 解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足 在 RtACD中，AC92， 在ABC中，由正弦定理， 得BC AC sinABCsin BAC 92 sin 67 sin 37 92 0.92 0.60 60(m) 答案： 60 8某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行30 n mile 后， 看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_ n mile. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置， 则BCAD，DAB30， DAC60，则在RtACD中， DCACsin DAC30sin 60 153 n
21、 mile， ADACcos DAC 30cos 60 15 n mile， 则在 RtADB中， DBADtanDAB15tan 30 53 n mile， 则BCDCDB15353103 n mile. 答案： 103 三、解答题 9某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A，B两点 处测量与地面垂直的塔CD的高，由A，B两地测得塔顶C的仰角分别为60和 45，又 知AB的长为 40 m，斜坡与水平面成30角，求该转播塔的高度 解：如图所示，由题意，得 ABC45 30 15， DAC60 30 30. BAC150，ACB 15， ACAB40 m，ADC120，A
22、CD30， 在ACD中，由正弦定理，得 CD sinCAD sinADC AC sin 30 sin 120 40 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 403 3 (m) 故转播塔的高度为 403 3 m. 10某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途 测得塔的最大仰角为30，求塔高 解：设B为塔正东方向一点，AE为塔，沿南偏西60行走 40 m 后到达C处， 即BC 40， 且CAB135， ABC30， 如图在ABC中， AC sinABC BC sinCAB， 即 AC sin 30 40 sin 135 ， AC202.由点A向BC作垂线AG，
23、此时仰角AGE最大等于30. 在ABC中， ACB180 135 30 15 AGACsin15 202 sin 15 10(31) AEAGtan 30 1033 3 . 即塔高为 1033 3 m. 11甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a海里，乙船正 向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问：甲船应往什么方向前进才能在最短时间内 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 追上乙船？此时乙船行驶多少海里？ 解：设甲沿直线与乙船同时到达C点， 则A，B，C构成一个ABC， 如图，设乙船速度为v， 则甲船速度为3v，到达C处用时为t. 由题意BCvt，AC3vt，ABC
24、120. 在ABC中， 由余弦定理得 AC2AB2BC 22ABBCcos 120， 3v2t2a 2 v2t2avt. 2v2t2avta20，解得vt a 2 (舍)或vta. BCa. 在ABC中ABBCa， BACACB30. 答：甲船应往北偏东30的方向去追乙，此时乙船行驶a海里 12A，B，C是一条直路上的三点，ABBC1 km，从这三点分别遥望一座电视发射 塔P，在A处看见塔在东北方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60 方向，求塔到直路的距离 解：如图所示，过C、B、P分别作CMl、BNl、PQl，垂足 分别为M、N、Q. 设BNx， 即PQx，PA2x， ABB
25、C， CM 2BN2x， PC2PQ2x. 在PAC中，由余弦定理得： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AC2PA2PC 22PA PCcos 75， 即 42x24x242x2 62 4 ， 解得x2 243 13 . 过P作PDAC，垂足为D. 则线段PD的长为塔到直路的距离 sin BANx，cos BAN1x2， sin CAPsin(135BAN) 2 2 (x1x2) PDAPsin CAPx(x1x2) x2x21x2 823 13 823 13 523 13 823 13 2863 13 823 13 33 1 13 753 13 . 答：塔到直路的距离为 753 13 km.