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1、积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四柱坐标系与球坐标系简介 课后篇 巩固探究 A 组 1.已知点A的球坐标为,则点A的直角坐标为() A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(3,3,0) 解析设点A的直角坐标为 (x,y,z),则x=3sincos=0,y=3sinsin=3,z=2cos=0,所以直角坐 标为 (0,3,0). 答案 B 2.若点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是() A.B. C.D. 解析设点M的柱坐标为 (,z),则 =2, =,z=3,所以点M的柱坐标为,故选 C. 答案 C 3.在球坐标系中 ,方程r=3 表示空间中的(
2、) A.以x轴为中心轴 ,底面半径为3的圆柱面 B.以y轴为中心轴 ,底面半径为3的圆柱面 C.以z轴为中心轴 ,底面半径为3的圆柱面 D.以原点为球心,半径为 3 的球面 答案 D 4.导学号 73574021已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为 () A.2B. C.2 D.4 解析设点M的直角坐标为 (x,y,z), 因为 (r,)=, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 即M(-2,2,2).故点M到Oz轴的距离为=2. 答案 A 5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是 () A.B. C.D. 解析由点P的柱坐标 (,z)知,当 =时,
3、点P在平面yOz内,故选 A. 答案 A 6.若点P的直角坐标为 (,3),则它的柱坐标是. 答案 7.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为,则|OM|=. 解析设点M的直角坐标为 (x,y,z),且x2+y2= 2= 4,故|OM|=3. 答案 3 8.若点M的球坐标为,O为原点 ,则点M到原点的距离为,OM与平面xOy所成的角 为. 答案 2 9.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标. 解以正方体的顶点O为极点 ,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系. 则有O(0,0,0),A,B, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C,D(1,0,
4、0),E, F, G. 10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标: P,Q. (2)将下列各点的球坐标化为直角坐标: A,B,C. 解 (1)设点P的直角坐标为 (x1,y1,z1), 则x1=cos =cos,y1=sin =sin,z1=, 故点P的直角坐标为. 设点Q的直角坐标为 (x2,y2,z2),则x2=4cos=-2,y2=4sin=2,z2=-3, 故点Q的直角坐标为 (-2,2,-3). (2)设点A的直角坐标为 (x1,y1,z1),则x1=rsin cos =4sincos=41=2,y1=rsin sin =4sinsin=41=-2,z1=rcos =4cos=0,
5、故点A的直角坐标为 (2,-2,0). 设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=8sincos =8(-1)=-4,y2=8sinsin =0,z2=8cos=8=-4. 故点B的直角坐标为(-4,0,-4). 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 设点C的直角坐标为 (x3,y3,z3),因为r=0,所以x3=0,y3=0,z3=0,即点C的直角坐标为 (0,0,0). 11.导学号 73574022在直三棱柱ABC - A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,BCA=90,棱 |AA 1|=2,M是线段 A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标. 解建立如图所
6、示的空间直角坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN. 因为ABC - A1B1C1是直三棱柱 ,所以点N在线段AB上. 过点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知 ,可得ABC是等腰直角三角形,所以 |NE|=|NF|=. 故点M的直角坐标为. 由于点M在平面xCy上的射影为点N,连接CN,|CN|=,ECN=, 故点M的柱坐标为. B 组 1.在柱坐标系中 ,方程z=C(C为常数 )表示 () A.圆 B.与xOy平面垂直的平面 C.球面 D.与xOy平面平行的平面 答案 D 2.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内 ,若M的球坐标为 (r,),则应有 () A. = B.
7、 = C. = D. = 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析由点M向平面xOy作垂线 ,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知 =. 答案 D 3.在柱坐标系中 ,满足的动点M(,z)围成的几何体的体积为. 解析根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知满足 =1,0 2 ,0z2 的动点M(,z)的轨迹是以直 线Oz为轴 ,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=r2h=2. 答案 2 4.导学号 73574023在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点,另两个 顶点的坐标分别为A1(8,0,10),C1,则该长方体外接球的体积为. 解析
8、由题意知长方体的长、宽、高分别为8,6,10, 则其外接球的半径为5. 故其外接球的体积为(5)3=. 答案 5.如图 ,点P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P的柱坐标为,求该圆柱的体积. 解过点P作PP垂直于底面 ,垂足为P, 因为P, 所以点P的柱坐标为. 因此圆柱的底面半径为6,高为 5. 故圆柱的体积为V=625=180. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区十六 区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高 度为 0.7 m,现在需要确
9、定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的柱坐标系,把点A的柱坐标求出 来. 解以圆形体育场中心O为极点 ,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴 ,在地面上建立极坐 标系 ,则点A与体育场中轴线Oz的距离为 203 m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面 上的射影 ,A距地面的高度为2.8 m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置. 所以点A的柱坐标为. 7.导学号 73574024建立适当的柱坐标系,表示棱长为3 的正四面体 (棱长都相等的三棱 锥)的各个顶点的坐标. 分析建系以尽量过最多点为宜,找到相应坐标. 解以正四面体的一个顶点B为极点O,选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴 ,过点O且与 平面BCD垂直的直线为z轴 ,建立如图所示的柱坐标系. 过点A作AA垂直于平面BCD,垂足为A,连接BA, 则|BA|=3, |AA|=,ABx=, 则A,B(0,0,0),C,D.